Konform gruppe

Den konforme gruppe af et rum er gruppen af transformationer af et rum til sig selv, mens vinklerne bevares. Mere formelt er det en gruppe af transformationer, der bevarer den konforme geometri af space.

Nogle specifikke konforme grupper er særligt vigtige:

Konform ortogonal gruppe . Hvis V er et vektorrum med kvadratisk form Q , så er den konforme ortogonale gruppe gruppen af lineære transformationer T af rummet V , således at der for hvert x i V eksisterer en skalar , således at $\mathrm {CO} (V,Q)$ $\lambda$ $Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$ For en fortegnsbestemt kvadratisk form (det vil sige enten positiv-definit eller negativ-definit), er den konforme ortogonale gruppe lig med den ortogonale gruppe gange dilatationsgruppen .

Kuglens konforme gruppe genereret af inversioner i forhold til cirkler. Denne gruppe er også kendt som Möbius-gruppen .
I det euklidiske rum , n > 2 , genereres den konforme gruppe ved inversioner i forhold til hypersfærer . ${\displaystyle \mathbf {E} ^{n))$
I et pseudo-euklidisk rum er den konforme gruppe [1] . ${\displaystyle \mathbf {E} ^{p,q))$ ${\displaystyle \mathrm {Conf} (p,q)\simeq \mathrm {O} (p+1,q+1)/\mathbb {Z} _{2))$

Alle konforme grupper er Lie grupper .

Vinkelanalyse

I euklidisk geometri ville man forvente, at karakteristikken er standardvinklen , men i pseudo-euklidisk rum er der også en hyperbolsk vinkel [ . I speciel relativitet er forskellige referencepunkter for ændringen i hastighed i forhold til andre referencepunkter forbundet med hurtighed , den hyperbolske vinkel. En måde at beskrive Lorentz boost på er en hyperbolsk rotation , der bevarer vinkelforskellen mellem hastighederne. De er således konforme transformationer med hensyn til hyperbolske vinkler.

En tilgang til at beskrive en passende konform gruppe er at efterligne Möbius-gruppen som den konforme gruppe af det almindelige komplekse plan . Pseudo-euklidisk geometri svarer til alternative komplekse planer, hvor punkterne er delte komplekse tal eller dobbelttal i stedet for de sædvanlige komplekse tal. Ligesom Möbius-gruppen kræver en Riemann-sfære , et kompakt rum , for en fuldstændig beskrivelse, så kræver alternative komplekse planer en komprimering af en konform kortlægning for en fuldstændig beskrivelse. I hvert tilfælde er den konforme gruppe givet ved lineær-fraktionelle transformationer på et passende plan [2] .

Den konforme rum-tid gruppe

I 1908 annoncerede Harry Bateman og Ebenezer Cunningham [3] , to unge forskere ved University of Liverpool, ideen om en konform rumtidsgruppe [4] [5] [6] (nu almindeligvis omtalt som ) [ 7] . De hævdede, at kinematiske grupper er konforme, fordi de bevarer den kvadratiske form af rumtid og dermed er beslægtet med ortogonale transformationer , betragtet som en isotropisk kvadratisk form . Frihederne i det elektromagnetiske felt strækker sig ikke til kinematiske bevægelser, men kræver kun at være lokalt proportionale med kvadratisk-bevarende transformationer. I en artikel af Harry Bateman i 1910 studerer han den jakobanske matrix af en transformation, der bevarer lyskeglen og viser, at transformationen har egenskaben konformalitet [8] . Bateman og Cunningham viste, at denne konforme gruppe er "den største gruppe af transformationer, der efterlader Maxwells ligninger strukturelt invariante" [9] . $C(1,3)$

Isaac Moiseevich Yaglom bidrog til matematikken i rum-tid ved at overveje konforme transformationer i dobbelttal [10] . Da doubler har egenskaberne af en ring , men ikke et felt , kræver lineære-brøktransformationer, at den projektive linje over ringen er et bijektivt kort.

Traditionelt, efter et papir af Ludwik Silberstein (1914), bruges en biquaternion- ring til at repræsentere Lorentz-gruppen . For en konform rum-tid-gruppe er det tilstrækkeligt at overveje lineære-fraktionelle transformationer på den projektive linje over denne ring. Elementerne i den rum-tidskonforme gruppe kaldes af Bateman den sfæriske transformation af bølgen . Den specifikke undersøgelse af den kvadratiske form af rum-tid blev absorberet af Lies sfæriske geometri .

Noter

↑ Vaz, da Rocha, 2016 , s. 140.
↑ Takasu, 1941 , s. 330-8.
↑ I Kosyakovs bog - Harry Bateman og Ebenezer Canningham
↑ Bateman, 1908 , s. 70-89.
↑ Bateman, 1910 , s. 223-264.
↑ Cunningham, 1910 , s. 77-98.
↑ Kosyakov, 2017 , s. 225.
↑ Warwick, 2003 , s. 416-24.
↑ Gilmore, 1994 , s. 349.
↑ Yaglom, 1969 .

Litteratur

Jayme Vaz Jr., Roldão da Rocha Jr. En introduktion til Clifford Algebras og Spinors. - Oxford University Press, 2016. - S. 140. - ISBN 9780191085789 .
Tsurusaburo Takasu. Gemeinsame Behandlungsweise der elliptiske konforme, hyperbolische konforme og paraboliske konforme Differentialgeometri //Det kejserlige akademis forløb . - 1941. - T. 17.
Harry Bateman . De konforme transformationer af et rum med fire dimensioner og deres anvendelser på geometrisk optik // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1908. - T. 7 . - doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
Harry Bateman . Transformationen af de elektrodynamiske ligninger // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
Ebenezer Cunningham. Relativitetsprincippet i elektrodynamik og en udvidelse deraf // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1910. - T. 8 . — s. 77–98 . - doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
Kosyakov B.P. Introduktion til den klassiske teori om partikelfelter. - Moskva, Izhevsk, 2017. - ISBN 978-5-4344-0450-1 .
Andrew Warwick. Masters of theory: Cambridge og fremkomsten af matematisk fysik. - Chicago: University of Chicago Press , 2003. - ISBN 0-226-87375-7 .
Robert Gilmore. Lie Groups, Lie Algebras og nogle af deres applikationer. - Robert E. Krieger Publishing, 1994. - ISBN 0-89464-759-8 . Første udgave 1974
Galileos relativitetsprincip og ikke-euklidisk geometri. - Moskva: "Nauka", 1969. - (Library of the Mathematical Circle).

Læsning for yderligere læsning

Kobayashi Sh . Transformationsgrupper i differentialgeometri. - "Science", 1986.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper og symmetrier. slutgrupper. Løgngrupper og algebraer. - Forlaget URSS. 2018. 491 s
Sharpe RW Differential Geometry: Cartans generalisering af Kleins Erlangen-program. - New York: Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-94732-9 .
Peter Sherk. Nogle begreber for konform geometri // American Mathematical Monthly . - 1960. - T. 67 , no. 1 . — S. 1−30 . - doi : 10.2307/2308920 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation