Zhen klasse

Chern-klasserne (eller Chern-klassen ) er de karakteristiske klasser forbundet med komplekse vektorbundter .

Zhen klasser blev introduceret af Shiing-Shen Zhen [1] .

Geometrisk tilgang

Grundlæggende idé og baggrund

Zhen-klasserne er karakteristiske klasser . De er topologiske invarianter forbundet med vektorbundter på glatte manifolds. Spørgsmålet om, hvorvidt to tilsyneladende forskellige vektorbundter er det samme bundt, kan være et ganske vanskeligt problem. Chern-klasserne giver en simpel test — hvis Chern-klasserne i et par vektorbundter ikke stemmer overens, er vektorbundterne forskellige. Det omvendte er dog ikke sandt.

I topologi, differentialgeometri og algebraisk geometri er det ofte vigtigt at tælle, hvor mange lineært uafhængige sektioner et vektorbundt har. Chern-klasserne giver nogle oplysninger om dette gennem for eksempel Riemann-Roch-sætningen og Atiyah-Singer-indekssætningen .

Zhens klasser er også praktiske til praktiske beregninger. I differentialgeometri (og nogle typer algebraisk geometri) kan Chern-klasserne udtrykkes som polynomier i koefficienterne for krumningsformen .

Konstruktion af Zhen-klasser

Der er forskellige tilgange til klasser, der hver især fokuserer på lidt forskellige egenskaber ved Chern-klasserne.

Den oprindelige tilgang til Chern-klasser var en tilgang fra siden af algebraisk topologi - Chern-klasser opstår gennem teorien om homotopi , som gør det muligt at konstruere et kort over mangfoldigheden forbundet med bundtet V ind i klassificeringsrummet (en uendelig Grassmannian i dette tilfælde). For ethvert vektorbundt V over en manifold M eksisterer der en afbildning f fra M til et klassificeringsrum, således at bundtet V er lig med det omvendte billede (i forhold til f ) af det universelle bundt over klassificeringsrummet, og Chern. klasser af bundtet V kan derfor defineres som de omvendte billeder af Chern-klasserne af det universelle bundt. Disse universelle Chern-klasser kan til gengæld skrives eksplicit i form af Schubert-cyklusser .

Det kan vises, at to afbildninger f og g fra M til et klassificeringsrum, hvis inverse billeder er det samme bundt V , skal være homotopiske. Således skal de omvendte billeder med hensyn til f og g af enhver universel Chern-klasse i kohomologiklassen af M være den samme klasse. Dette viser, at Chern-klasserne af V er veldefinerede.

Zhengs tilgang trækker på differentialgeometri gennem brugen af krumning beskrevet i denne artikel. Zhen viste, at den tidligere definition i virkeligheden svarede til hans definition. Den resulterende teori er kendt som Chen-Weil-teorien .

Der er også tilgangen fra Alexander Grothendieck , som viste, at det aksiomatisk er tilstrækkeligt kun at definere klasserne af linjebundter.

Chern-klasserne opstår naturligt i algebraisk geometri . Generaliserede Chern-klasser i algebraisk geometri kan defineres for vektorbundter (eller mere præcist, lokalt frie skiver ) over enhver ikke-singular manifold. Zhens algebraisk-geometriske klasser pålægger ikke begrænsninger på hovedfeltet. Især behøver vektorbundter ikke være komplekse.

Uanset det oprindelige paradigme, vedrører den intuitive betydning af Chern-klassen 'nullerne' af sektioner af et vektorbundt. For eksempel en sætning, der siger, at det er umuligt at rede en kugle med hår ( pindsvinekæmningssætningen ). Selvom spørgsmålet strengt taget refererer til et ægte vektorbundt ("håret" på bolden er en kopi af den rigtige linje), er der generaliseringer, hvor "håret" er komplekst (se eksemplet med den komplekse pindsvinekæmning sætning nedenfor), eller for endimensionelle projektive rum over mange andre felter.

Chern-klassen af linjebundter

(Lad X være et topologisk rum af CW-kompleks homotopi-type .)

Et vigtigt specialtilfælde opstår, når V er et linjebundt . Så er den eneste ikke-trivielle Chern-klasse den første Chern-klasse, som er et element i den anden kohomologigruppe i rummet X. Da den er den højeste klasse af Zhen, er den lig med Euler-klassen i bundtet.

Den første Chern-klasse viser sig at være en fuldstændig invariant , ifølge hvilken komplekse linjebundter i den topologiske kategori klassificeres. Det vil sige, at der er en bijektion mellem klasserne af isomorfe linjebundter over X og elementerne i H 2 ( X ; Z ), der relaterer til linjebundtet dens første Chern-klasse. Desuden er denne bijektion en gruppehomomorfi (det vil sige en isomorfisme):

c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

tensorproduktet af komplekse linjebundter svarer til addition i den anden kohomologigruppe [2] [3] .

I algebraisk geometri er denne klassificering af (klasser af isomorfe) komplekse linjebundter efter den første Chern-klasse en grov tilnærmelse af klassificeringen af (klasser af isomorfe) holomorfe linjebundter efter klasser af lineært ækvivalente divisorer .

For komplekse vektorbundter med dimension større end én er Chern-klasserne ikke komplette invarianter.

Bygninger

Ved hjælp af Chen-Weyl-teorien

Givet et komplekst hermitisk vektorbundt V af kompleks rang n over en differentierbar manifold M , er en repræsentant for hver Chern-klasse (kaldet Chern-formen ) c k ( V ) af bundtet V givet ved koefficienterne for det karakteristiske polynomium af krumningsformen af bundtet V . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}

Determinanten overtages en ring af n × n matricer , hvis elementer er polynomier i t med koefficienter fra den kommutative algebra af selv komplekse differentialformer på M . Krumningsformen af bundtet V er givet ved $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

hvor er forbindelsesformen , og d er den ydre differentiale , eller det samme udtryk , hvori er måleformen for målegruppen for bundtet V . Skalaren t bruges kun som en ukendt variabel til at generere summen fra determinanten, og E betyder en n × n identitetsmatrix . $\omega$ $\omega$

Ordene som dette udtryk giver en repræsentant for Zhen-klassen betyder, at 'klassen' her er defineret op til den nøjagtige differentialform . Det vil sige, at Chern -klasserne er kohomologiklasser i betydningen de Rham-kohomologi . Det kan påvises, at kohomologiklassen af Chern-former ikke afhænger af valget af forbindelse i V .

Ved at bruge matrixidentiteten tr(ln( X ))=ln(det( X )) og Maclaurin-serien for ln( X + I ), udvides dette udtryk for Chern-formen til

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\venstre[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].

Med hjælp fra Euler-klassen

Man kan definere Chern-klassen ud fra Euler-klassen. Denne tilgang er brugt i bogen af Milnor og Stashef [4] og understreger rollen som orientering af vektorbundtet .

Den vigtigste observation er, at det komplekse vektorbundt har en kanonisk orientering på grund af at være forbundet. Derfor kan man definere den højeste Chern-klasse i et bundt som dens Euler-klasse og arbejde med de resterende Chern-klasser ved induktion. $GL_{n}(\mathbb {C} )$

Den nøjagtige konstruktion er som følger. Ideen er at ændre grundlaget for at opnå et bundt af en lavere rang. Lad være et komplekst vektorbundt over et parakompakt rum B . I betragtning af B som et nul-sektion indlejret i E sætter og definerer vi et nyt vektorbundt: $\pi :E\rightarrow B$ $B'=EB$

E'\to B',

hvis fiber er en faktor af fiberen F i bundtet E langs linjen spændt af vektoren v i F (et punkt i B' bestemmes af fiberen F i bundtet E og en vektor, der ikke er nul fra F .) [5] . Så har E' rang én mindre end rang af E. Fra Gisin-sekvensen for bundtet : $\pi |_{B'}:B'\to B$

\cdots \to \operatørnavn {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatørnavn { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

vi ser, hvad der er en isomorfi for k < 2 n − 1. Lad $\pi |_{B'}^{*}$

c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{cases}}

Noget mere arbejde er nødvendigt for at verificere, at Zhen-klassens aksiomer holder for en sådan definition.

Eksempler

Det komplekse tangentbundt af Riemann-sfæren

Lad CP 1 være Riemann-sfæren , et 1-dimensionelt komplekst projektivt rum . Antag, at z er en holomorf lokal koordinat på Riemann-sfæren. Lad V = T CP 1 være en blyant af komplekse tangentvektorer af formen a ∂/∂ z i hvert punkt, hvor a er et komplekst tal. Vi vil bevise en kompleks version af pindsvinekæmningssætningen : V har ingen ikke-forsvindende sektioner.

For at gøre dette har vi brug for følgende kendsgerning: den første Chern-klasse i et trivielt bundt er lig med nul, det vil sige,

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\time {\mathbf {C} })=0.

Dette følger af, at et trivielt bundt altid har en flad forbindelse.

Lad os vise det

c_{1}(V)\not =0.

Overvej Kähler-metrikken

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Det kan påvises, at 2-krumningsformen er givet ved

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Desuden ifølge definitionen af den første klasse af Zhen

c_{1}=\venstre[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \ \Omega \right].

Vi skal vise, at denne kohomologitime ikke er nul. For at gøre dette er det tilstrækkeligt at beregne integralet over Riemann-sfæren:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

efter overgangen til det polære koordinatsystem . Ved Stokes' sætning skal integralet af den nøjagtige form være lig med 0, så kohomologiklassen er ikke nul.

Dette beviser, at TCP1 ikke er et trivielt vektorbundt .

Kompleks projektivt rum

Der er en nøjagtig rækkefølge af bundter [6] :

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

hvor er en strukturel bunke (dvs. en triviel liniebundt), er en snoet Serre bunke (dvs. en bunke hyperplanes ), og den sidste ikke-nul-led er en tangent bunke /bundle. ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

Der er to måder at opnå ovenstående sekvens på:

[7] Lad z 0 , … z n være koordinater i,og. Så har vi: $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
Med andre ord er cotangens sheaf , som er et frit -modul med basis , inkluderet i den nøjagtige rækkefølge $\Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ hvor er grundlaget for mellemtiden. Den samme sekvens er så nøjagtig for hele det projektive rum, og ovenstående sekvens er dobbelt til det. $e_{i}$
Lad L være en linje, der går gennem origo. Det er let at se, at det komplekse tangentrum til ved et punkt L er naturligt isomorf til sættet af lineære afbildninger fra L til dets komplement. [8] Således kan tangentbundtet identificeres med bundtet af homomorfismer $\mathbb {C} ^{n+1}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ hvor er et vektorbundt sådan, at . Dette indebærer: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatørnavn {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

I betragtning af additiviteten af den fulde Chern-klasse c = 1 + c 1 + c 2 + … (det vil sige Whitney-sumformlerne),

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

hvor a er den kanoniske generator for kohomologigruppen . Det vil sige, taget med et minustegn, værdien af den første Chern-klasse i det tautologiske linjebundt (Bemærk: når E * er dualen af E .) Især for enhver , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant 0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Zhens polynomium

Chern-polynomiet er en praktisk måde at arbejde med Chern-klasser og relaterede koncepter på. Per definition, for et kompleks vektorbundt E , er Chern-polynomiet c t af bundtet E givet af:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Dette er ikke en ny invariant - den formelle ukendte t afspejler blot potensen c k ( E ) [9] . Især er det fuldstændigt defineret af hele Chern-klassen af bundtet E - . $c_{t}(E)$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

Whitney-sumformlen, et af Chern-klassernes aksiomer (se nedenfor), siger, at c t er additiv i betydningen:

c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Hvis nu er en direkte sum af (komplekse) linjebundter, så indebærer Whitney-sumformlen: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

hvor er de første Chern klasser. Rødderne kaldes Chern-rødderne af bundtet E , og de bestemmer polynomiets koefficienter. Det er, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ $a_{i}(E)$

c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))

hvor er elementære symmetriske polynomier . Med andre ord, hvis vi betragter a i som formelle variable, er c k "lige" . Det grundlæggende faktum om symmetriske polynomier er, at ethvert symmetrisk polynomium i f.eks. t i er et polynomium i elementære symmetriske polynomier i t i . Ifølge spaltningsprincippet eller fra ringteori nedbrydes et hvilket som helst Chern-polynomium til lineære faktorer efter en stigning i kohomologiringen. Derfor behøver E ikke at være en direkte sum af linjebundter. Konklusion ${\displaystyle \sigma _{k))$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $c_{t}(E)$

"Man kan beregne et hvilket som helst symmetrisk polynomium f i et kompleks vektorbundt E ved at skrive f som et polynomium i og derefter erstatte det med ."

{\displaystyle \sigma _{k))

{\displaystyle \sigma _{k))

c_{k}(E)

Eksempel : Vi har polynomier s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}), \ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))

med og så videre (se Newtons identiteter ). Sum ${\displaystyle s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2))$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots ,c_{n}(E))/k!

kaldes Chern-karakteren af bundtet E , hvis første par led er: (vi udelader E i notationen )

\operatorname {ch} (E)=\operatørnavn {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Eksempel : Todd-klassen i bundt E er givet af:

{\begin{aligned}\operatørnavn {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{aligned}}

Bemærk : Observationen af, at Chern-klassen i det væsentlige er et elementært symmetrisk polynomium, kan bruges til at "definere" Chern-klasserne. Lad G n være en uendelig Grassmannian n -dimensionelle komplekse vektorrum. Det er et klassificeringsrum i den forstand, at givet et komplekst vektorbundt E af rang n over X , er der en kontinuerlig mapping

f_{E}:X\to G_{n},

unik op til homotopi. Borel-sætningen siger, at kohomologiringen af den Grassmannske G n nøjagtig er ringen af symmetriske polynomier, som er polynomier i elementære symmetriske polynomier . For forbilledet f E ${\displaystyle \sigma _{k))$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Hvor

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Bemærkning : Enhver karakteristisk klasse er et polynomium i Chern-klasserne af følgende årsager. Lad være en kontravariant funktion , der forbinder med et CW-kompleks X sættet af klasser af isomorfe komplekse vektorbundter af rang n over X . Per definition er en karakteristisk klasse en naturlig transformation fra til en kohomologi-funktion Karakteristiske klasser danner en ring på grund af kohomologiringens ringstruktur. Yonedas lemma siger, at ringen af karakteristiske klasser er nøjagtig kohomologiringen af den græsmannske G n : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].

Egenskaber for Zhens klasser

Givet et komplekst vektorbundt E over et topologisk rum X , er Chern-klasserne af bundt E en sekvens af kohomologielementer i rummet X . den k th Chern klasse af bundtet E , normalt betegnet med c k ( V ), er et element

H2k ( X ; Z ) , _

kohomologi af rummet X med heltalskoefficienter . Man kan også definere en komplet Zhen-klasse

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Fordi værdierne er i heltalskohomologigrupper snarere end kohomologi med reelle koefficienter, er disse Chern-klasser lidt klarere end dem i det Riemannske eksempel.

Klassisk aksiomatisk definition

Zhen-klasserne opfylder følgende fire aksiomer:

Aksiom 1. for alle bundter E . $c_{0}(E)=1$

Aksiom 2. Naturlighed: Hvis er kontinuert , og f*E er det inducerede vektorbundt af bundtet E , så . $f:Y\to X$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Aksiom 3. Whitney - sumformlen : Hvis er et andet kompleks vektorbundt, så er Chern-klasserne af den direkte sum givet af $F\to X$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);

det er,

c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Aksiom 4. Normalisering: Den fulde Chern-klasse af et tautologisk linjebundt over CP k er lig med 1 − H , hvor H er Poincaré-dualen af hyperplanet . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

Alexander Grothendiecks aksiomatiske tilgang

Alternativt erstattede Grothendieck [10] disse aksiomer med lidt færre aksiomer:

Naturlighed: (Samme som ovenfor)
Additivitet: Hvis er en nøjagtig sekvens af vektorbundter, så . $\ 0\to E'\to E\to E''\to 0$ $c(E)=c(E')\smile c(E'')$
Normalisering: Hvis E er et linjebundt , hvor er Euler-klassen for det underliggende reelle vektorbundt. $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

Han viste ved hjælp af Leray-Hirsch-sætningen , at den komplette Chern-klasse af et komplekst vektorbundt af endelig rang kan defineres i form af den første Chern-klasse af et tautologisk defineret linjebundt.

Nemlig ved at introducere projektiviseringen P ( E ) af et kompleks vektorbundt af rang n som et bundt på B , hvis fiber i et vilkårligt punkt er det projektive rum af fiberen Eb . Det samlede rum af dette bundt P ( E ) er udstyret med dets tautologiske komplekse linjebundt, som vi betegner med , og den første Chern-klasse $E\rightarrow B$ $b\i B$ $\tau$

c_{1}(\tau )=:-a

er begrænset på hvert lag af P ( E b ) til minus-fortegnsklassen (Poincaré dual) af hyperplanet, hvilket genererer lagets kohomologi.

Klasser

1,a,a^{2},\ldots,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

danner således en familie af kohomologiklasser, der er begrænset til lagets kohomologigrundlag. Leray-Hirsch-sætningen siger, at enhver klasse i H* ( P ( E )) entydigt kan skrives som en lineær kombination af 1, a , a 2 , …, a n −1 med klasser i basis som koefficienter .

Især kan man definere Chern-klasserne i bundt E i betydningen Grothendieck, som betegnes ved at dekomponere klassen på følgende måde: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\displaystyle -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Du kan kontrollere, at denne alternative definition er den samme som enhver anden definition.

Zhengs seniorklasse

Faktisk definerer disse egenskaber entydigt Chern-klasserne. De resulterer blandt andet:

Hvis n er den komplekse rang af V , så for alle k > n . Således går hele Zhen-klassen i stykker. $c_{k}(V)=0$
Den højeste Chern-klasse i et bundt V ( , hvor n er rangen af V ) er altid lig med Euler-klassen af det underliggende reelle vektorbundt. $c_{n}(V)$

Chern klasser i algebraisk geometri

Aksiomatisk beskrivelse

Der er en anden konstruktion af Chern-klasserne, der tager værdier i den algebro-geometriske analog af kohomologiringen , Zhou-ringen . Det kan vises, at der er en unik teori om Chern-klasser, således at der for et givet algebraisk vektorbundt over en kvasiprojektiv manifold eksisterer en sekvens af klasser , således at $E\to X$ $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$

$c_{0}(E)=1$
For en vendbar stråle , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Givet en nøjagtig sekvens af vektorbundter , gælder Whitney-sumformlen: $0\to E'\to E\to E''\to 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
$c_{i}(E)=0$ til $i>{\text{rang}}(E)$
Kortlægningen udvides til en ringmorfisme $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Abstrakte beregninger ved hjælp af formelle egenskaber

Direkte summer af linjebundter

Ved at bruge disse relationer kan vi udføre adskillige beregninger for vektorbundter. Bemærk først, at hvis vi har linjebundter , kan vi danne en kort nøjagtig sekvens af vektorbundter ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0

Ved at bruge egenskaberne og får vi $en$ $2$

{\begin{aligned}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{aligned}}

Ved induktion får vi

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matematisk {L}}_{n})

Bundles dobbelt til linje bundter

Da linjebundter på en glat projektiv varietet er defineret af divisorklassen , og dobbeltlinjebundtet er defineret af den negative divisorklasse , får vi $x$ $[D]$ $-[D]$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Tangent bundt af et projektivt rum

Ovenstående kan anvendes på Euler-sekvensen for det projektive rum

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

at beregne

{\begin{aligned}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \vælg 0}1+{n+1 \vælg 1}H+ \cdots +{n+1 \choose n}H^{n}\end{aligned}}

hvor er klassen af hyperplaner af grad 1. Bemærk også, at i Zhou-ringen . $H$ $H^{n+1}=0$ ${\mathbb {P}}^{n}$

Normal sekvens

Beregningen af de karakteristiske klasser for et projektivt rum er grundlaget for beregningen af de karakteristiske klasser for mange andre rum, da der for enhver glat projektiv undervarietet er en kort nøjagtig sekvens $X\subset \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0

Tredimensionel quintic

Overvej for eksempel en tredimensionel quintic i . Så er det normale bundt givet, og vi har en kort nøjagtig rækkefølge ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\til 0

Lad betegne klassen af hyperplaner i . Så giver Whitney sumformlen os $h$ $A^{\bullet }(X)$

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5t+10t^{2}+10t^{3}\end{aligned}}

Da Zhou-ringen af en hyperoverflade er svær at beregne, vil vi betragte denne sekvens som en sekvens af sammenhængende skiver i . Dette giver os ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4))$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5t+10t^{2}+10t^{3}}{1+5t}}

Bemærk, at der er en formel power-serie

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+5t}}&=1-5t+25t^{2}-125t^{3}+\cdots \\&=1-5t+25t ^{2}-125t^{3}\end{aligned}}

Ved at bruge dette kan vi få

{\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5t+10t^{2}+10t^{3})(1-5t+25t^{ 2}-125t^{3})\\&=1+10t^{2}-40t^{3}\end{aligned}}

Ved at bruge Gauss-Bonnet-sætningen kan vi integrere klassen for at beregne Euler-karakteristikken. Dette kaldes traditionelt Euler-klassen . Vi har $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200

da klassen kan repræsenteres af fem punkter (ved Bézouts sætning . Euler-karakteristikken kan derefter bruges til at beregne Betti-tallene ved at bruge definitionen af Euler-karakteristikken og Lefschetz hyperplansektionssætning . $h^3$ $x$

Cotangenssekvens

En anden nyttig beregning er cotangensbundtet for et projektivt rum. Vi kan dualisere Euler-sekvensen og få

0\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\til {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\til 0

Ved at bruge Whitney-sumformlen får vi

{\begin{aligned}c(\Omega _{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \vælg 1}H+{n+1 \vælg 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \vælg n}(-1)^{n}H^{n} \end{aligned}}

Relaterede begreber

Zhens karakter

Chern-klasserne kan bruges til at konstruere en ringhomomorfi ud fra den topologiske K-teori om et rum for at fuldende dets rationelle kohomologi. For et linjebundt L er Chern-tegnet givet af

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

Mere generelt, hvis er en direkte sum af linjebundter med første Chern-klasser, er Chern- karakteren defineret additivt ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Dette kan omskrives som følger [11] :

\operatorname {ch} (V)=\operatørnavn {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cdots .

Dette sidste udtryk, understøttet af opdelingsprincippet , bruges som definition af ch(V) for vilkårlige vektorbundter V .

Hvis en forbindelse bruges til at definere Chern-klasserne, når basen er en manifold (det vil sige Chern-Weil-teorien ), er det eksplicitte udtryk for Chern-karakteren

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ højre)\right]

hvor er krumningen af forbindelsen. $\Omega$

Chern-karakteren er blandt andet nyttig, fordi den gør det muligt at beregne Chern-klassen for et tensorprodukt. Mere præcist opfylder den følgende ligheder:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

Som nævnt ovenfor, ved at bruge Grothendiecks additivitetsaksiom for Chern-klasser, kan den første af disse identiteter generaliseres til udsagnet om, at ch er en homomorfi af abelske grupper fra K-teori K ( X ) til det rationelle kohomologirum X. Den anden identitet fastslår det faktum, at denne homomorfi bevarer produktet i K ( X ), og derfor er ch en ringhomomorfi.

Chern-karakteren bruges i Hirzebruch-Riemann-Roch-sætningen .

Zhen-numre

Hvis vi arbejder med en orienteret manifold med dimension 2n , så kan ethvert produkt af Chern-klasser af fuld grad 2n parres med den grundlæggende klasse (eller "manifold-integreret"), hvilket giver et heltal, Chern-tallet for vektorbundtet. For eksempel, hvis manifolden har dimension 6, er der tre lineært uafhængige Chern-tal givet af c 1 3 , c 1 c 2 og c 3 . Generelt, hvis manifolden har dimension 2n , er antallet af uafhængige Chern-numre lig med antallet af partitioner af n .

Chern-tallene for tangentbundtet af en kompleks (eller næsten kompleks) manifold kaldes manifoldens Chern-tal og er vigtige invarianter.

Chern-klassen i generaliserede kohomologiteorier

Der er en generalisering af teorien om Chern-klasser, hvor de sædvanlige kohomologier erstattes af generaliserede . Teorier, for hvilke en sådan generalisering er mulig, kaldes kompleks orienterbar . De formelle egenskaber for Chern-klasserne forbliver de samme, med én kritisk forskel - reglen for beregning af den første Chern-klasse af tensorproduktet af linjebundter i forhold til de første Chern-klasser af dekomponeringen er ikke en (almindelig) tilføjelse, men er givet ved en formel koncernlov .

Chern-klassen i algebraisk geometri

I algebraisk geometri er der en lignende teori om Chern-klasser af vektorbundter. Der er flere variationer, afhængigt af hvilke grupper Chern-klasserne tilhører:

For komplekse manifolder kan Chern-klasserne tage værdier i den sædvanlige kohomologi (som ovenfor).
For varianter over felter af generel form kan Chern-klasser antage værdier i kohomologiteorier såsom étale cohomology eller l-adic cohomology .
For varianter V over felter af generel form kan Chern-klasserne også tage værdier i homomorfismer af Chow-grupperne CH(V). For eksempel er den første Chern-klasse af et linjebundt over en manifold V en homomorfi fra CH( V ) til CH( V ), der reducerer graden med 1. Dette svarer til, at Chow-grupper er analoge med homologigrupper og elementerne af kohomologigrupper kan betragtes som homomorfismer af homologigrupper af produktet Whitney .

Chern-klasserne af manifolds med struktur

Cherns klasseteori er kilden til kobordisme -invarianter for næsten komplekse strukturer .

Hvis M er en næsten kompleks manifold, så er dens tangentbundt et komplekst vektorbundt. Chern-klasserne af M defineres derefter som Chern-klasserne af dets tangentbundt . Hvis M også er kompakt og har dimension 2 d , så kan hvert monomial af fuld grad 2 d i Chern-klasserne parres med den fundamentale klasse af manifolden M , hvilket giver et heltal, Chern-tallet for manifolden M . Hvis M ′ er en anden næsten kompleks manifold af samme dimension, så er den grænsende til M , hvis og kun hvis Chern-tallet for manifolden M ′ er det samme som Chern-tallet for manifolden M .

Teorien generaliseres også til rigtige symplektiske vektorbundter ved at bruge kompatible næsten komplekse strukturer. Især symplektiske manifolder har en unikt defineret Chern-klasse.

Chern-klasser om aritmetiske kredsløb og diofantiske ligninger

(Se Arakelov geometrier )

Se også

Pontryagin klasse
Stiefel-Whitney klasse
Zhen-Simons teori
Euler klasse
Segre klasse
Toms isomorfisme

Noter

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , s. 267ff.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Bemærk: Notationen her er forskellig fra Milnor − Staszef notationen, men mere naturlig.
↑ Denne sekvens kaldes nogle gange den nøjagtige Euler-sekvens .
↑ Harshorne, 1977 , s. 176, Ch. II. Sætning 8.13..
↑ Lad være en gruppe af komplekse tal, der virker i n -dimensionelt rum uden oprindelse ved multiplikation. Derefter er hovedbundtet med strukturgruppen , hvis base er det komplekse projektive rum . Linjen L ved (passerer gennem origo) vil være et punkt i rummet . Katanaev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ $\mathbb {C} _{0}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C} _{0))$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
↑ I teoretiske termer af ringe er der en isomorfi af graderede ringe : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus _{k}^{\infty }\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ hvor til venstre er den kohomologiske ring af lige led, er ringen af homomorfismer, der ikke tager hensyn til gradering, og x er homogen og har grad | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Se også #Cheng polynomium .) Bemærk, at hvis V er summen af linjebundter, kan Chern-klasserne af V udtrykkes som elementære symmetriske polynomier af . Især på den ene side, $x_{i}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ $c(V):=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(V),$ og på den anden side, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod _{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod _{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$ Derfor kan man bruge Newtons identiteter til at udtrykke potenssummen af ch(V) på en anden måde kun i form af Chern-klasserne af V , hvilket giver den nødvendige formel.

Litteratur

Chern SS Karakteristiske klasser af Hermitian Manifolds // Annals of Mathematics . - Matematikkens annaler, 1946. - V. 47 , no. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969037 . — .
Alexander Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jürgen Jost. Riemannsk geometri og geometrisk analyse. — 4. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Der gives en meget kort indledende oversigt over Zhens klasser.)
May JP Et kortfattet kursus i algebraisk topologi. - University of Chicago Press, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. karakteristiske klasser. — Princeton University Press; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubei. Algebraisk geometri, en kortfattet ordbog. - Berlin/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Differentielle former i algebraisk topologi. — Korr. 3. print.. - New York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Algebraisk geometri. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Kandidattekster i matematik.). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanaev Mikhail Orionovich Geometriske metoder i matematisk fysik. - Den tredje, supplerede version af den udvidede version af forelæsningsforløbet. - 2016. - (Et kursus med forelæsninger i 2008-2016 på det videnskabelige og uddannelsesmæssige center ved Moskva Institut for Videnskabsakademi opkaldt efter V.A. Steklov.).

Allen Hatcher. Proposition 3.10 // Vektorbundter og K-teori . – 2003.