Homologi teori

Homologiteori ( anden græsk ὁμός "lige, identiske; fælles; gensidig" og λόγος "doktrin, videnskab ") er en gren af matematikken , der studerer konstruktionen af nogle topologiske invarianter kaldet homologigrupper og kohomologigrupper . Homologiteorier kaldes også specifikke konstruktioner af homologigrupper.

I det enkleste tilfælde er et topologisk rum forbundet med en sekvens af abelske homologigrupper opregnet ved naturlige tal . De er homotopi-invarianter , og i modsætning til homotopigrupper er de lettere at beregne og mere geometrisk klare, men for blot forbundne rum bærer de den samme mængde information [1] . $x$ $H_{k}(X)$ $k$

Definitionen af homologi er dog mindre eksplicit og bruger noget teknisk maskineri [2] , og derfor er der flere forskellige teorier om homologi - begge kun defineret for "gode" topologiske rum eller kræver yderligere struktur , og mere komplekse, designet til at arbejde med patologiske eksempler. Men med undtagelse af sådanne patologiske tilfælde falder de normalt sammen: for cellulære rum er dette sikret af Steenrod-Eilenberg-aksiomer .

Andre almindelige begreber om homologiteori er homologi med koefficienter i en abelsk gruppe , relativ homologi af et par rum og kohomologi , hvis definitioner i en vis forstand er dobbelte med homologi. Det er ofte kohomologier, der overvejes på grund af tilstedeværelsen af multiplikation på dem , hvilket gør dem til en graderet algebra . $H_{k}(X,A)$ $EN$ $H_{k}(X,Y)$ $X\upset Y$ $H^{k}(X)$ $H^{k}(X)\nogle gange H^{l}(X)\til H^{k+l}(X)$

Kohomologier kaldes også invarianter forbundet med andre matematiske objektgrupper , Lie - algebraer , skiver . De er forenet af en formel lighed - for eksempel tilstedeværelsen i deres definition af begrebet homologi af et kædekompleks - og i nogle tilfælde tilstedeværelsen af konstruktioner, der forbinder sådanne objekter med topologiske rum med passende homologier.

Generel definition

Husk på, at den - te homotopigruppe i et rum er sættet af afbildninger fra den dimensionelle sfære til , betragtet op til en kontinuerlig deformation . For at bestemme homologien erstattes afbildninger af sfærer af -cyklusser, som intuitivt repræsenteres som lukkede (det vil sige uden grænser) orienterede film af dimension inde i , men er formaliseret forskelligt i forskellige definitioner. Betingelsen for kontinuerlig deformerbarhed erstattes af betingelsen om, at forskellen mellem cyklusser (deres forening, hvor den anden tages med den modsatte orientering) er en orienteret cyklusgrænse med dimension en mere. $k$ $\pi _{k}(X)$ $x$ $k$ $x$ $H_{k}(X)$ $k$ $k$ $x$

I standardnotation er -cyklusgruppen (fra tysk Zyklus - "cyklus"), -grænsegruppen er (fra engelsk grænse - "grænse"), og sætningen "homologier er cyklusser op til grænser" skrives som $k$ $Z_{k}(X)$ $k$ $B_{k}(X)$

H_{k}(X)=Z_{k}(X)/B_{k}(X)

For at formalisere denne idé er det nødvendigt nøje at definere cyklusser og deres grænser, hvilket fører til nogle vanskeligheder for dimensionscyklusser [1] . Løsningen er at definere et mellemkoncept af en -kædegruppe bestående af formelle lineære kombinationer af afbildninger til nogle standardelementer afhængig af den valgte konstruktion. En standardelementgrænse er defineret som en lineær kombination af standardelementer med dimension en mindre med passende orienteringer, hvilket inducerer en grænseafbildning . Derefter defineres -cyklusser som -kæder med en nulgrænse (for at ligheden mellem grænsen og nul skal give mening, er det nødvendigt at tage ikke kun positive, men også alle lineære kombinationer af standardelementer og specificere grænsekortet med et skilt). Således er cyklusser kernen , og grænser er billedet af grænsevisningen: $k>2$ $k$ $C_{k}(X)$ $x$ $\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)$ $k$ $k$

Z_{k}(X)=Ker(\partial _{k}:C_{k}(X)\to C_{k-1}(X)),~~~~B_{k}(X) )=Im(\partial _{k+1}:C_{k+1}(X)\til C_{k}(X))

Betingelsen om, at alle grænser er cyklusser, har form af kædekompleksbetingelsen : , og homologien af et topologisk rum er homologien af dette kompleks. $\partial _{k+1}\circ \partial _{k}=0$

Valget af standardelementer og kantvisning varierer afhængigt af teorien. I teorien om singular homologi er sådanne elementer simplicer , og grænsekortet forbinder en simpleks med en alternerende sum af dens ansigter. I teorien om simplicial homologi , defineret for simplicial komplekser , er også simplices, men ikke alle, men inkluderet i den valgte simplicial partition. I teorien om cellulær homologi , defineret for cellekomplekset , er disse hypersfærer fra et passende skelet, og grænsekortlægningen er mere kompliceret.

Homologiske teorier

Simpel homologi − Homologi er defineret for meget simple rum ( simpel komplekser ).

De defineres ganske enkelt, men beviset for deres invarians og funktionalitet er ret svært.

Singular homologi er en anden homologi teori foreslået af Lefschetz . Deres definition kræver arbejde med uendelig-dimensionelle rum, men invarians og funktionalitet bliver straks indlysende.

Cech homologi er den homologiteori, der er mest tilpasset til at arbejde med patologiske rum.

Homologi med koefficienter i vilkårlige grupper

Man kan definere homologier ved at tillade koefficienterne for simplices i kæder at være elementer i enhver abelsk gruppe . Det vil sige, i stedet for grupper skal du overveje grupper . $G$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(X)\nogle gange G$

Homologigrupper (simpelt, ental, osv.) af rum med koefficienter i gruppen er betegnet . Normalt bruges gruppen af reelle tal , rationelle tal eller den cykliske gruppe af rester modulo - , og det tages normalt - et primtal nummer, så er et felt . $x$ $G$ $H_{k}(X;G).$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $m$ $\mathbb {Z} _{m}$ $m=p$ $\mathbb {Z} _{p}$

En anden beskrivelse. Ansøgning til komplekset $C_{*}(X)$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X){\xleftarrow {}}C_{n}(X){\xleftarrow {}}C_{n+1}(X){\ xleftarrow {}}\ldots

functor , får vi et kompleks $\cdot \otimes G$

\ldots {\xleftarrow {}}C_{n-1}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n}(X)\otimes G{\xleftarrow {}}C_{n+1 }(X)\nogle gange G{\xleftarrow {}}\ldots

hvis homologi er homologien med koefficienter i . $G$

Kohomologi

Ud over kæder kan du introducere begrebet cochains - kortlægninger af et vektorrum af kæder i en gruppe . Det vil sige rummet af cochains . $G$ $C^{k}(X)=\operatørnavn {Hom} (C_{k}(X),G)$

Grænseoperatoren bestemmes af formlen: (hvor ). For sådan en grænseoperatør har vi også $\delta ^{k}:C^{k}\til C^{k+1}$ $(\delta ^{k}x)(c)=x(d_{k+1}c)$ $x\i C^{k},\;c\i C_{k+1}$

\delta ^{k+1}\delta ^{k}=0

, nemlig

(\delta ^{k+1}\delta ^{k}(x))(c)=\delta ^{k}x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{ k+2}c)=x(0)=0

Derfor, i lighed med det, der blev sagt ovenfor, kan man introducere begreberne cocycles , coboundaries og cohomology . ${\displaystyle Z^{k}(X,G)=\operatørnavn {Ker} \delta ^{k))$ $B^{k}(X,G)=\operatørnavn {Im} \delta ^{k-1}$ $H^{k}(X,G)=Z^{k}(X,G)/B^{k}(X,G)$

Begrebet kohomologi er dobbelt til begrebet homologi.

Hvis det er en ring , er der i kohomologigruppen defineret en naturlig multiplikation (Kolmogorov-Alexander-produktet eller -produktet), som gør denne gruppe til en graderet ring , kaldet kohomologiringen . $G$ $H^{*}(X,G)$ $\kop$

I det tilfælde, hvor der er en differentierbar manifold , kan kohomologiringen beregnes ved hjælp af differentialformer på (se De Rhams sætning ). $x$ $H^{*}(X,\mathbb {R})$ $x$

Begrebet kohomologi blev introduceret af Alexander og Kolmogorov .

Relativ homologi og nøjagtig homologisekvens

Lad os tage tilfældet med to topologiske rum . En gruppe af kæder (kæder kan enten være med heltalskoefficienter eller med koefficienter i en hvilken som helst gruppe ). Relative kæder vil blive kaldt elementer i faktorgruppen . Da grænseoperatoren på homologigruppen i underrummet oversætter , er det muligt at definere grænseoperatoren på kvotientgruppen (vi vil betegne det på samme måde) . $Y\undersæt X$ $C_{k}(Y)\delsæt C_{k}(X)$ $G$ $C_{k}(X,Y)=C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $d$ $Y$ $d_{k}\colon C_{k}(Y)\til C_{k-1}(Y)$ $C_{k}(X,Y)$ $d_{k}\colon C_{k}(X,Y)\til C_{k-1}(X,Y)$

De relative kæder, som grænseoperatoren oversætter til , vil blive kaldt relative sløjfer , og kæderne, der er dens værdier, har relative grænser . Da på absolutte kæder, vil det samme være tilfældet for relative, herfra . Faktorgruppen kaldes den relative homologigruppe . $0$ $Z_{k}(X,Y)$ $B_{k}(X,Y)$ $dd=0$ $B_{k}(X,Y)\delsæt Z_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)=Z_{k}(X,Y)/B_{k}(X,Y)$

Da hver absolut cyklus i også er relativ, har vi en homomorfi . Ved den funktionelle egenskab fører indlejringen til en homomorfi . $H_{k}(X)$ $j_{k}:H_{k}(X)\til H_{k}(X,Y)$ $i_{k}:Y\til X$ $i_{*}:H_{k}(Y)\til H_{k}(X)$

Til gengæld kan vi konstruere en homomorfi , som vi definerer som følger. Lade være en relativ kæde, der definerer en cyklus fra . Betragt det som en absolut kæde i (op til elementer ). Da dette er en relativ cyklus, vil den være lig med nul op til en eller anden kæde . Vi sætter lig med kædens homologiklasse . $d_{*k}:H_{k}(X,Y)\til H_{k-1}(Y)$ $c_{k}\in C_{k}(X,Y)$ $H_{k}(X,Y)$ $C_{k}(X)$ $C_{k}(Y)$ $d_{k}c$ $c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)$ $d_{*k}$ $c_{k-1}=d_{k}c\in Z_{k-1}(Y)$

Hvis vi tager en anden absolut kæde, der definerer den samme relative cyklus, så vil vi have , hvor . Vi har , men da det er grænsen ved det og definere det samme element i homologigruppen . Hvis vi tager en anden relativ cyklus , som giver det samme element i den relative homologi gruppe , hvor er den relative grænse, så på grund af det faktum, at grænsen for relative homologier er , hvor , dermed , men , og er grænsen i . $c'_{k}\in C_{k}(X)$ $c=c'+u$ $u\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c'+d_{k}u$ $d_{k}u$ $Z_{k-1}(Y)$ $d_{k}c$ $d_{k}c'$ $H_{k-1}(Y)$ $c''$ $c=c''+b$ $b$ $b$ $b=d_{k+1}x+v$ $v\in C_{k}(Y)$ $d_{k}c=d_{k}c''+d_{k}d_{k+1}x+d_{k}v$ $dd=0$ $d_{k}v$ $Z_{k-1}(Y)$

Derfor er homologiklassen entydigt defineret. Det fremgår tydeligt af operatørens linearitet, at det er en homomorfi. Så vi har homomorfier: $d_{*k}c_{k}$ $d_{*k}$

i_{*k}\colon H_{k}(Y)\til H_{k}(X)

;

j_{*k}\colon H_{k}(X)\til H_{k}(X,Y)

d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\til H_{k-1}(Y)

;

...\til H_{k}(Y)\til H_{k}(X)\til H_{k}(X,Y)\til H_{k-1}(Y)\til ...

Det kan bevises, at denne sekvens er nøjagtig , det vil sige, at billedet af enhver homomorfi er lig med kernen i den næste homomorfi.

Steenrod-Eilenberg aksiomer

Ud over den simple og singulære homologi, der allerede er kendt af os, er der andre teorier om homologi og kohomologi, for eksempel cellulær homologi , Alexandrov-Cech kohomologi , de Rham kohomologi osv. Steenrod og Eilenberg definerede et system af aksiomer for teorien af (co)homologi. Først definerer de den såkaldte. en tilladt klasse af par af topologiske rum, der opfylder følgende egenskaber: $D$

Hvis da og . $(X,Y)\i D,$ $(X,X)\i D,$ $(X,\varnothing )\i D,$ $(Y,Y)\i D$ $(Y,\varnothing )\in D$
Hvis , så og , hvor er det lukkede interval [0,1]. $(X,Y)\i D$ $(X\ gange I, Y\ gange I)\i D$ $jeg$
$(*,\varnothing )\in D$ , hvor er et et-punkts mellemrum. $*$

I Steenrod-Eilenberg-homologiteorien svarer hvert tilladeligt par og ethvert heltal k til en Abelsk gruppe , og en kontinuerlig kortlægning af par svarer til en homomorfi (Rummet identificeres med parret ) , og med ) , og de følgende aksiomer gælder : $H_{k}(X,Y)$ $f\kolon (X,Y)\til (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\til H_{k}(X',Y')$ $x$ $(X,\varnothing )$ $H_{k}(X)$ $H_{k}(X,\varnothing)$

Identitetskortlægningen af et par svarer til identitetshomomorfien . $id$ ${\displaystyle id_{*k))$
$(gf)_{*k}=g_{*k}f_{*k}$ ( funktionel )
En grænsehomomorfi er defineret , og hvis , så gælder den tilsvarende homomorfi for enhver dimension . $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)$ $f\kolon (X,Y)\til (X',Y')$ $f_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\til H_{k}(X',Y')$ $d_{*k}f_{*k}=f_{*k-1}d_{*k}$ $k$
Lad og være indlejringer, og vær de tilsvarende homomorfismer, være en grænsehomomorfi. Så er den rækkefølge, de definerer , nøjagtig ( aksiom for nøjagtighed ). $i\kolon Y\til X$ $j\kolon X\til (X,Y)$ $i_{*k}\colon H_{k}(Y)\til H_{k}(X)$ $j_{*k}\colon H_{k}(X)\til H_{k}(X,Y)$ $d_{*k}\colon H_{k}(X,Y)\til H_{k-1}(Y)$
$\ldots \to H_{k}(Y)\to H_{k}(X)\to H_{k}(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to \ldots$
Hvis kortlægninger er homotopiske , så er de tilsvarende homomorfismer ens for enhver dimension ( aksiom for homotopi-invarians ). $f,g\kolon (X,Y)\til (X',Y')$ $f_{*k}=g_{*k}$ $k$
Lade være en åben delmængde af , og dens lukning er indeholdt i det indre af sættet , så hvis parrene og tilhører en tilladt klasse, så for enhver dimension svarer indlejringen til en isomorfisme ( skæreaksiom ). $U\undersæt X$ $x$ $Y$ $(X\setminus U,Y\setminus U)$ $(X,Y)$ $k$ $(X\setminus U,Y\setminus U)\hookrightarrow (X,Y)$ $H_{k}(X\setminus U,Y\setminus U)\simeq H_{k}(X,Y)$
For en et-punkts plads til alle dimensioner . En abelsk gruppe kaldes gruppen af koefficienter ( dimensionsaksiom ). $H_{k}(*)=0$ $k>0$ $G=H_{0}(*)$

For singular homologi består den tilladte klasse af par af alle par af topologiske rum. De tidligere definerede singulære homologigrupper med koefficienter i deres kortlægningsgruppe og grænsehomomorfien opfylder alle disse aksiomer. Hvis vi tager klassen af polyedre som en tilladt klasse, så kan vi bevise, at homologierne defineret ved hjælp af dette system af aksiomer falder sammen med de simple. $G$ $d_{*}$

På samme måde kan vi indføre et system af aksiomer for kohomologi, som er fuldstændig analogt.

Det er kun nødvendigt at huske på, at kortlægningen stemmer overens ( kontravarians ), og at coboundary-homomorfien øger dimensionen. $f\kolon (X,Y)\til (X',Y')$ $f^{*k}\colon H^{k}(X',Y')\til H^{k}(X,Y)$ $\delta ^{*k}\colon H^{k-1}(Y)\til H^{k}(X,Y)$

Ekstraordinær homologi

I systemet med Steenrod-Eilenberg aksiomer er dimensionsaksiomet ikke så vigtigt som de andre.

Teorier om (ko)homologi, der kan have ikke-nul (ko)homologigrupper af et etpunktsrum for dimensioner , kaldes ekstraordinære eller generaliserede. De vigtigste ekstraordinære teorier er K-teorien om Atiyah (det skal bemærkes det vigtige bidrag til denne teori af Hirzebruch , Bott og Adams ) og R. Thomas bordismeteori . $k>0$

Se også

Noter

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 95.
↑ Hatcher, 2002 , s. 97.

Litteratur

Wick J.W. Homologiteori. Introduktion til algebraisk topologi. — M .: MTsNMO , 2005
Dold A. Forelæsninger om algebraisk topologi. — M .: Mir, 1976
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri: Metoder til homologiteori. — M .: Nauka, 1984
Seifert G., Trefall W. Topology. - Izhevsk: RHD, 2001
Lefshetz S. Algebraisk topologi. — M .: IL, 1949
Novikov P. S. Topologi. - 2. udg. korrekt og yderligere - Izhevsk: Institut for Computerforskning, 2002
Prasolov VV Elementer af homologi teori. — M .: MTsNMO , 2006
Switzer R. M. Algebraisk topologi. — homotopi og homologi. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971
Steenrod N., Eilenberg S. Grundlag for algebraisk topologi. - M .: Fizmatgiz, 1958
Fomenko AT , Fuchs DB Kursus i homotopi topologi . - M. : Nauka, 1989. - 528 s. — ISBN 5020139297 .
Hatcher A. Algebraisk topologi. - Cambridge University Press, 2002. -ISBN 0521795400.