Kahlerian manifold

En kahlerisk manifold er en manifold med tre gensidigt kompatible strukturer: en kompleks struktur , en Riemannsk metrisk og en symplektisk form .

Opkaldt efter den tyske matematiker Erich Köhler .

Definitioner

Som en symplektisk manifold: En Kählerian manifold er en symplektisk manifold med en integrerbar næsten kompleks struktur , der stemmer overens med den symplektiske form . $(K,\omega )$

Som en kompleks manifold: En Kähler-manifold er en hermitisk manifold med en lukket hermitisk form. En sådan hermitisk form kaldes Kählerian.

Forbindelse mellem definitioner

Lad være en hermitisk form , være en symplektisk form og være en næsten kompleks struktur . Konsistens betyder, at formen : $h$ $\omega$ $J$ $\omega$ $J$

g(u,v)=\omega (u,Jv)

er riemannsk; det vil sige positivt bestemt. Forbindelsen mellem disse strukturer kan udtrykkes ved identiteten:

h=gi\omega .

Kähler potentiale

På en kompleks manifold genererer hver strengt pluriharmonisk funktion en Kähler-form $K$ $\rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )$

\omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .

I dette tilfælde kaldes funktionen for formens Kähler-potentiale . $\rho$ $\omega$

Det modsatte er tilfældet lokalt. Mere præcist, for hvert punkt i en Kähler-manifold eksisterer der et kvarter og en funktion sådan $s$ $(K,\omega )$ $U\ni p$ $\rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$

\omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho

Dette kaldes formens lokale Kähler-potentiale . $\rho$ $\omega$

Eksempler

Kompleks euklidisk rum med standard hermitisk form. $\mathbb{C}^n$
Hver Riemann-metrik på en orienterbar overflade definerer en Kähler-manifold, da lukning er triviel i reel dimension to. $\omega$
Kompleks projektivt rum med Fubini-Study metrikken . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
Induceret metrisk på en kompleks undermanifold i en Kähler-manifold.
- Især enhver Stein-variant og enhver projektiv algebraisk variant .
- Ved Kodaira-indlejringssætningen er en Kähler-manifold, der tillader et positivt bundt med en linjefiber, indlejret i et projektivt rum.
K3 overflader
En vigtig underklasse af Kähler-manifolder er Calabi-Yau-manifolder .

Se også

Næsten kompleks manifold

Litteratur

P. Deligne , Ph. Griffiths, J. Morgan, D. Sullivan. Ægte homotopi teori om Kähler manifolds // Opfind. Matematik. - 1975. - T. 29 . — S. 245–274 . - doi : 10.1007/BF01389853 .
E. Kahler . Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik // Abh. Matematik. Sem. Univ. Hamborg. - 1933. - T. 9 . — S. 173–186 . - doi : 10.1007/BF02940642 .
R. Hartshorne. Algebraisk geometri. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 .
Alan Huckleberry og Tilman Wurzbacher, red. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8 .
A. Moroianu. Forelæsninger om Kahler geometri. - Cambridge University Press , 2007. - V. 69. - (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-68897-0 .
A. Weil . Introduktion à l'étude des variétés kählériennes. - 1958.