Nøjagtig rækkefølge

En nøjagtig sekvens er en sekvens af algebraiske objekter med en sekvens af homomorfismer , således at billedet for et hvilket som helst falder sammen med kernen (hvis begge homomorfier med sådanne indekser eksisterer). I de fleste applikationer spiller kommutative grupper , nogle gange vektorrum eller algebraer over ringe , en rolle . $G_{i}$ $\varphi _{i}\colon G_{i}\rightarrow G_{i+1}$ $jeg$ $\varphi _{i-1}$ $\varphi _{i}$ $G_{{i}}$

Relaterede definitioner

Præcise type sekvenser $0\longrightarrow A{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}B{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C\longrightarrow 0$

kaldes korte nøjagtige sekvenser , i dette tilfælde en monomorfi og en epimorfi .

\varphi

\psi

Desuden, hvis y har en højre invers morfisme eller y har en venstre invers morfisme, så kan den identificeres med på en sådan måde, at den identificeres med den kanoniske indlejring i , og med den kanoniske projektion på . I dette tilfælde siges den korte nøjagtige sekvens at være

opdeling .

\varphi

\psi

B

A\oplus C

\varphi

EN

A\oplus C

\psi

A\oplus C

C

En lang nøjagtig rækkefølge er en nøjagtig rækkefølge med et uendeligt antal objekter og homomorfier.
Hvis så rækkefølgen kaldes semi-eksakt . $\mathrm {Im} \,\varphi _{i}\subset \mathrm {Ker} \,\varphi _{i+1},$

Eksempler

I teorien om homotopigrupper er den nøjagtige rækkefølge af parret af stor betydning , især den nøjagtige rækkefølge af bundtet . Hvis er et lokalt trivielt bundt over med fiber , så er følgende sekvens af homotopigrupper nøjagtig [1] : $F\to M\to B$ $B$ $F$

\ldots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(M)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F )\to \ldots \to \pi _{0}(F)\to \pi _{0}(M)\to \pi _{0}(B)

Den nøjagtige Maier-Vietoris-sekvens er af stor betydning for beregning af homologigrupperne i komplekse rum:

{\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n}(A\cap B)\ ,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{* ))}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*))}\\&\quad {\xrightarrow {\partial _{*))}\,H_{n-1}( A\cap B)\rightarrow \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0} (X)\højrepil \,0.\end{aligned}}

Et kædekompleks er en semi-nøjagtig sekvens af abelske grupper.
Lad være et lokalt trivielt bundt af manifolder . Derefter forbindes den [2] med en kort nøjagtig rækkefølge af bundter $E\to X$

0\longrightarrow VX\longrightarrow TE\longrightarrow HX\longrightarrow 0

og dens dobbelte

0\longleftarrow V^{*}X\longleftarrow T^{*}E\longleftarrow H^{*}X\longleftarrow 0

Her er tangentbundtet til manifolden , og er de lodrette og vandrette bundter af henholdsvis k . angiver det dobbelte bundt ( cotangens osv.).

TE

E

VX

HX

x

^{*}

Eksponentiel nøjagtig sekvens

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 ,

hvor u er en bunke af holomorfe funktioner på en kompleks manifold og dens underskive bestående af ingensteds forsvindende funktioner

{\mathcal {O}}_{M}

{\mathcal {O}}_{M}^{*}

M

Litteratur

↑ Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971.
↑ G. A. Sardanashvili Moderne metoder til feltteori. Vol. 1: Geometri og klassiske felter, - M. : URSS, 1996. - 224 s.