Pontryagin klasse

Pontryagin-klassen er en karakteristisk klasse defineret for rigtige vektorbundter . Konceptet blev introduceret i 1947 af den sovjetiske matematiker L. S. Pontryagin .

For et vektorbundt med en base er Pontryagin-klasserne angivet med symbolet og antages at være lig med $\xi$ $B$ $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$

p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )

hvor er kompleksiseringen af bundtet , og a er Chern-klasserne . $\xi \otimes \mathbb {C}$ $\xi$ $c_{i}$

En komplet Pontryagin-klasse er en inhomogen karakteristisk klasse

p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots

Hvis er en glat manifold, og bundtet ikke er eksplicit specificeret, antages det, at der er et tangentbundt . $B$ $\xi$ $\xi$ $B$

Egenskaber

Hirzebruch L-klassen og -klassen er udtrykt i Pontryagin-klasserne. ${\hat {A}}$
Hvis , er to reelle vektorbundter over en fælles base, så har kohomologiklassen højst rækkefølge to. $\xi$ $\eta$
$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$
- Især hvis koefficientringen indeholder 1/2, så gælder ligheden .
  $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$
Pontryagin-klasser med rationelle koefficienter for to homeomorfe varianter falder sammen (sætning af S. P. Novikov )
- Der er et eksempel, der viser, at Pontryagins heltalsklasser ikke er topologiske invarianter.
For et 2k - dimensionelt bundt , hvor angiver Euler-klassen . $\xi$
$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
$e(\xi)$

Pontryagin L. S. “Mat. Sb., 1947, bind 21, s. 233-84;
Novikov S. P. "Rapport. USSR's Videnskabsakademi, 1965, v. 163, s. 298-300;
Milnor J. , Stashef J. Karakteristiske klasser = Karakteristiske klasser. — M .: Mir , 1979. — 371 s. - 6500 eksemplarer.