Pontryagin klasse
Pontryagin-klassen er en karakteristisk klasse defineret for rigtige vektorbundter . Konceptet blev introduceret i 1947 af den sovjetiske matematiker L. S. Pontryagin .
For et vektorbundt med en base er Pontryagin-klasserne angivet med symbolet og antages at være lig med
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86daa5c1c27e97822f55afc03b400b0faa49d5ab)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd7022782efe3efcb2d185f1729abf4a31dbba)
,
hvor er kompleksiseringen af bundtet , og a er Chern-klasserne .
![{\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815668bf19857f0ca128a9470709bea4718c65bc)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![c_{i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2)
En komplet Pontryagin-klasse er en inhomogen karakteristisk klasse
![{\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bd5bb5e49355d7696be6cc609cb74aecc9d22)
.
Hvis er en glat manifold, og bundtet ikke er eksplicit specificeret, antages det, at der er et tangentbundt .
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Egenskaber
- Hirzebruch L-klassen og -klassen er udtrykt i Pontryagin-klasserne.
![{\hat {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
- Hvis , er to reelle vektorbundter over en fælles base, så har kohomologiklassen højst rækkefølge to.
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![\eta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a935ad8e67ed106dbf4b2c583780c72369c0ab)
- Især hvis koefficientringen indeholder 1/2, så gælder ligheden .
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a85ee1206e950bd6913d4677bf245ee840b11)
- Pontryagin-klasser med rationelle koefficienter for to homeomorfe varianter falder sammen (sætning af S. P. Novikov )
- Der er et eksempel, der viser, at Pontryagins heltalsklasser ikke er topologiske invarianter.
- For et 2k - dimensionelt bundt , hvor angiver Euler-klassen .
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![{\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe18167a8775581c5b94815f6842f9eb299b1b)
![{\displaystyle e(\xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5b3ea959fd349c14d22bf15d2eed697110827)
Litteratur
- Pontryagin L. S. “Mat. Sb., 1947, bind 21, s. 233-84;
- Novikov S. P. "Rapport. USSR's Videnskabsakademi, 1965, v. 163, s. 298-300;
- Milnor J. , Stashef J. Karakteristiske klasser = Karakteristiske klasser. — M .: Mir , 1979. — 371 s. - 6500 eksemplarer.