Yonedas Lemma

Yonedas lemma er et resultat om funktoren Hom ; kategoriteoretisk generalisering af Cayleys klassiske gruppeteoretiske sætning (hvis vi betragter en gruppe som en kategori af ét objekt). Lemmaet giver os mulighed for at overveje indlejringen af en vilkårlig kategori i kategorien af funktorer fra den til kategorien af sæt . Det er et vigtigt værktøj, der har gjort det muligt at opnå mange resultater inden for algebraisk geometri og repræsentationsteori .

Generel sag

I en vilkårlig (lokalt lille) kategori for et givent objekt kan vi betragte den kovariansfunktion Hom , angivet med: $EN$

h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-)

Yonedas lemma siger, at for ethvert objekt i kategorien er naturlige transformationer fra til en vilkårlig funktor fra en kategori til en kategori af sæt i en-til-en overensstemmelse med elementerne i : $EN$ ${\mathcal C}$ $h^{A}$ $F$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Sæt}}$ $F(A)$

\mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A)

For en given naturlig transformation fra til det tilsvarende element er , det vil sige, at den naturlige transformation er unikt bestemt af billedet af den identiske morfisme. $\Phi$ $h^{A}$ $F$ $F(A)$ $u=\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})$

Den kontravariante version af lemmaet betragter den kontravariante funktion:

h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A)

sender til mange . For en vilkårlig kontravariant funktor fra til $x$ $\mathrm {Hom} (X,A)$ $G$ ${\mathcal C}$ ${\mathbf {Sæt}}$

\mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A)

Mnemonreglen "falder i noget" bruges, når man betragter morfismer til et fast objekt.

Beviset for Yonedas lemma præsenteres i følgende kommutative diagram :

Diagrammet viser, at den naturlige transformation er fuldstændigt defineret , da for enhver morfisme : $\Phi$ $\Phi _{A}({\mathrm {id}}_{A})=u$ $f\colon A\to X$

\Phi _{X}(f)=(Ff)u

Desuden definerer denne formel en naturlig transformation for enhver (da diagrammet er kommutativt). Beviset for det modstridende tilfælde er det samme. $u\in F(A)$

Yonedas investering

Et særligt tilfælde af Yonedas lemma er, når funktoren også er en Hom-funktor. I dette tilfælde siger en kovariant version af Yonedas lemma, at: $F$

\mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A)

Kortlægningen af hvert kategoriobjekt til den tilsvarende Hom-funktion og hver morfisme til den tilsvarende naturlige transformation definerer en kontravariant funktor fra til eller en kovariansfunktion: $EN$ ${\mathcal C}$ $h^{A}=Hom(A,-)$ $f\colon B\to A$ $\mathrm {Hom} (f,-)$ $h^{-}$ ${\mathcal C}$ $\mathbf {Sæt} ^{\mathcal {C}}$

h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}

I denne situation siger Yonedas lemma, at er en fuldstændig univalent funktor , det vil sige, at den definerer en indlejring i kategorien af funktorer i . $h^{-}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\mathbf {Sæt}}$

I det modsatte tilfælde, ved Yoneda-lemmaet:

\mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B)

Derfor definerer den en fuldstændig univalent kovariant funktion (Yoneda-indlejringen): ${\displaystyle h_{-))$

h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}

Litteratur

Freyd, Peter (1964), Abelian categories (2003 reprint ed.), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row , < http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html > .
McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .