Grundlæggende klasse

Den grundlæggende klasse er homologiklassen for en orienteret manifold , som svarer til "hele manifolden". Intuitivt kan den grundlæggende klasse opfattes som summen af forenklinger af den maksimale dimension af en passende triangulering af manifolden.

Den grundlæggende klasse af en sort betegnes normalt . $M$ $[M]$

Definition

Lukket orienterbar manifold

Hvis en dimensionsmanifold er forbundet , orienterbar og lukket , så er den -th homologigruppe uendelig cyklisk :. I dette tilfælde bestemmes orienteringen af manifolden af valget af det genererende element i gruppen eller isomorfisme . Det overordnede element kaldes den fundamentale klasse . $M$ $n$ $n$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} \to H_{n}(M,\mathbb {Z} )$

Hvis en orienterbar manifold er afbrudt, så kan man som en fundamental klasse formelt associere summen af de fundamentale klasser af alle dens forbundne komponenter . Sammenligningen er formel, da denne sum ikke er et genererende element for gruppen . ${\displaystyle M=\bigcup \limits _{i}M_{i))$ $\sum \limits _{i}[M_{i}]$ $M_{i}$ $H_{n}(M,\mathbb {Z} )=\bigoplus \limits _{i}H_{n}(M_{i},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} \oplus \ prikker \oplus \mathbb {Z}$

Ikke-orienterbar manifold

For en ikke-orienterbar manifold , hvis gruppen er forbundet og lukket, så . Det genererende element i en gruppe kaldes den grundlæggende klasse af en ikke -orienterbar manifold . $H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0$ $M$ ${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2))$ $H_{n}(M;\mathbb {Z} _{2})$ $M$

${\mathbb {Z}}_{2}$ Den grundlæggende klasse af en manifold bruges i definitionen af Stiefel-Whitney-tallene .

Manifold med grænse

Hvis er en kompakt orienterbar manifold med grænse , så er den -th relative homologigruppe uendelig cyklisk : . Det genererende element i en gruppe kaldes den grundlæggende klasse af en manifold med grænse. $M$ $\delvis M$ $n$ $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbb {Z}$ $H_{n}(M,\partial M)$

Poincaré dualitet

Hovedresultatet af den homologiske teori om manifold er Poincaré-dualiteten mellem homologi- og kohomologigrupperne i en manifold. Den tilsvarende Poincare-isomorfi

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} )

(til orienteret)

D:H^{k}(M;\mathbb {Z} _{2})\to H_{nk}(M;\mathbb {Z} _{2})

(for ikke-orienterbare)

manifold er defineret af den tilsvarende grundlæggende klasse af manifolden:

D(\alpha )=[M]\frown \alpha

hvor betegner multiplikationen af homologi- og kohomologiklasser. $\rynke panden$ $\rynke panden$

Visningsgrad

Lad , tilsluttes lukkede orienterede manifolds af samme dimension. Hvis er et kontinuerligt kort , så $M$ $N$ $f:M\til N$

f_{\ast [M]=k[N]

hvor er den inducerede homomorfi (af grupperinge) og er graden af kortlægning . ${\displaystyle f_{\ast ))$ $f$ $k=\deg(f)$ $f$

Litteratur

PÅ. Fomenko, D.B. Fuchs . Kursus i homotopi-topologi - M: Nauka, 1989.
A. Dold Forelæsninger om algebraisk topologi - M: Mir, 1976.