Divisor (algebraisk geometri)

I algebraisk geometri er divisorer en generalisering af undervarieteter af en eller anden algebraisk variation af kodimension 1. Der er to forskellige sådanne generaliseringer - Weyl divisors og Cartier divisors (opkaldt efter André Weyl og Pierre Cartier ), disse begreber er ækvivalente i tilfælde af varieteter ( eller skemaer ) uden singulariteter .

Weil divisors

Definition

En Weyl divisor på en algebraisk sort (eller mere generelt på et Noetherian-skema ) er en endelig lineær kombination af , hvor er irreducible lukkede delmængder og er heltalskoefficienter. Det er klart, at Weyl-divisorerne danner en abelsk gruppe med hensyn til addition; denne gruppe kaldes . En divisor af formen kaldes simpel , og en divisor, for hvilken alle koefficienter er ikke-negative, kaldes effektiv . $x$ ${\sum _{i}n_{i}[Z_{i}]}$ $[Z_{i}]$ $x$ $n_{i}$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ $[Z]$ $n_{i}$

Divisor klassegruppe

Antag, at skemaet er helt , adskilleligt og regelmæssigt i kodimension 1 (især gælder disse egenskaber for glatte algebraiske varianter). Regularitet i kodimension 1 betyder, at den lokale generiske punktring af enhver irreducerbar lukket delmængde af kodimension 1 er regulær (og Noethersk, da det er en lokalisering af en Noethersk ring), og derfor er en diskret værdiansættelsesring . Enhver rationel funktion på (et element i feltet af kvotienter af ringen af regulære funktioner ) har en eller anden norm i denne ring. Hvis normen for en rationel funktion er større end nul for en irreducerbar delmængde , så siges den rationelle funktion at have et nul på , og hvis den er mindre end nul, har den en pol. Da skemaet er Noetherian, følger det, at normen for en rationel funktion ikke er lig med nul kun for et endeligt antal irreducerbare delmængder, så hver rationel funktion er forbundet med en divisor betegnet med . Divisorer, der kan opnås på denne måde, kaldes hoveddivisorer . $x$ $x$ $K[X]$ $Y$ $Y$ $(f)$

Siden danner hoveddivisorer en undergruppe i . En faktorgruppe af en undergruppe af hoveddivisorer kaldes en divisorklassegruppe og betegnes med . Selve divisorklassegruppen er en interessant skema-invariant (trivialiteten af klassegruppen i et affint skema er et kriterium for faktorialiteten af en ring , forudsat at den er noethersk og integreret lukket ) [1] , og også i nogle tilfælde, gør det muligt at klassificere alle endimensionelle bundter over et givet skema. $(fg)=(f)+(g)$ ${\mathrm {Weil}}\,X$ ${\mathrm {Cl}}\,X$ ${\mathrm {Spec}}A$ $EN$ $EN$

Weil divisorer og linjebundter

Lad være et linjebundt over et (helt, noethersk, regulært i kodimension 1) skema ; det svarer til en bunke af sektioner lokalt isomorfe til ringen af regulære funktioner på . Ved at bruge disse isomorfismer kan enhver rationel sektion af en given bunke (det vil sige et snit over en åben tæt delmængde) associeres med en divisor af dens nuller og poler, betegnet med [2] . To forskellige rationelle sektioner adskiller sig i multiplikation med en rationel funktion, så denne sammenligning definerer en veldefineret afbildning fra Picard-gruppen til divisor-klassegruppen: . Man kan også kontrollere, at denne kortlægning er en homomorfi (summen af divisorer svarer til tensorproduktet af bundter), i tilfælde af en normal ordning er den injektiv, og i tilfælde af lokal faktorialitet af skemaet er den surjektiv [3 ] . Især alle disse betingelser er opfyldt for glatte algebraiske varianter, hvilket giver en klassificering af linjebundter over dem op til isomorfi. For eksempel er alle endimensionelle bundter over et affint lokalt faktorielt skema trivielle, da dens divisorklassegruppe er triviel. ${\mathcal L}$ $x$ $x$ $s$ ${\mathrm {div}}\,s$ ${\mathrm {div}}:{\mathrm {Billede}}\,X\til {\mathrm {Cl}}\,X$

Cartier divisors

For at arbejde med vilkårlige skemaer, der har singulariteter, er en anden generalisering af begrebet en undermanifold af kodimension 1 ofte mere bekvem [4] . Lad være en vis dækning af et skema med affine ordninger, og vær en familie af rationelle funktioner på de tilsvarende (i dette tilfælde betyder en rationel funktion et element i den komplette ring af kvotienter). Hvis disse funktioner er kompatible, i den forstand at de adskiller sig ved multiplikation med en invertibel regulær funktion, så definerer denne familie en Cartier divisor. $U_{i}$ $x$ $f_{i}$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$

Mere præcist, lad være den komplette ring af fraktioner af ringen af regulære funktioner (hvor er en vilkårlig affin [5] åben delmængde). Da de affine delmængder danner basis for topologien , definerer de alle entydigt en presheaf på , og den tilsvarende sheaf er betegnet med . En Cartier divisor er en global sektion af kvotienten sheaf , hvor er en sheaf af reversible regulære funktioner. Der er en nøjagtig rækkefølge , ved at anvende den venstre nøjagtige funktion af globale sektioner , får vi den nøjagtige rækkefølge . Cartier divisorer, der ligger på billedet af en mapping fra , kaldes principal divisors . $K(U)$ ${\mathcal O}_{X}(U)$ $U$ $x$ $K(U)$ $x$ ${\mathcal K}_{X}^{*}$ ${\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}$ ${\mathcal O}_{X}^{*}$ $0\til {\mathcal O}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}\to {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*}\til 0$ $0\til \Gamma (X,{\mathcal O}_{X}^{*})\til \Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})\til \Gamma (X, {\mathcal K}_{X}^{*}/{\mathcal O}_{X}^{*})\to H^{1}(X,{\mathcal O}_{X}^{* })$ $\Gamma (X,{\mathcal K}_{X}^{*})$

Der er en naturlig homomorfi fra gruppen af Cartier divisorer (gruppeoperationen svarer til multiplikationen af funktioner) til gruppen af Weyl divisorer; hvis er et helt adskilleligt Noethersk skema, hvis lokale ringe er faktorielle, er denne kortlægning en isomorfi. I det tilfælde, hvor betingelsen om lokal faktorialitet ikke er opfyldt, svarer Cartier-divisorer lokalt til de vigtigste Weyl-divisorer (divisorer, der er defineret som nuller af en eller anden rationel funktion i et område af hvert punkt). Et eksempel på en Weil divisor, der ikke er en Cartier divisor, er en linje i en kvadratisk kegle, der går gennem dens toppunkt. $x$ ${\mathbb R}[x,y,z]/(x^{2}+y^{2}-z^{2})$

En Cartier divisor, ligesom en Weyl divisor, kan associeres med et linjebundt (eller tilsvarende en inverterbar bunke ). Kortlægningen fra faktorgruppen af Cartier divisorer over undergruppen af hoveddivisorer til Picard-gruppen er en injektiv homomorfi, og i tilfælde af projektive eller hele skemaer er den surjektiv.

Effektive Cartier divisors

En Cartier divisor siges at være effektiv, hvis alle de funktioner, der definerer den, er regulære på de tilsvarende sæt . I dette tilfælde er den inverterbare bunke, der svarer til divisoren, bunken af idealer , det vil sige bunken af funktioner, der forsvinder på et lukket underskema. Omvendt definerer dette lukkede underskema entydigt en effektiv divisor, så effektive Cartier divisorer kan defineres som lukkede underskemaer , der lokalt kan defineres som sættet af nuller af en enkelt funktion, der ikke er en nuldivisor [6] . På et helt adskilleligt Noether-skema, hvis lokale ringe er faktorielle, svarer de effektive Cartier-divisorer nøjagtigt til de effektive Weyl-divisorer [7] . $f_{i}$ $U_{i}$ $x$ $x$

Noter

↑ Hartshorne, 1981 , s. 174.
↑ Ravi Vakil , s. 388.
↑ Ravi Vakil , s. 389, 391.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 185.
↑ Kleiman, 1979 .
↑ Ravi Vakil , s. 236, 396.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 191.

Litteratur

R. Hartshorne. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981.
Kleiman, Steven. Misforståelser om K X // L'Enseignment Mathématique. - 1979. - Nr. 25 . — S. 203-206. - doi : 10.5169/seals-50379 .