Præcis Euler-sekvens

Den nøjagtige Euler-sekvens er en bestemt nøjagtig rækkefølge af skiver på et n - dimensionelt projektivt rum over en ring . Det viser, at det cotangente bundt af et projektivt rum er stabilt isomorf til ( n + 1)-fold sum af tautologiske bundter (se Serre twist sheaf ). ${\mathcal {O}}(-1)$

Ordlyd

For en kommutativ ring A eksisterer der en nøjagtig rækkefølge af skiver

0\to \Omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A} ^{n}}(-1)^{\oplus n+1}\til {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}\til 0.

For at bevise det er det tilstrækkeligt at definere en homomorfi , hvor og i styrken af 1, surjektiv i potenser og kontrollere, at lokalt på ( n + 1) standard affine diagrammer, dens kerne er isomorf i forhold til modulet af relative differentialer . [en] ${\displaystyle S(-1)^{\oplus n+1}\to S,e_{i}\mapsto x_{i))$ $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $e_i = 1$ $\geq 1$

Geometrisk fortolkning

Vi antager, at ringen A er et felt k .

Den nøjagtige rækkefølge ovenfor svarer til rækkefølgen

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}\to { \mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

hvor det sidste led uden nul er tangentblyanten.

Betragt et V - ( n + 1)-dimensionelt vektorrum over k og forklar den nøjagtige sekvens

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (V)}(1)\nogle gange V \to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} (V)}\to 0

Denne sekvens er lettest at forstå ved at fortolke mellemleddet som en bunke af 1-homogene vektorfelter på et vektorrum V . Der er et bemærkelsesværdigt udsnit af dette bundt - Euler vektorfeltet - tautologisk defineret ved at sammenligne et punkt i vektorrummet med vektoren svarende til dette punkt, overført til tangentrummet på dette punkt.

Dette vektorfelt er radialt i den forstand, at det forsvinder på 0-homogene funktioner, det vil sige funktioner, der er invariante under homoteten centreret ved nul.

En funktion (defineret på et åbent sæt) på inducerer en 0-homogen funktion på V (igen delvist defineret). Vi opnår 1-homogene vektorfelter ved at multiplicere Euler-vektorfeltet med sådanne funktioner. Dette definerer det første display. $\mathbb {P} (V)$

Den anden kortlægning er forbundet med begrebet afledninger, som svarer til begrebet vektorfelter. Husk, at et vektorfelt på en åben delmængde U af et projektivt rum kan defineres som en afledning af funktioner defineret på dette åbne sæt. I betragtning af præbilledet i V svarer dette til at udlede på præbilledet U , der bevarer 0-homogene funktioner. Ethvert vektorfelt på kan opnås på denne måde, og kernen af den resulterende mapping består nøjagtigt af radiale vektorfelter. $\mathbb {P} (V)$ $\mathbb {P} (V)$

Det kanoniske linjebundt af et projektivt rum

Når vi går videre til højere ydre magter , finder vi, at det kanoniske skær af et projektivt rum har formen

\omega _{\mathbb {P} _{A}^{n}/A}\cong {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{A}^{n}}(- (n+1))

Især projektive rum er Fano-varianter , fordi det kanoniske linjebundt er anti- ample .

Noter

↑ Hartshorne, 1981 , Sætning II.8.13.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.