Projekt konstruktion

Proj er en konstruktion, der ligner konstruktionen af affine skemaer som spektre af ringe , ved hjælp af hvilke skemaer konstrueres , der har egenskaberne som projektive rum og projektive varianter .

I denne artikel antages alle ringe at være kommutative ringe med identitet.

Proj af en klassificeret ring

Proj som et sæt

Lade være en graderet ring , hvor $S$

{\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i))

er den direkte sumnedbrydning forbundet med karaktergivningen.

Betegn ved ideal Vi definerer mængden Proj S som mængden af alle homogene simple idealer , der ikke indeholder $S_+$ $\bigoplus _{i>0}S_{i}.$ $S_{+}.$

I det følgende vil vi for kortheds skyld nogle gange betegne Proj S som X .

Proj som et topologisk rum

Vi kan definere en topologi, kaldet Zariski-topologien , på Proj S ved at definere lukkede sæt som sæt af formen

V(a)=\{p\i \operatørnavn {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},

hvor a er et homogent ideal af S . Som i tilfældet med affine skemaer er det let at verificere, at V ( a ) er lukkede sæt af en eller anden topologi på X.

Faktisk, hvis er en familie af idealer, så og hvis mængden I er begrænset, så . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

Tilsvarende kan man starte med åbne sæt og definere

D(a)=\{p\i \operatørnavn {Proj} \,S\mid a\;\ikke \subseteq \;p\}.

Standardstenografien er at betegne D ( Sf ) som D ( f ), hvor Sf er idealet genereret af f . For enhver a , D ( a ) og V ( a ) er naturligvis komplementære, og ovenstående bevis viser, at D ( a ) danner en topologi på Proj S . Fordelen ved denne tilgang er, at D ( f ), hvor f løber gennem alle homogene elementer af S , danner grundlaget for denne topologi, som er et nødvendigt værktøj til at studere Proj S , på samme måde som tilfældet med ringspektre.

Proj som skema

Vi konstruerer også en bunke på Proj S , kaldet en strukturel bunke, som gør den til et kredsløb. Som i tilfældet med Spec-konstruktionen er der flere måder at gøre dette på: den mest direkte, som også ligner konstruktionen af regulære funktioner på en projektiv manifold i klassisk algebraisk geometri, er som følger. For ethvert åbent sæt U i Proj S definerer vi en ring som sættet af alle funktioner $O_{X}(U)$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(hvor angiver en underring af den lokale punktring , bestående af partielle homogene elementer af samme grad), således at for hvert primtal ideal p i U : $S_{(p)}$ $S_p$ $s$

f(p) er et element af ; $S_{(p)}$
der er en åben delmængde V af mængden U , der indeholder p , og homogene elementer s , t af ringen S af samme grad, således at for hvert primtal ideal q i V :
- t er ikke i q ;
- f(q) = s/t .

Det følger umiddelbart af definitionen, at de danner en bunke af ringe på Proj S , og det kan påvises, at parret (Proj S , ) er et skema (desuden er hver delmængde af D(f) et affint skema). $O_{X}(U)$ $O_{X}$ $O_{X}$

Sheaf tilknyttet et gradueret modul

En væsentlig egenskab ved S i konstruktionen ovenfor var muligheden for at konstruere lokaliseringer for hvert prime ideal p i S . Denne egenskab er også i besiddelse af ethvert gradueret modul M over S , og derfor giver konstruktionen fra afsnittet ovenfor, med små ændringer, os mulighed for at konstruere for sådanne M en bunke af moduler på Proj S , betegnet med . Ved konstruktion er denne bjælke quasi-kohærent . Hvis S genereres af et endeligt antal elementer af grad 1 (det vil sige er en polynomialring eller dens faktor), opnås alle kvasi-kohærente skiver på Proj S fra graduerede moduler ved hjælp af denne konstruktion. [1] Det tilsvarende bedømte modul er ikke unikt. $S_{(p)}$ $O_{X}$ ${\tilde {M}}$

Serras snoede stråle

Et særligt tilfælde af en bunke, der er forbundet med et gradueret modul, er, når vi tager S selv som M med en anden gradering: vi betragter nemlig elementer af grad ( d + 1) i modulet M for at være elementer af grad ( d + 1) af ringen S og angiv M = S (1). Vi opnår en kvasi-kohærent bunke på Proj S , betegnet eller blot O (1) og kaldet den snoede Serre bunke . Det kan verificeres, at O (1) er en reversibel remskive . ${\tilde {M}}$ $O_{X}(1)$

En af grundene til, at O (1) er nyttig, er, at den giver dig mulighed for at gendanne algebraisk information om S , der gik tabt i konstruktionen , når du gik til kvotienter af potens 0. I tilfælde af Spec A for en ring A , de globale sektioner af den strukturelle ark er A selv , så som i vores tilfælde består de globale sektioner af arket af elementer S af grad 0. Hvis vi definerer $O_{X}$ $O_{X}$

O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)

så indeholder hvert O ( n ) grad- n information om S. Tilsvarende kan vi for en bunke af -moduler N associeret med et S -modul M definere $O_{X}$

N(n)=N\o gange O(n)

og forvent, at dette snoede skær indeholder den tabte information om M . Dette antyder, skønt ukorrekt, at S kan rekonstrueres fra disse skiver; dette er faktisk sandt, hvis S er en polynomialring, se nedenfor.

n -dimensionelt projektivt rum

Hvis A er en ring, definerer vi et n -dimensionelt projektivt rum over A som et skema

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatørnavn {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].

Vi definerer en gradering på ringen ved at antage, at hver har grad 1, og hvert element i A har grad 0. Sammenligner vi dette med definitionen af O (1) ovenfor, ser vi, at sektioner af O (1) er lineære homogene polynomier genereret af elementerne . $S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ $x_i$ $x_{i}$

Eksempler

Hvis vi tager som basisring , så har den en kanonisk projektiv morfisme på den affine linje , hvis fibre er elliptiske kurver , bortset fra lagene over punkter , over hvilke lagene degenererer til knudekurver. $A=\mathbb {C} [\lambda ]$ ${\text{Proj))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1))$ $\lambda =0,1$
En projektiv hyperoverflade er et eksempel på en 3D Fermat quintic, som også er en Calabi-Yau-manifold . ${\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\right)$
Hvis vi betragter en triviel karaktergivning på , altså for , så . $EN$ $A_{0}=A$ $A_{i}=0$ $i\neq 0$ ${\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)$
Vægtede projektive rum kan konstrueres ved hjælp af polynomialringe med ikke-standard grader af variable. For eksempelsvarer det vægtede projektive rum til at tageringenhvorhar grad, menshar grad 2. $\mathbb {P} (1,1,2)$ ${\text{proj))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ $X_{0},X_{1}$ $en$ $X_{2}$
En bigraded ring svarer til et underskema af et produkt af projektive rum. For eksempel en bigraded algebra , hvor have grad og have grad svarer til . $\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]$ $X_{i}$ $(1,0)$ $Y_{i}$ $(0,1)$ $\mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}$

Noter

↑ Ravi Vakil. Grundlaget for algebraisk geometri . — 2015. , Følge 15.4.3.

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Elementer de geometrie algebrique: II. Etude globale élémentaire de quelques classes de morphismes" . Publikationer Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.