Kantor, George

Georg Kantor ( tysk  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor , 3. marts 1845 , St. Petersborg  - 6. januar 1918 , Halle (Saale)) - tysk matematiker , elev af Weierstrass . Han er bedst kendt som ophavsmanden til mængdelæren . Grundlægger og første præsident for German Mathematical Society , initiativtager til oprettelsen af ​​den internationale matematikkongres .

Cantor definerede først sammenligningen af ​​vilkårlige mængder , inklusive uendelige, ved deres " kardinalitet " (en generalisering af kvantitetsbegrebet) gennem ideen om en en-til-en korrespondance mellem mængder. Han klassificerede mængder efter deres kardinalitet, definerede begreberne kardinal- og ordenstal og aritmetikken for kardinal- og ordenstal .

Cantors teori om transfinite tal blev oprindeligt opfattet som en krænkelse af de århundreder gamle traditioner fastlagt af de gamle grækere og benægtede den faktiske uendelighed som et juridisk matematisk objekt . Med tiden blev Cantors mængdeteori sat på et aksiomatisk grundlag og blev hjørnestenen i den moderne konstruktion af matematikkens grundlag , den er baseret på matematisk analyse , topologi , funktionel analyse , måleteori og mange andre grene af matematikken.

Biografi

Tidlige år og træning

Kantor blev født i 1845 i den vestlige koloni af købmænd i St. Petersborg og voksede op der, indtil han var elleve. Faderen - Georg-Voldemar Kantor (1814, København  - 1863, Frankfurt ) - kom fra portugisiske jøder bosat i Amsterdam og var et dansk subjekt af den lutherske tro, mægler på St. Petersborgs børs . Mange af min fars slægtninge har længe boet i Skt. Petersborg, begyndende med min oldefar. Min fars fætter er den berømte russiske civiladvokat D. I. Meyer . I russiske dokumenter blev Georg-Voldemar Kantor kaldt Yegor Yakovlevich Kantor. Mor - Maria-Anna Böhm (1819, Skt. Petersborg - 1896, Berlin) - niece til den berømte ungarsk-russiske violinist Josef Böhm . Matematikerens morfar, Franz Böhm (1788-1846), var også violinist. Siden 1850 bosatte den 29-årige P. L. Chebyshev [2] [3] sig i samme hus (11. linje, hus 24) på ​​Vasilyevsky Island , hvor familien Kantor boede .

George var den førstefødte, den ældste af seks børn. Han spillede violinvirtuos efter at have arvet betydelige kunstneriske og musikalske talenter fra sine forældre. Familiefaderen skrev i 1851 om sin søn: "Han er af naturen begavet med et ønske om orden, der sejrer over alt andet." I 1853 gik Georg ind i Petrishula . Da faderen blev syg, flyttede familien, der regnede med et mildere klima, til Tyskland i 1856: først til Wiesbaden og siden til Frankfurt [3] .

I 1860 dimitterede Georg med udmærkelse fra realskolen i Darmstadt ; lærere bemærkede hans enestående evner i matematik, især i trigonometri . I 1862 kom han ind på Federal Polytechnic Institute i Zürich . Et år senere døde hans far; efter at have modtaget en solid arv, flyttede Georg til Humboldt Universitetet i Berlin , hvor han begyndte at deltage i forelæsninger af så berømte videnskabsmænd som Leopold Kronecker , Karl Weierstrass og Ernst Kummer . Han tilbragte sommeren 1866 på universitetet i Göttingen , det  største center for matematisk tankegang på den tid. I 1867 tildelte universitetet i Berlin ham en ph.d. -grad for hans arbejde med talteori " De aequationibus secundi gradus indeterminatis ".

Begyndelsen af ​​videnskabelig aktivitet (1869-1878)

Efter et kort ophold som lærer ved Berlin School for Girls tog Kantor plads på Martin Luther University of Gaul , hvor han tilbragte hele sin karriere. Han modtog den habilitering , der kræves til undervisningen til sin afhandling om talteori. I 1872 mødte Kantor Richard Dedekind , som blev hans nære ven og kollega. Mange af Cantors ideer blev diskuteret i korrespondance med Dedekind.

I en artikel fra 1872 gav Kantor en variant af underbygningen af ​​teorien om reelle tal [4] . I hans model er et reelt tal defineret som en klasse af fundamentale sekvenser af rationelle tal [5] . I modsætning til den tidligere accepterede Newtonske definition af " Universal Arithmetic ", var Cantors tilgang rent matematisk, uden henvisning til geometri eller andre måleprocedurer. En anden version, også rent matematisk, blev udgivet samme år af Dedekind (den var baseret på " Dedekind sektioner ", se Konstruktive metoder til at bestemme et reelt tal ) [6] .

I 1874 giftede Kantor sig med Vally Guttmann ( tysk:  Vally Guttmann ). De fik 6 børn, hvoraf det sidste var født i 1886 (4 døtre og to sønner). Trods en beskeden akademisk løn var Kantor i stand til at give familien et behageligt liv takket være arven modtaget fra sin far. Biografer bemærker, at selv under sin bryllupsrejse i Harzen tilbragte Kantor meget tid i matematiske samtaler med sin ven Dedekind. I samme 1874 publicerede Kantor en artikel i Krell Journal, hvori han introducerede begrebet kardinalitet af en mængde og viste, at der er lige så mange rationelle tal, som der er naturlige tal , og meget flere reelle tal (efter råd fra Weierstrass, denne revolutionære konklusion blev mildnet i artiklen) [7] .

Kantor blev udnævnt til adjungeret professor i 1872 og blev fuld professor i 1879. Det var en stor bedrift at modtage denne titel i en alder af 34 år, men Kantor drømte om en stilling på et mere prestigefyldt universitet, for eksempel Berlin  - på det tidspunkt det førende universitet i Tyskland, men hans teorier blev alvorligt kritiseret, og overgang til et andet sted var ikke mulig [8] .

I 1877 opnåede Cantor et opsigtsvækkende resultat, som han rapporterede i et brev til Dedekind: sætene af punkter i et stykke og punkter i en firkant har samme kardinalitet ( kontinuum ), uanset længden af ​​stykket og bredden af ​​stykket. firkant. Samtidig formulerede han og forsøgte uden held at bevise " kontinuumshypotesen ". Kantors første papir, der præsenterede disse nøgleresultater, udkom i 1878 og fik titlen "On the Doctrine of Varieties" (udtrykket "varietet" blev senere erstattet af Cantor med "sæt"). Udgivelsen af ​​artiklen blev gentagne gange udskudt efter anmodning fra den indignerede Kronecker , som stod i spidsen for Institut for Matematik ved Universitetet i Berlin [9] . Kronecker, der betragtes som forløberen for konstruktiv matematik , var fjendtlig over for Cantors mængdeteori, da dens beviser ofte er ikke-konstruktive uden at konstruere specifikke eksempler; Kronecker anså begrebet faktisk uendelighed for at være absurd.

Kantor indså, at Kroneckers stilling ikke engang ville tillade ham at forlade universitetet i Gallien. Kantor selv var af samme opfattelse som flertallet af nutidige matematikere: ethvert konsekvent matematisk objekt bør betragtes som gyldigt og eksisterende [10] .

Konflikter i mængdeteori (1878–1889)

Cantors mængdeteori løb ind i skarp kritik fra en række berømte samtidige matematikere - Henri Poincaré [11] ; senere af Hermann Weyl og Leutzen Brouwer (se Tvister om Cantors teori ). De huskede, at før Cantor, anså alle matematikkens lysmænd, fra Aristoteles til Gauss , den faktiske uendelighed for at være et uacceptabelt videnskabeligt begreb [12] . Situationen blev forværret af opdagelsen i den første version af teorien om sæt skadelige modsætninger . Kritikken var nogle gange meget aggressiv: for eksempel kaldte Poincaré "Kantorisme" for en alvorlig sygdom, der ramte den matematiske videnskab, og udtrykte håb om, at fremtidige generationer ville blive helbredt for den [13] ; og i Kroneckers offentlige udtalelser og personlige angreb på Kantor glimtede undertiden sådanne tilnavne som "videnskabelig charlatan", "frafalden" og "fordærveren af ​​ungdommen" [11] .

Skarp kritik fra nogle fremtrædende matematikere blev modarbejdet af verdensomspændende berømmelse og godkendelse af andre. I 1904 tildelte Royal Society of London Kantor sin højeste matematiske pris, Sylvester Medal [14] . Kantor selv mente, at teorien om transfinite tal blev formidlet til ham fra oven [15] . Bertrand Russell roste sætteorien som "en af ​​de største succeser i vores æra", og David Hilbert kaldte Cantor for "et matematisk geni" og erklærede: "Ingen kan fordrive os fra paradiset skabt af Cantor" [16] .

I 1881 døde Cantors kollega Eduard Heine og efterlod en ledig stilling. Universitetsledelsen accepterede Kantors tilbud om at invitere Richard Dedekind, Heinrich Weber eller Franz Mertens (i nævnte rækkefølge) til denne stilling, men til Kantors ærgrelse nægtede de alle. Som et resultat blev posten overtaget af Friedrich Wangerin . I 1882 ophørte Cantors kommunikation med Dedekind, sandsynligvis på grund af vrede over sidstnævntes afslag på sin stilling i Halle [17] .

I 1883 udgav Kantor en nøgleartikel i sit arbejde, "Fundamentals of the General Doctrine of Varieties" [18] [19] . Samtidig begyndte han en aktiv korrespondance med Gösta Mittag-Leffler , en fremtrædende matematiker på den tid, som boede i Sverige, og begyndte snart at publicere i sit tidsskrift Acta mathematica . I 1885 blev Mittag-Leffler imidlertid foruroliget over de filosofiske overtoner og nye terminologier i en artikel sendt til ham af Cantor til offentliggørelse [20] og bad Cantor om at trække sin artikel tilbage, mens den stadig blev korrekturlæst, idet han skrev, at artiklen var " omkring år forud for sin tid". hundrede." Kantor gik med til at trække artiklen tilbage, men han publicerede aldrig igen i Acta Mathematica [21] [22] og afbrød brat relationer og korrespondance med Mittag-Leffler. Kantor begyndte den første periode med depression, og i mere end fem år udgav Kantor ikke noget, bortset fra nogle få filosofiske artikler, der begrænsede sig til at undervise [23] .

Sidste år (1889-1918)

Kort efter restaureringen (1889) lavede Cantor straks adskillige vigtige tilføjelser til sin teori, især beviste han utelleligheden af ​​mængden af ​​alle delmængder af naturlige tal ved diagonalmetoden, men han nåede aldrig det samme høje produktivitetsniveau som han havde i 1874-1884. . Til sidst henvendte han sig til Kronecker med et tilbud om fred, som han tog positivt imod. Imidlertid forblev de filosofiske forskelle og vanskeligheder, der adskilte dem. I mellemtiden accepterede nogle matematikere, især unge, teorien om mængder, begyndte at udvikle den og anvende den til at løse forskellige problemer. Blandt dem er Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein , Henri Lebesgue , Felix Klein , Adolf Hurwitz , Ernst Zermelo , N. N. Luzin og andre.

I 1890 hjalp Kantor med at organisere det tyske matematiske selskab ( tysk:  Deutsche Mathematiker-Vereinigung ) og var formand ved dets første kongres i Halle i 1891 ; på det tidspunkt var hans omdømme meget stabilt selv på trods af Kroneckers modstand, som et resultat blev Kantor valgt til den første præsident for samfundet. Kantor inviterede Kronecker til at holde en præsentation, men han kunne ikke acceptere tilbuddet på grund af hans kones tragiske død.

Periodisk tilbagevendende fra 1884 til slutningen af ​​Kantors dage, blev angreb af depression i nogen tid beskyldt hans samtidige for at indtage en alt for aggressiv holdning [24] , men nu menes det, at disse anfald højst sandsynligt var udviklingen af ​​psykisk sygdom [11 ] .

Et papir fra 1892 gjorde den første optræden af ​​Cantors berømte diagonalmetode . Det sidste værk, en slags testamente fra videnskabsmanden, var artiklen "On the Justification of the Doctrine of Transfinite Sets" (i to dele, 1895-1897). Dette er et af Cantors mest berømte værker, hvor der ud over de tidligere resultater af mængdeteori er opbygget et hierarki af alfer [25] .

I 1897 begyndte Cantor en intens korrespondance med Hilbert om den første modsigelse, der blev opdaget i mængdeteorien, Burali-Forti-paradokset , som bekymrede Hilbert ekstremt. Kantor udtrykte den opfattelse, at man i mængdeteorien bør skelne mellem to typer begreber - transfinite og absolutte ("utilgængelige", som han udtrykte det), hvoraf kun den første er modtagelig for menneskelig fornuft, og med hensyn til den anden kun en tilnærmelse til deres forståelse er mulig. Denne metafysik overbeviste ikke Hilbert, efter hans mening er der ingen uløselige matematiske problemer og kan ikke være det. Diskussionen varede i to år og blev ikke til noget. Løsningen på paradokserne (som dog ikke blev alment accepteret) fandt man først 30 år senere, efter at Cantors "naive mængdelære" blev erstattet med en aksiomatisk , som udelukkede "utilgængelige" mængder fra antallet af juridiske begreber. [26] .

I december 1899 døde Kantors 13-årige søn. Kantors psykiske sygdom forværredes, den næsten afsluttede tredje del af artiklen "Om retfærdiggørelsen af ​​doktrinen om transfinite sæt" blev aldrig afsluttet. Indtil 1913 fortsatte Kantor med at undervise på universitetet (fra tid til anden holdt lange pauser til behandling), og gik derefter på pension. Hans interesser efter 1899 vedrørte hovedsagelig Leibniz ' filosofi og spørgsmålet om forfatterskabet til Shakespeares skuespil , som Kantor havde været fascineret af i mange år.

Georg Kantor døde den 6. januar 1918 af et hjerteanfald på et psykiatrisk hospital i Halle.

Nogle objekter opkaldt efter Kantor

• Kantor er et nedslagskrater på den anden side af Månen.
• Cantor-sættet  er et kontinuumsæt af nulmål på et segment;
• Kantor-medaljen er en matematisk pris givet af det tyske matematiske selskab ;
• Cantors nummereringsfunktion  er en kortlægning af den kartesiske magt af mængden af ​​naturlige tal ind i sig selv;
• Cantors sætning om, at kardinaliteten af ​​mængden af ​​alle delmængder af en given mængde er strengt taget større end kardinaliteten af ​​selve mængden;
• Cantor-Bendixons sætning
• Cantor-Bernstein-sætningen om ækvivalensen af ​​mængderne A og B under den betingelse, at A er ækvivalent med en delmængde af B , og at B er ækvivalent med en delmængde af A ;
• Cantor-Heine-sætningen om den ensartede kontinuitet af en kontinuerlig funktion på et kompakt sæt ;
• Kantors funktion (Kantors stige).

Kompositioner

• Kantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. af E. Zermelo. B., 1932.
• Kantor G. Proceedings on theory of theory. — M .: Nauka, 1985. — 431 s. - (videnskabens klassikere).

Noter

1. ↑ Matematisk genealogi  (engelsk) - 1997.
2. ↑ Sinkevich, 2012 , kapitel 1.
3. ↑ 1 2 Sinkevich, 2018 , s. 182-188.
4. ↑ Kantor. Proceedings on set theory, 1985 , s. 9-10.
5. ↑ Arnold I. V. Teoretisk aritmetik. - M. : UCPHEDGIZ, 1938. - S. 277-278.
6. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 91-92.
7. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 37-56.
8. ↑ Dauben, 1979 , s. 163.
9. ↑ Dauben, 1979 , s. 34.
10. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 109.
11. ↑ 1 2 3 Dauben, 2004 , s. en.
12. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 22-31.
13. ↑ Dauben, 1979 , s. 266.
14. ↑ Dauben, 1979 , s. 248.
15. ↑ Dauben, 2004 , s. 8, 11; 12-13.
16. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 118.
17. ↑ Dauben, 1979 , s. 2-3.
18. ↑ Nye ideer i matematik. - Sankt Petersborg. : Uddannelse, 1914. - T. 6. - S. 1-77 ..
19. ↑ Kantor. Proceedings on set theory, 1985 , s. 389 (bibliografi).
20. ↑ Dauben, 1979 , s. 138.
21. ↑ Samtidig bemærkede Kantor i et af sine breve: "...ifølge Mittag-Leffler må jeg vente til 1984, hvilket forekommer mig at være en alt for stor anmodning! .. Men selvfølgelig skal jeg fra nu af aldrig vil vide noget om "Acta mathematica"".
22. ↑ Dauben, 1979 , s. 139.
23. ↑ Dauben, 1979 , s. 282.
24. ↑ Dauben, 1979 , s. 280.
25. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 122.
26. ↑ Pinheiro, 2015 , s. 144-145, 154-158.

Litteratur

• Bogolyubov A.N. Kantor Georg // Matematik. Mekanik. Biografisk guide . - Kiev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
• Bourbaki N. Essays om matematikkens historie. - M. : Red. udenlandsk litteratur, 1963.
• HM Nagorny. Kantor  // New Philosophical Encyclopedia  : i 4 bind  / prev. videnskabeligt udg. råd fra V. S. Stepin . — 2. udg., rettet. og yderligere - M .  : Tanke , 2010. - 2816 s.
• Katasonov VN Kæmper med det uendelige: Filosofiske og religiøse aspekter af tilblivelsen af ​​G. Kantors sætteori . — M. : Martis, 1999. — 207 s. - 1500 eksemplarer.  — ISBN 5-7248-0067-5 .
• Pinheiro, Gustavo Ernesto. Det utallige er tælleligt. Georg Kantor. Uendelighed i matematik // Naturvidenskab. De største teorier. - M . : De Agostini, 2015. - Udgave. 30 . — ISSN 2409-0069 .
• Purket V., Ilgauds H. I. Georg Kantor / Per. med ham. N. M. Fleischer. - Kharkov: Osnova, 1991. - 128 s.
• Sinkevich G. I. Georg Kantor og den polske skole for sætteori. - St. Petersburg: St. Petersburg State University of Architecture and Civil Engineering, 2012. - 349 s. - ISBN 978-5-9227-0360-4 .
• Sinkevich G. I. Georg Kantor fra Sankt Petersborg. Barndom og familiehistorie. Arkivforskning // Historisk og matematisk forskning . - M. : Janus-K, 2018. - nr. 51 (16) . - S. 182-199 .
• Florensky P. A. On the symbols of infinity (Esay on the ideas of G. Kantor) // Værker i 4 bind: Bind 1. - M . : Thought, 1994. - S. 79-128. - (Filosofisk arv: v. 122). — ISBN 5-244-00241-4 .
• Grattan-Guinness I. Towards a Biography of Georg Cantor // Annals of Science. - 1971. - T. 27 . - S. 345-391 . - doi : 10.1080/00033797100203837 .

Links

• Dauben Joseph W. Georg Cantor and the Birth of Transfinite Set Theory  // In the World of Science ( Scientific American , russisk udg.). - 1983. - nr. 8 (august) . - S. 76-86 .
• John J. O'Connor og Edmund F. Robertson .  Cantor , Georg  _ _
• Dauben JW Georg Cantor: hans matematik og filosofi om det uendelige . - Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press, 1979. - 404 s. — ISBN 9780674348714 .
• Dauben JW Georg Cantor og kampen om transfinite sætteori . — Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, CA), s. 1-22. – 2004.
• Forskerprofil Arkiveret 22. december 2015 på Wayback Machine i zbMATH- databasen .
• Sinkevich GI Georg Cantor fra St. Petersborg.

Tematiske steder	Matematisk genealogi zbMATH Åbn Arkiv for matematikkens historie MacTutor
Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer jødiske Brockhaus og Efron jorden rundt Litauisk universal kroatisk Britannica (online) Brockhaus Bemærkelsesværdige navnedatabase Universalis
Slægtsforskning og nekropolis	WikiTree
I bibliografiske kataloger BIBSYS: 90104928 BNE : XX999360 BNF : 121371602 CiNii : DA00702697 CONOR : 220613731 GND : 118518887 ICCU : CFIV118898 ISNI : 0000 0001 0889 5716 J9U : 987007259480205171 LCCN : n82252409 LNB : 000306893 NDL : 00435223 NKC : jn20000700275 NLA : 35385091 NLG : 266339 NLP : A11808755 NSK : 000101594 NTA : 070381119 NUKAT : n99011834 PTBNP : 783528 LIBRIS : 20dgg9pl4g26tk4 SUDOC : 027894312 VIAF : 39412881 WorldCat VIAF : 39412881