Karakteristisk polynomium af en matrix

Det karakteristiske polynomium i en matrix er et polynomium , der bestemmer dets egenværdier .

Definition

For en given matrix , hvor er identitetsmatrixen , er et polynomium i , som kaldes det karakteristiske polynomium for matricen (nogle gange også den sekulære ligning ) . $EN$ $\chi (\lambda )=\det(A-\lambda E)$ $E$ $\lambda$ $EN$

Værdien af det karakteristiske polynomium er, at matrixens egenværdier er dens rødder. Faktisk, hvis ligningen har en ikke-nul-løsning, så er matrixen degenereret, og dens determinant er lig med nul. $Av=\lambda v$ $(A-\lambda E)v=0$ $A-\lambda E$ $\det(A-\lambda E)=\chi (\lambda )$

Relaterede definitioner

Matrixen kaldes matrixens karakteristiske matrix . $A-\lambda E$ $EN$
Ligningen kaldes den karakteristiske matrixligning . $\chi (\lambda )=0$ $EN$
Det karakteristiske polynomium i en graf er det karakteristiske polynomium for dens tilstødende matrix .

Egenskaber

For en matrix har det karakteristiske polynomium grad . $n\ gange n$ $n$
Alle rødder af det karakteristiske polynomium i en matrix er dens egenværdier .
Hamilton-Cayleys sætning : hvis er det karakteristiske polynomium af matrixen, så. $\chi (\lambda )$ $EN$ $\chi (A)=0$
De karakteristiske polynomier af lignende matricer falder sammen: . $\chi _{{ABA^{{-1}}}}=\chi _{{B}}$
Det karakteristiske polynomium af den inverse matrix :. $\chi _{A^{-1}}(\lambda )={\frac {(-\lambda )^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda )$

Bevis:

${\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda )&={\det A}\cdot \det(A^{-1}- \lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda AE )\\&=(-\lambda )^{n}\det(A-(1/\lambda )E)=(-\lambda )^{n}\chi _{A}(1/\lambda )\ ende{aligned}}$

Hvis og er to matricer , så . Dette indebærer især, at sporet af deres produkt og . $EN$ $B$ $n\ gange n$ $\chi _{{AB}}\,=\,\chi _{{BA}}$ ${\mathrm {tr}}\,(AB)={\mathrm {tr}}\,(BA)$ $\det(AB)=\det(BA)$
I en mere generel form, hvis er en matrix , og er en matrix , og , således at og er kvadratiske matricer af henholdsvis dimensioner og , så: $EN$ $m\ gange n$ $B$ $n\ gange m$ $m<n$ $AB$ $BA$ $m$ $n$

\chi _{{BA}}(\lambda )\,=\,\lambda ^{{nm}}\,\chi _{{AB}}(\lambda )

Links

V. Yu. Kiselev, A. S. Pyartli, T. F. Kalugina. Højere matematik. Lineær algebra . — Ivanovo State Power Engineering University. Arkiveret 23. december 2008 på Wayback Machine

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet