Varme ligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2019; checks kræver 5 redigeringer .

Varmeligningen er en andenordens partiel differentialligning, der beskriver fordelingen af temperatur i et givet område af rummet og dets ændring i tid.

Ligningstype

I rummet med et vilkårligt koordinatsystem har varmeligningen formen ${\mathbf {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\Delta u=f({\mathbf {r}},t),$

hvor er en positiv konstant (tallet er den termiske diffusivitet ), er Laplace-operatoren og er en funktion af varmekilder [1] . Den ønskede funktion indstiller temperaturen på punktet med koordinaterne på tidspunktet . $-en$ $a^2$ $\Delta =\nabla ^{2}$ $f({\mathbf {r)),t)$ $u=u({\mathbf {r}},t)$ $\mathbf {r}$ $t$

Denne ligning kan forklares som følger. Temperaturændringshastigheden over tid er proportional med krumningen af temperaturfordelingen over rummet (den anden afledte). Med andre ord, jo højere krumningen af temperatur-"puklerne" i kroppen er, jo hurtigere sker temperaturudligningen disse steder.

I rummet med kartesiske koordinater tager varmeligningen formen $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$

${\frac {\partial u}{\partial t}}-a^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2))}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2 }}}\right)=f(x,t).$

Varmeledningsligningen kaldes homogen , hvis , dvs. der er ingen varmekilder og "dræn" inde i systemet. $f(x,t)\ækvivalent 0$

Cauchy-problemet for varmeligningen

Homogen ligning

Overvej Cauchy-problemet for den homogene varmeligning:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{array}}

hvor er den indledende funktion , kontinuert og afgrænset på hele rummet, og den ønskede funktion er kontinuert og afgrænset for og alle værdier af argumentet . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geqslant 0$ $x$

Følgende egenskaber gælder for det homogene Cauchy-problem [2] :

Maksimumsprincip (maksimums- og minimumssætning): Løsningen af det homogene Cauchy-problem tilfredsstiller ulighederne for alle og . [3] $\inf \varphi \leqslant u(x,t)\leqslant \sup \varphi$ $x \in \mathbb{R}^n$ $t>0$
Eksistens- og unikhedssætning: For enhver løsning af det homogene Cauchy-problem eksisterer, er unik og afhænger kontinuerligt af den indledende funktion i strimlen . Med andre ord er dette Cauchy -problem veloplagt [4] . $T>0$ $\varphi(x)$ ${\displaystyle S=\{(x,t)\mid 0\leqslant t\leqslant T,\ x\in \mathbb {R} ^{n}\))$
Kernen i varmeligningen er løsningen af Cauchy-problemet for den homogene varmeligning med startbetingelsen , hvor er Dirac delta-funktionen . Det ser ud som om: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

hvor er vektorens standard skalære kvadrat . Nogle gange kaldes varmeligningens kerne også dens fundamentale løsning , selvom den fundamentale løsning oftest forstås som en funktion, der opnås fra kernen ved at gange med Heaviside-funktionen .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

Sammenfaldet af formlen for kernen af varmeligningen med tætheden af normalfordelingen med nul matematisk forventning og spredning proportional med er ikke tilfældig. Det forklares ved, at varmeoverførsel er forbundet med partiklernes Brownske bevægelse , som er matematisk beskrevet ved hjælp af Wiener tilfældig proces . $a^{2}t$
Poisson-integral: I et rum med kartesiske koordinater er løsningen på det homogene Cauchy-problem givet i form af en integralformel kaldet Poisson-integralet . Nemlig, for alle er der en foldning med hensyn til rumvariablen af kernen med den indledende funktion: $u(x, t)$ $t>0$ $x$

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Poisson-integralet definerer en unik kontinuerlig og afgrænset løsning af det givne Cauchy-problem (bemærk, at der er uendeligt mange ubegrænsede løsninger).
Fysisk paradoks: det følger af Poisson-formlen, at hvis startfunktionen er lig med nul overalt, bortset fra et begrænset område, for eksempel givet af betingelsen , hvor den er positiv, så er løsningen efter en vilkårlig kort periode vil være strengt taget positiv på alle punkter i rummet med vilkårligt store værdier . Dette indebærer et paradoksalt udsagn fra et fysisk synspunkt om, at varme forplanter sig med en uendelig hastighed. Forklaringen på paradokset er, at varmeligningen ikke helt præcist beskriver den virkelige fysiske proces med varmeudbredelse. Praksis viser, at denne ligning i de fleste tilfælde stadig giver en ret god tilnærmelse [2] . $\varphi$ $|x|<\epsilon$ $t>0$ $u(x, t)$ $|x|$

Inhomogen ligning

Overvej Cauchy-problemet for den inhomogene varmeligning:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{array}}

I dette tilfælde har Poisson-integralet formen [5] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts) ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Endimensionel varmeligning

For tilfældet med én rumlig variabel x (problemet med at opvarme eller afkøle stangen), har varmeligningen formen

u_{t}-a^{2}u_{xx}=0.

Til denne ligning kan du indstille og løse forskellige grænseværdiproblemer , en af de metoder til løsning, som blev foreslået af den franske matematiker Fourier og bærer hans navn [6]

Metode til adskillelse af variabler (Fourier-metoden)

Homogen varmeligning med homogene randbetingelser

Overvej følgende problem:

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}},\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\; 0)=\varphi (x);\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\venstre.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\u(l,\ ;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\\\end{array}}

Skal finde en funktion til . $u(x,\;t)$ $\forall (x,\;t):0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T$

Vi repræsenterer den ønskede funktion som produkt

u(x,\;t)=X(x)T(t).

Så erstatter vi den foreslåede form for løsningen i den oprindelige ligning, vi får

X(x)T'(t)=a^{2}X''(x)T(t).

Lad os opdele udtrykket i : $a^{2}X(x)T(t)$

{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {T'(t)}{T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x))) =-\lambda ,\;\lambda ={\mathrm {konst}}.

Da vi på venstre side af ligningen har en funktion, der kun afhænger af , og til højre - kun på , så fikserer vi en hvilken som helst værdi på højre side, får vi, at for enhver værdi af den venstre side af ligningen er konstant . På samme måde kan du sikre dig, at højre side er konstant, det vil sige lig med en bestemt konstant (minus tages for nemheds skyld). Således får vi to almindelige lineære differentialligninger: $t$ $x$ $x$ $t$ $-\lambda$

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0,\\T'(t)+a^{2}\lambda T(t)=0.\end{ matrix}}

Lad os være opmærksomme på grænsebetingelserne for det oprindelige problem og erstatte den foreslåede form af ligningen i dem, får vi:

{\begin{array}{l}u(0,\;t)=X(0)T(t)=0,\\u(l,\;t)=X(l)T(t)=0 ,\end{array}}

hvorfra ( , da vi ellers ville have en løsning , og vi leder kun efter ikke-trivielle løsninger). $X(0)=X(l)=0$ $T(t)\neq 0$ $u(x,\;t)=0$

Under hensyntagen til de opnåede grænsebetingelser opnår vi Sturm-Liouville-problemet :

{\begin{array}{l}X''(x)+\lambda X(x)=0;\\X(0)=0,\\X(l)=0.\\\end{array} }

Dens løsning er reduceret til at løse en lineær differentialligning og overveje tre tilfælde:

$\lambda<0.$ I dette tilfælde vil den generelle form for løsningen være som følger: $X(x)=C_{1}e^{{{\sqrt {-\lambda }}x}}+C_{2}e^{{-{\sqrt {-\lambda }}x}}.$ Ved at erstatte randbetingelserne sikrer vi os, at løsningen bliver , og vi leder kun efter ikke-trivielle løsninger, derfor er denne sag ikke egnet. $X(x)\ækvivalent 0$
$\lambda=0.$ Generelt billede af løsningen $X(x)=C_{1}x+C_{2}.$ Det er let at se, at denne mulighed heller ikke passer os.
$\lambda>0.$ Generelt billede af løsningen $X(x)=C_{1}\cos({\sqrt \lambda }x)+C_{2}\sin({\sqrt \lambda }x).$ Vi erstatter grænsebetingelserne: ${\begin{array}{l}X(0)=C_{1}=0,\\X(l)=C_{2}\sin({\sqrt \lambda}l)=0.\end{array }}$ Da vi kun leder efter ikke-trivielle løsninger, er det derfor ikke egnet for os $C_{2}=0$ ${\begin{array}{l}\sin({\sqrt \lambda }l)=0,\\{\sqrt \lambda }l=\pi n,\quad n=1,\;2,\;\ ldots \\\end{array}}$ $\lambda _{n}=\venstre({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;\ldots$ Herfra $X_{n}(x)=C_{n}\sin \venstre({\frac {\pi n}{l}}x\right),\;\quad n=1,\;2,\;\ldots$

Under hensyntagen til det fundne , udleder vi den generelle løsning af den lineære differentialligning $\lambda$

T'(t)+a^{2}\venstre({\frac {\pi n}{l}}\højre)^{2}T(t)=0.

skal få svar

T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l))\right)^{2}t\right), \quad D_{n}={\mathrm {konst}}.

Nu er alt klar til at skrive løsningen på det oprindelige problem:

u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t)=C_{n}\sin \venstre({\frac {\pi n}{l}}x\ højre)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right),\quad n=1,\;2, \;\ldots

Som et resultat har vi et uendeligt antal særlige løsninger til ligningen. Alle disse særlige løsninger er lineært uafhængige , det vil sige, at en lineær kombination af et hvilket som helst antal løsninger er lig med nul, hvis alle deres koefficienter er lig med nul. Derfor er det logisk at antage, at ved at opsummere alle bestemte løsninger over fra enhed til uendelighed, vil vi opnå en generel løsning på det oprindelige problem. $n$

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }u_{n}(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}} ^{\infty }C_{n}\sin \left({\frac {\pi n}{l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\frac {\pi n}{l}}\højre)^{2}t\højre).

Det er tilbage at bestemme værdien af konstanten (afhængigt af ) fra starttilstanden $C$ $n$

u(x,\;0)=\varphi (x).

For at bestemme værdien af , er det nødvendigt at udvide funktionen til en Fourier-serie : $C_{n}$ $\varphi(x)$

{\begin{array}{l}\varphi (x)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{ l}}x\right),\\A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left( {\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

Vi får:

{\begin{array}{l}u(x,\;0)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }C_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x\right)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }A_{n}\sin \left({\dfrac {\pi n}{l}}x \right),\\C_{n}=A_{n}={\dfrac {2}{l}}\displaystyle \int \limits _{0}^{l}\varphi (\xi )\sin \left ({\dfrac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .\end{array}}

Hvor kommer den generelle løsning fra:

u(x,\;t)=\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }\left({\dfrac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l }\varphi (\xi )\sin \left({\dfrac {\pi n}{l))\xi \right)\,d\xi \right)\sin \left({\dfrac {\pi n} {l}}x\right)\exp \left(-a^{2}\left({\dfrac {\pi n}{l}}\right)^{2}t\right).

I løbet af matematisk fysik er det bevist, at den resulterende serie opfylder alle betingelserne for dette problem, det vil sige, at funktionen er differentierbar (og rækken konvergerer ensartet ), opfylder ligningen i definitionsdomænet og er kontinuert ved punkterne for grænsen for dette domæne. $u(x,\;t)$

Inhomogen varmeligning med homogene randbetingelser

Overvej følgende problem for en ikke -homogen ligning :

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\quad 0<x<l,\;0<t\leqslant T\\u(x,\;0)=0;\quad 0\leqslant x\leqslant l\\\venstre.{\begin{array}{l}u(0,\;t)=0,\\ u(l,\;t)=0.\\\end{array}}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T\end{array}}

Lade

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)T_{n}(t),\\f_{n}(x,\;t)= X_{n}(x)F_{n}(t),\\X_{n}(x)=\sin \venstre({\dfrac {\pi n}{l}}x\right).\end{ matrix}}

Derefter, ved hjælp af den åbenlyse relation , omskriver vi den oprindelige ligning som: $X''_{n}(x)=-\venstre({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2}X_{n}(x)$

{\begin{array}{l}X_{n}(x)T'_{n}(t)=-\venstre({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{ 2}X_{n}(x)T_{n}(t)+X_{n}(x)F_{n}(t),\\T'_{n}(t)=-\venstre({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}T_{n}(t)+F_{n}(t).\end{array}}

Lad os løse den sidste lineære inhomogene ligning ved hjælp af metoden til variation af konstanten . Først finder vi den generelle løsning af den homogene lineære ligning

{\begin{array}{l}T'_{n}(t)=-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}T_{n}( t),\\T_{n}(t)=D_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right). \end{array}}

I den generelle løsning erstatter vi konstanten med en variabel og erstatter den med den oprindelige ligning. $D_{n}$ $D_{n}(t)$

{\begin{array}{l}T_{n}(t)=D_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right )^{2}t\right),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t \right)-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right) ^{2}t\right)D_{n}(t)=-\venstre({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}\exp \left(-\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)D_{n}(t)+F_{n}(t),\\D'_{n}(t)\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)=F_{n}(t),\\D_{n}(t)=\ displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)\,dt+A_{n}, \\T_{n}(t)=A_{n}\exp \left(-\left({\dfrac {\pi na}{l))\right)^{2}t\right)+\exp \ left(-\left({\dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\displaystyle \int F_{n}(t)\exp \left(\left({\ dfrac {\pi na}{l}}\right)^{2}t\right)\,dt.\end{array}}

Fra starttilstanden får vi:

{\begin{array}{l}u_{n}(x,\;0)=X_{n}(x)T_{n}(0)=0,\\T_{n}(0)=0. \end{array}}

Under hensyntagen til betingelsen for , opnår vi $T$

T_{n}(t)=\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l))\right)^{2 }(t-\tau )\right)F_{n}(\tau )\,d\tau .

Fordi

f_{n}(x,\;t)=X_{n}(x)F_{n}(t)=\sin \venstre({\frac {\pi n}{l}}x\højre)F_{ n}(t),

så er naturligvis koefficienten for Fourier-serien og er lig med $F_{n}(t)$

F_{n}(t)={\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;t)\sin \left({\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi .

Som et resultat er den generelle formel:

u(x,\;t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum \limits _{n= 1}^{\infty }\left[\int \limits _{0}^{t}\exp \left(-\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2} (t-\tau )\right)\left\{{\frac {2}{l}}\int \limits _{0}^{l}f(\xi ,\;\tau )\sin \left( {\frac {\pi n}{l}}\xi \right)\,d\xi \right\}\,d\tau \right]\sin \left({\frac {\pi n}{l} }x\right).

Generelt problem med første grænseværdi

I mange tilfælde er det muligt at løse den inhomogene varmeligning med inhomogene grænse- og begyndelsesbetingelser

{\begin{array}{l}u_{t}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,\;t),\\u(x,\;0)=\varphi (x ),\\u(0,\;t)=\mu _{1}(t),\\u(l,\;t)=\mu _{2}(t)\end{array}}

ved hjælp af metoderne beskrevet ovenfor og følgende enkle trick. Vi repræsenterer den ønskede funktion som en sum:

{\begin{array}{l}u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+U(x,\;t),\\{\tilde u}(x, \;0)=u(x,\;0)-U(x,\;0)=\varphi (x)-U(x,\;0),\\{\tilde u}(0,\; t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array}}

Lad os finde funktionen : $U(x,\;t)$

{\begin{array}{l}U(x,\;t)=Ax+b,\\U(0,\;t)=b=\mu _{1}(t),\\U(l) ,\;t)=Al+\mu _{1}=\mu _{2}\Højrepil A={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l )),\\U(x,\;t)={\dfrac {\mu _{2}(t)-\mu _{1}(t)}{l}}x+\mu _{1}( t).\end{array}}

Således er det oprindelige problem reduceret til følgende:

{\begin{array}{l}{\tilde u}_{t}=a^{2}{\tilde u}_{{xx))+f(x,\;t)-{\dfrac {\ mu '_{2}(t)-\mu '_{1}(t)}{l}}x-\mu '_{1}(t),\\{\tilde u}(x,\; 0)=\varphi (x)-{\dfrac {\mu _{2}(0)-\mu _{1}(0)}{l))x-\mu _{1}(0),\ \{\tilde u}(0,\;t)=0,\\{\tilde u}(l,\;t)=0.\end{array))

Efter at vi har fundet funktionen , finder vi den ønskede funktion ved formlen ${\tilde u}(x,\;t)$

u(x,\;t)={\tilde u}(x,\;t)+{\frac {\mu _{2}-\mu _{1}}{l}}x+\mu _{1 }.

Litteratur

På russisk

Petrovsky IG Forelæsninger om partielle differentialligninger. - ch. IV, § 40. - Enhver udgave.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matematisk fysiks ligninger. - ch. III. - Enhver udgave.

På engelsk

Cannon, John Rozier (1984), The One-Dimensional Heat Equation , vol. 23 (1. udg.), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Reading-Menlo Park-London-Don Mills-Sidney-Tokyo/ Cambridge-New York-New Rochelle-Melbourne-Sidney: Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , Med. XXV+483, ISBN 978-0-521-30243-2 , < https://books.google.com/?id=XWSnBZxbz2oC&printsec=frontcover#v=onepage&q= > .

Crank, J.; Nicolson, P. & Hartree, D. R. (1947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions of Partial differential Equations of the Heat-Conduction Type , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society bind 43: 50–67 , DOI 10.10017/S02190050/S02190050/S02190007
Einstein, Albert (1905), Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen , Ann. Phys. Leipzig 17 , bind 322 (8): 549–560 , DOI 10.1002/andp.19053220806
Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
John, Fritz (1991), Partial Differential Equations (4. udgave), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
Wilmott, P.; Howison, S. & Dewynne, J. (1995), The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction , Cambridge University Press
Carslaw, H.S. & Jaeger, J.C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2. udgave), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
Thambynayagam, RKM (2011), The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
Perona, P & Malik, J. (1990), Scale-Space and Edge Detection Using Anisotropic Diffusion, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence bind 12 (7): 629–639
Unsworth, J. & Duarte, FJ (1979), Heat diffusion in a solid sphere og Fourier Theory , Am. J Phys. T. 47 (11): 891–893 , DOI 10.1119/1.11601

Noter

↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matematisk fysiks ligninger. - ch. III, § 1. - Enhver udgave.
↑ 1 2 Petrovsky I. G. Forelæsninger om partielle differentialligninger. - ch. IV, § 40. - Enhver udgave.
↑ Hvis vi sammen med afgrænsede løsninger betragter ubegrænsede, er maksimumprincippet ikke sandt: løsningens afgrænsning følger ikke af afgrænsningen af de indledende data. Derfor er der ingen unik løsning. Se for eksempel A. Tychonoff, "Théorèmes d'unicité pour l'équation de la chaleur", Mat. Lør., 42:2 (1935), 199-216
↑ Udsagn om løsningens unikke og vedvarende afhængighed er en simpel konsekvens af maksimumsprincippet.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, s. 156 . Hentet 11. juni 2015. Arkiveret fra originalen 27. marts 2016. (ubestemt)
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Matematisk fysiks ligninger. - ch. III, § 2. - Enhver udgave.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner