Transponeringsmatrix

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 28. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En transpositionsmatrix ( -matrix) er en kvadratisk matrix af størrelse ( , ), hvis elementer er opnået fra elementerne i en given dimensionel vektor med formlen: $Tr$ $n\ gange n$ ${\displaystyle n=2^{m))$ $m\in N$ $n$ $X=(x_{i})$

{\displaystyle Tr(X)_{i,j}=x_{(i-1)\oplus (j-1)+1))

hvor symbolet angiver den bitvise operation " addition modulo 2 ". Rækkerne og kolonnerne i en transpositionsmatrix er permutationer af vektoren ; hver række og kolonne indeholder alle vektorens elementer uden gentagelse. -matrix er bisymmetrisk : og for enhver og . $\plus$ $x$ $Tr(X)$ $x$ $Tr$ $Tr_{i,j}=Tr_{j,i})$ ${\displaystyle Tr_{i,j}=Tr_{n-j+1,n-i+1))$ $jeg$ $j$

For eksempel, transpositionsmatrixen opnået fra en vektor: $Tr(X)$

X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8} \\\end{pmatrix}}

ligner:

Tr(X)={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&|&x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}\\ x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}&|&x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}\\x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{ 2}&|&x_{7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}&|&x_{8}&x_{7}&x_{ 6}&x_{5}\\-&-&-&-&|&-&-&-&-\\x_{5}&x_{6}&x_{7}&x_{8}&|&x_{1}&x_ {2}&x_{3}&x_{4}\\x_{6}&x_{5}&x_{8}&x_{7}&|&x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {7}&x_{8}&x_{5}&x_{6}&|&x_{3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{8}&x_{7}&x_{6}&x_{5 }&|&x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}

Egenskab af firdobler

Et vilkårligt par af rækker, rækker (eller par af kolonner) i transponeringsmatrixen indeholder fire af elementerne med lige store værdier af de diagonale elementer. For eksempel, hvis og er to tilfældigt udvalgte elementer fra en søjle i matrixen , så indebærer denne egenskab, at -matricen indeholder fire af de elementer , som ligningerne og er opfyldt for . Denne egenskab "egenskab af firere" er specifik for -matricer. $n/2$ ${\displaystyle Tr_{p,q))$ ${\displaystyle Tr_{u,q))$ $q$ $Tr$ $Tr$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ ${\displaystyle Tr_{p,q}=Tr_{u,v))$ ${\displaystyle Tr_{u,q}=Tr_{p,v))$ $Tr$

Transpositionsmatrix med indbyrdes ortogonale rækker

Egenskaben for firere gør det muligt at opnå en matrix med indbyrdes ortogonale rækker fra en transponeringsmatrix ved at ændre tegnet for et ulige antal elementer i hver af firerne , . Der er en algoritme til at konstruere en -matrix ved hjælp af det komponentvise produkt af en matrix og en -dimensionel Hadamard-matrix , hvis rækker (bortset fra den første) er permuteret på en sådan måde, at rækkerne i den resulterende matrix er gensidigt ortogonale : $Tr$ $Trs$ $(Tr_{p,q},Tr_{u,q},Tr_{p,v},Tr_{u,v})$ $p,q,u,v\in [1,n]$ $Trs$ $Tr$ $n$ $H=(h_{ij})$ $Trs$

Trs(X)=Tr(X)\cirkel H(R)

{\displaystyle Trs.{Trs}^{T}=\parallel X\parallel ^{2}.I_{n))

hvor:

" " - produktet af Hadamard,

\cirk

I}

er identitetsmatrixen,

H(R)

- -dimensionel Hadamard matrix med rækkepermutation , som ændrer tegnet for et ulige antal elementer i hver af firerne;

n

R=[1,r_{2},...r_{n}]^{T},r_{2},...r_{n}\in [2,n]

x

er den vektor, hvorfra grundstofferne i matrixen er afledt .

Tr

Rækkefølgen af Hadamard-matricen blev opnået eksperimentelt for matricer af størrelserne 2, 4 og 8. Rækkerækkefølgen af Hadamard-matricen (i forhold til Sylvester-Hadamard-matricen) afhænger ikke af vektoren . Det blev bevist [1] , at hvis er en enhedsvektor ( ), så . $R$ $Trs$ $R$ $x$ $x$ $\parallel X\parallel =1$ $det(Trs)=-1$

Et eksempel på opnåelse af Trs-matricen

En transpositionsmatrix med indbyrdes ortogonale rækker ved , fås fra en vektor med formlen: $Trs(X)$ $n=4$ $X={\begin{pmatrix}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\\\end{pmatrix))$

Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&-1&-1&1\\1&1&-1&-1\\\ ende{pmatrix}}\cirkel {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&x_{1}&x_{4}&x_{3}\\x_ {3}&x_{4}&x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&x_{2}&x_{1}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{ 1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\x_{2}&-x_{1}&x_{4}&-x_{3}\\x_{3}&-x_{4}&- x_{1}&x_{2}\\x_{4}&x_{3}&-x_{2}&-x_{1}\\\end{pmatrix}}

hvor er matrixen opnået fra vektoren , H(R) er Hadamard-matricen med rækkeforskydning i den givne rækkefølge R, for hvilken rækkerne af den resulterende Matrix Trs er indbyrdes ortogonale. Den første række af den resulterende matrix indeholder vektorens elementer uden permutationer og tegnændringer. Givet at matrixrækkerne er indbyrdes ortogonale: $Tr(X)$ $Tr$ $x$ $Trs(X)$ $x$ $Trs$

{\displaystyle Trs(X).X=\parallel X\parallel ^{2}.[1,0,0,0]^{T))

derfor roterer matricen vektoren , hvorfra den er afledt, i retning af aksen . Rækkefølgen af Hadamard-matricen afhænger ikke af vektoren . Matrixgenereringseksempler er blevet offentliggjort for . Det er fortsat et åbent spørgsmål, om det er muligt at oprette Trs-matricer med størrelse større end 8. $Trs$ $x$ $x_{1}$ $R$ $x$ $Tr$ $Trs$ $n=2,4,8$

Noter

↑ Zhelezov OI Bestemmelse af et særligt tilfælde af symmetriske matricer og deres anvendelser. Aktuelle emner om matematik og datalogi Vol. 6, 29-45 ISBN= 978-93-91473-89-1

Litteratur

Bellman R. Introduktion til matrixteori . — M .: Mir, 1969 (djvu).
Gantmakher F. R. Matrix Theory. - 5. udg. - M. : Fizmatlit, 2004. - 560 s. - ISBN 5-9221-0524-8 .; (2. udg.). — M. : Nauka, 1966 (djvu) .
Golub J. (Gene H. Golub), Van Lone Ch. (Charles F. Van Loan) Matrixberegninger. — M .: Mir, 1999. — 548 s. — ISBN 5-03-002406-9
Kurosh A. G. Forløb af højere algebra. - 9. udg. - M . : Nauka, 1968. - 432 s.

Links

http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet