Hadamard -matricen er en n × n kvadratisk matrix sammensat af tallene 1 og −1, hvis søjler er ortogonale , således at
hvor er identitetsmatrixen af størrelse n . Hadamard-matricer har applikationer inden for forskellige områder, herunder kombinatorik , numerisk analyse , signalbehandling .
Den ubeviste Hadamard-formodning siger, at der eksisterer en Hadamard-matrix af orden 4k for hver naturlig k .
På sættet af Hadamard-matricer af størrelse er der en gruppe af transformationer genereret af inversioner af rækker og kolonner (multiplikation med -1), samt permutationer af rækker og kolonner.
To Hadamard-matricer og kaldes ækvivalente , hvis der findes et element, sådan at . Således opdeles alle Hadamard-matricer af en given størrelse i ækvivalensklasser .
Sætning 1. Der findes en algoritme til optælling af normaliserede Hadamard-matricer.
Sætning 2. For ordre 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24 er der henholdsvis 1, 1, 1, 1, 2, 118, 6520, 43966313 (sekvens A147774 i OEIS ) ækvivalentklasser matricer med hensyn til ækvivalens af permutationer af rækker og kolonner.
Definition. En autotopi af Hadamard-matricen H er et element sådan, at .
Sætning 3. Der findes en algoritme til beregning af Hadamard-matricens autotopigruppe.
Sætning 4. Der er en algoritme til at kontrollere ækvivalensen af to Hadamard-matricer, der finder det nødvendige element .
Sætning 5. Der er polynomielt beregnelige funktioner på Hadamard-matricer, der er invariante under påvirkning af gruppen , og tillader i visse tilfælde at skelne mellem ikke-ækvivalente Hadamard-matricer.
Sætning 6. Der er en algoritme, der kun opregner én matrix fra hver ækvivalent klasse, for alle matricer af en given størrelse (under udvikling).
hvor og betyder Kronecker-produktet .