Stokastisk integral

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 13. januar 2022; checks kræver 8 redigeringer .

Et stokastisk integral er et integral af formen , hvor er en tilfældig proces med uafhængige normale trin. Stokastiske integraler er meget udbredt i stokastiske differentialligninger . Det stokastiske integral kan ikke beregnes som det sædvanlige Stieltjes-integral [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\in T}$

Stokastisk integral af en deterministisk funktion

Lad os introducere Hilbert-rummet af stokastiske variable , , med skalarproduktet og rod-middel-kvadratnormen . Her - angiver den forventede værdi. Inden for rammerne af Hilbertrummet kan man beskrive de vigtigste karakteristika ved stokastiske variable, såsom betingede matematiske forventninger, betingede sandsynligheder mv. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))))$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2))$ ${\mathbb {E}}$

Lad være et endeligt eller uendeligt segment af den reelle linje og på dens halve intervaller af formen en stokastisk additiv funktion med ortogonale værdier fra Hilbert-rummet af tilfældige variabler , som har egenskaberne: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

For enhver disjoint , , er mængderne ortogonale, det vil sige, at deres skalarprodukt i Hilbert-rummet er lig med nul: ${\displaystyle \Delta _{1))$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Hvis , er ikke-skærende halvintervaller og udgør et halvt interval, så $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Her er normen i Hilbert-rummet, for . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\venstre(s,t\højre]$

Lad en deterministisk funktion, der opfylder betingelsen . Overvej en sekvens af stykkevis konstante funktioner , der tilnærmer funktionen på en sådan måde, at , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Det stokastiske integral af en deterministisk funktion er grænsen [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Stokastisk integral af en stokastisk proces

Overvej integralet

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

hvor er en wienerproces med en enhedsspredningsparameter. Vi inddeler intervallet med point i delintervaller. Ved at bruge den tidligere definition af et integral for en deterministisk funktion, kan det stokastiske integral defineres ved et af to udtryk [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ jeg})]

eller

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Disse integraler er ikke ens, fordi ifølge definitionen af Wiener-processen [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Det generaliserede stokastiske integral kan defineres som en parametervægtet sum af integraler og følgende formel [5] : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

kl . Integralet svarer til Itô-integralet og falder sammen med Stratonovich-integralet. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $I_{{0,5}}$

Stratonovich-integralet

Stratonovich-integralet har formen [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integral

Itô-integralet har formen [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Dens vigtigste egenskaber [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Her er middelværdifunktionen og er kovariansfunktionen . $m(t)$ $r(t)$

Wiener integral

Lad os tildele hver bane af en endimensionel Wiener-proces et vist antal . Så kan denne bane beskrives ved hjælp af en stokastisk funktion . Integral af formen $\alfa$ $x(t,\alfa )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

kaldes Wiener stokastiske integral. Dette integral beregnes ved integration af dele , under hensyntagen til ligheden [7] : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Dens vigtigste egenskaber:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Se også

Noter

↑ Ostrom, 1973 , s. 68.
↑ Rozanov, 1982 , s. 57.
↑ Rozanov, 1982 , s. 64.
↑ Ostrom, 1973 , s. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , s. 71.
↑ Ostrom, 1973 , s. 72.
↑ Wiener, 1961 , s. tyve.
↑ Wiener, 1961 , s. 21.
↑ Wiener, 1961 , s. 24.

Litteratur

Ostrom, K. Yu Introduktion til stokastisk kontrolteori / overs. fra engelsk. S. A. Anisismov, N. E. Arutyunova, A. L. Bunich; udg. N.S. Raibman. — M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Ikke-lineære problemer i teorien om tilfældige processer. -M .:Forlaget for udenlandsk litteratur, 1961.
Yu.A. Rozanov . Introduktion til teorien om tilfældige processer. — M .: Nauka, 1982. — 128 s.

Integralregning

Hoved

Generaliseringer
af Riemann-integralet

Integrale
transformationer

Numerisk
integration

måle teori

relaterede emner

Lister over integraler