Generel topologi

Generel topologi ( sæt-teoretisk topologi ) er en gren af ​​topologi , der studerer begreberne kontinuitet og grænse i den mest generelle forstand.

Den traditionelle tilgang til generel topologi er mængdeteoretisk . Et sæt kaldes et topologisk rum, når en bestemt familie af dets åbne delmængder er givet , der opfylder aksiomerne. Der er mange mulige måder at definere strukturen af ​​et topologisk rum på et enkelt sæt: fra diskret til ikke-Hausdorff antidiskret (triviel) topologi , ved at lime alle punkter sammen.

De grundlæggende begreber inden for mængdelære, såsom mængde , funktion , ordenstal , kardinaltal , valgaksiom , Zorns lemma , er ikke genstand for generel topologi, men bruges aktivt af den. Generel topologi omfatter følgende afsnit: egenskaber for topologiske rum og deres kortlægninger, operationer på topologiske rum og deres kortlægninger, klassificering af topologiske rum. En uafhængig retning af generel topologi er dimensionsteori .

I modsætning til differentiel og algebraisk topologi er generel topologi fokuseret på studiet af den mest generelle form for kontinuerlige kortlægninger af topologiske rum ind i hinanden og ikke i rum udstyret med mere komplekse strukturer, primært algebraiske .

Ordlisten for generel topologi inkluderer begreber som kvarterer , sæt-lukninger (såvel som interiører ), kompakthed af sæt og konvergens af sekvenser og filtre . Begrebet grænsen for en funktion, introduceret i generel topologi, tillader yderligere generalisering inden for rammerne af teorien om pseudotopologiske rum .

Historie

Generel topologi opstod i slutningen af ​​det 19. århundrede og tog form som en selvstændig matematisk videnskab i begyndelsen af ​​det 20. århundrede . De grundlæggende værker tilhører Felix Hausdorff , Henri Poincaré , Pavel Alexandrov , Pavel Uryson , Leutzen Brauer . Især blev et af hovedproblemerne i generel topologi løst - fundet af nødvendige og tilstrækkelige betingelser for metriserbarheden af ​​et topologisk rum.

Den hurtigste udvikling af generel topologi som en selvstændig gren af ​​viden fandt sted i midten af ​​det 20. århundrede; i begyndelsen af ​​det 21. århundrede er det snarere en hjælpedisciplin, der "tjener" mange områder af matematikken: algebraisk topologi , funktionel analyse , kompleks analyse , grafteori .

Litteratur

• P. S. Aleksandrov, V. V. Fedorchuk, V. I. Zaitsev Hovedpunkter i udviklingen af ​​mængdeteoretisk topologi
• Alexandrov P. S. Introduktion til mængdeteori og generel topologi - M .: Nauka , 1977
• Arkhangelsky A. V., Ponomarev V. I. Fundamentals of General Topology in Problemer og øvelser - M .: Nauka , 1974
• Bourbaki N. Elementer i matematik. Generel topologi. Grundlæggende strukturer - M .: Nauka , 1968
• Kelly J. L. Generel topologi -M.:Nauka, 1968
• Engelking R. Generel topologi - M .: Mir, 1986
• Viro O. Ya., Ivanov O. A., Kharlamov V. M., Netsvetaev N. Yu. Elementær topologi . Tutorial i opgaver (rus., eng.)
• Sosinsky A. B. Introduktion til topologi - M. : MTsNMO, 2020