Filter (matematik)

Et filter er en delmængde af et delvist ordnet sæt , der opfylder visse betingelser. Konceptet kommer fra den generelle topologi , hvor filtre opstår på gitteret af alle delmængder af ethvert sæt ordnet efter inklusionsrelationen. Filteret er et koncept dobbelt til idealet .

Filtre blev introduceret af Henri Cartan i 1937 [1] [2] og efterfølgende brugt af Nicola Bourbaki i deres bog Topologie Générale som et alternativ til det lignende koncept om et netværk , udviklet i 1922 af E. G. Moore og G. L. Smith.

Definition inden for rammerne af gitterteori

En delmængde af et halvgitter kaldes et filter if $F$ $L$

for alle , $a,b\in F$ $a\land b\in F$
for alle og sådan , at $a\i F$ $b$ $a\leq b$ $b\in F$

Et filter siges at være native , hvis . $F\neq L$

Et egenfilter, så der ikke er andre egenfiltre, der indeholder det, kaldes et ultrafilter eller maksimumfilter .

Et gitterfilter kaldes simpelt , hvis det trods alt følger, at enten eller . $F$ $a,b\in L$ $a\lor b\in F$ $a\i F$ $b\in F$

Minimumsfilteret, der indeholder det givne element , kaldes hovedfilteret, der genereres af hovedelementet . $x$ $x$

Hvis filter, så er det ideelt . $F$ $L\backslash F$

Boolean algebra filter

Et filter på en boolsk algebra er en delmængde , for hvilken betingelserne [3] er opfyldt : $M$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Et filter på en boolsk algebra kaldes et ultrafilter, hvis følgende betingelse er opfyldt: $D$ $M$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Et filter på boolsk algebra kaldes simpelt, hvis det opfylder betingelsen: $D$ $M$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Et filter på en boolsk algebra siges at være maksimalt, hvis det ikke er indeholdt i noget andet filter på . $D$ $M$ $M$

Filtre på sæt

Et særligt tilfælde af et filter er et filter på et sæt. For hvert sæt kan du definere et gitter af dets undersæt . Derefter defineres filteret som en delmængde , der opfylder følgende betingelser [4] : $x$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $x$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
skæringspunktet mellem to elementer ligger i $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
supersættet af ethvert element ligger i $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Et visningsfilter kaldes et sæt-genereret filter . Et filter genereret af et sæt af ét element kaldes det vigtigste . Hovedfilteret er et ultrafilter. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Filter Base

Lad være et filter på settet . En familie af delmængder kaldes basen (basis) af filteret, hvis et element i filteret indeholder et eller andet element af basen , det vil sige, for enhver der eksisterer sådan, at . I dette tilfælde falder filteret sammen med familien af alle mulige supersæt af sæt fra . Især filtre, der har en fælles base, er de samme. Det siges også, at basen genererer et filter $\mathfrak F$ $x$ ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B\subset Y$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

For at en familie af delmængder af et sæt skal være basis for et eller andet filter på , er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at følgende betingelser ( basisaksiomer ) er opfyldt: ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ $x$ $x$

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \ikke \i {\mathfrak {B}}$ ;
for nogen der eksisterer sådan, at $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak {B}}$ $A\cap B\upset C$ .

To baser og kaldes ækvivalente , hvis et element indeholder et eller andet element , og omvendt, ethvert element indeholder et element . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak {B}}$

Ækvivalente baser genererer det samme filter. Blandt alle baser, der svarer til en given base , er der en base, der er maksimal med hensyn til inklusion, nemlig filteret, der genereres af denne base . Der er således en naturlig en-til-en overensstemmelse mellem klasser af ækvivalente baser og filtre. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Sammenligning af filtre

Lad sættet have to filtre og . Et filter siges at majorisere et filter ( stærkere , tyndere ) hvis . I dette tilfælde siges filteret også at være majoriseret af filteret ( svagere , grovere ). $x$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F))'$

De siger, at basen er stærkere end basen , og skriver, om et element indeholder et eller andet element . Basen er stærkere end basen, hvis og kun hvis filteret , der genereres af basen, er stærkere end filteret , der genereres af basen . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak {B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Baserer og er ækvivalente hvis og kun hvis både og . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Filtre i topologiske rum

Lad være et topologisk rum og være et filter på settet . Et punkt kaldes grænsen for et filter, hvis et område af punktet hører til filteret . Betegnelse :. Hvis er den eneste filtergrænse, så skriv også . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $x$ $a\i X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $-en$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ $-en$ $a=\lim {\mathfrak {F}}$

For et filter genereret af basen er punktet dets grænse, hvis og kun hvis et kvarter helt indeholder et sæt fra . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $-en$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

I et Hausdorff topologisk rum kan et filter højst have én grænse. Det omvendte er også sandt: Hvis hvert filter højst har én grænse, så er rummet Hausdorff.

Et punkt kaldes et grænsepunkt (kontaktpunkt, delvis grænse) for filteret, hvis det hører til lukningen af et sæt fra , det vil sige for alle . Tilsvarende for ethvert område af punktet og for enhver , . Ethvert grænsepunkt for et ultrafilter er dets grænse. $a\i X$ $\mathfrak F$ $-en$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)$ $-en$ $Y\in {\mathfrak {F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnothing$

I et kompakt topologisk rum har ethvert filter et grænsepunkt, og ethvert ultrafilter har en grænse.

Eksempler

Mængden af alle kvarterer af et punkt i et topologisk rum er et filter;
Hvis er en uendelig mængde, så er sættet af komplementer af endelige mængder et filter. Et sådant filter kaldes et slutfilter eller Fréchet-filter . $x$
Hvis er et uendeligt sæt af kardinalitet , så er sættet af komplementer af sæt af kardinalitet også et filter. $x$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak {m))$

Se også

Noter

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Arkiveret 11. maj 2015 på Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Arkiveret 14. oktober 2015 på Wayback Machine , CR Acad. Paris , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , s. 22.
↑ Aleksandryan, 1979 , s. 100.

Litteratur

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Generel topologi. - M . : Højere skole, 1979. - 336 s.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problemer i mængdeteori, matematisk logik og teori om algoritmer. — M .: Nauka, 1975. — 240 s.