Borromæiske ringe

Borromæiske ringe
Notation
Conway [.en]
Alexander-Briggs 6 3 2
Polynomier
Jones   [en]
Invarianter
Fletningslængde 6
Antal tråde 3
Antal kryds 6
Hyperbolsk volumen 7,327724753
Antal segmenter 9
Løsne nummer 2
Ejendomme
Skiftende link , hyperbolsk
 Mediefiler på Wikimedia Commons

Borromæiske ringe [2]  er et led bestående af tre topologiske cirkler , som er forbundet og danner et brunnsk led (det vil sige, at fjernelse af enhver ring vil føre til adskillelse af de to resterende ringe). Med andre ord, ikke to af de tre ringe er forbundet, som i Hopf-linket , men de er alle sammen forbundet.

Matematiske egenskaber

På trods af den tilsyneladende naturlighed af de borromæiske ringe fra illustrationerne, er det umuligt at lave et sådant link fra geometrisk ideelle cirkler [3] . Dette kan også ses ved at betragte et knudediagram : hvis vi antager, at cirkler 1 og 2 er tangenter i to skæringspunkter, så ligger de enten i samme plan eller på en kugle. I begge tilfælde skal den tredje cirkel skære dette plan eller kugle i fire punkter og ikke ligge på det, hvilket er umuligt [4] .

Samtidig kan et sådant engagement ske ved hjælp af ellipser, og excentriciteten af ​​disse ellipser kan gøres vilkårligt lille. Af denne grund kan tynde ringe lavet af fleksibel tråd bruges som borromæiske ringe.

Engagement

I knudeteorien er borromæiske ringe det enkleste eksempel på et brunnsk led - selvom ethvert par ringe ikke er forbundet , kan de ikke fjernes.

Den enkleste måde at bevise dette på er at betragte den grundlæggende gruppe af komplementet af to ikke- forbundne cirkler; ved Seifert-van Kampens sætning , er dette en fri gruppe med to generatorer, a og b, og så svarer tredje cyklus til kommutatorklassen , [ a , b ] = aba −1 b −1 , som kan ses ud fra linkdiagrammet. Denne kommutator er ikke-triviel i den fundamentale gruppe, og derfor er de borromæiske ringe forbundet.

I aritmetisk topologi er der en analogi mellem noder og primtal , som gør det muligt at spore relationerne mellem primtal. Trippelen af ​​primtal (13, 61, 937) er forbundet modulo 2 (dens Rhedei-symbol er lig med −1), men disse tal er parvis ikke-relaterede modulo 2 (alle Legendre-symboler er lig med 1). Sådanne primtal kaldes "regulære Borromean triples modulo 2" [5] eller "simpel Borromean modulo 2". [6]

Hyperbolsk geometri

Borromæske ringe er et eksempel på hyperbolsk kobling  — komplementet af Borromæiske ringe i en 3-sfære tillader en komplet hyperbolsk metrisk med endeligt volumen. Den kanoniske udvidelse (Epstein-Penner) af komplementet består af to regulære oktaedre . Det hyperbolske volumen er lig med 16Л(π/4) = 7,32772…, hvor Л er Lobachevsky-funktionen . [7]

Forbindelse med le

Hvis vi skærer de borromæiske ringe, får vi en iteration af den sædvanlige fletningsvævning . Omvendt, hvis vi forbinder enderne (af en iteration) af en almindelig fletning, får vi borromæiske ringe. Fjernelse af en ring frigør de resterende to, og fjernelse af et bånd fra fletningen frigør de to andre - de er henholdsvis det enkleste Brunnian-led og Brunnian-fletningen .

I standardlinkdiagrammet er borromæiske ringe ordnet i en cyklisk rækkefølge . Hvis du bruger farverne som ovenfor, vil rød være over grøn, grøn over blå, blå over rød, og når en af ​​ringene fjernes, vil den ene af de resterende ligge over den anden, og de vil være uengagerede. Det er det samme med det skrå: hvert bånd ligger over den anden og under den tredje.

Historie

Navnet "Borromean ringe" kom fra deres brug på våbenskjoldet af den aristokratiske Borromean familie i det nordlige Italien . Forlovelsen er meget ældre og optrådte som en valknut [en] på vikingebilledsten , stammer fra det syvende århundrede.

Borromeiske ringe er blevet brugt i forskellige sammenhænge såsom religion og kunst for at vise kraften i enhed. Især ringe blev brugt som et symbol på treenigheden . Psykoanalytikeren Jacques Lacan er kendt for at have fundet inspiration i borromæiske ringe som en model for topologien af ​​den menneskelige personlighed, hvor hver ring repræsenterer en grundlæggende komponent af virkeligheden ("virkelig", "imaginær" og "symbolsk").

I 2006 besluttede International Mathematical Union at bruge et logo baseret på borromæiske ringe til den XXV Internationale Matematikerkongres i Madrid , Spanien [8] .

En stensøjle i templet Marundiiswarar i Chennai , Tamil Nadu , Indien , der stammer fra det sjette århundrede, indeholder en sådan figur [9] [10] .

Delvise ringe

Der er mange visuelle tegn, der går tilbage til middelalderen og renæssancen, bestående af tre elementer forbundet med hinanden på samme måde som de borromæiske ringe (i deres almindeligt accepterede todimensionelle repræsentation), men de enkelte elementer repræsenterer ikke lukkede ringe. Eksempler på sådanne symboler er hornene på Snoldelev stenen og halvmånerne af Diane de Poitiers . Et eksempel på et emblem med tre forskellige elementer er emblemet fra Internacional klubben . Selvom disse symboler i mindre grad inkluderer gankiel og Venn -diagrammet med tre elementer .

Abenæve -knuden er også i det væsentlige en tredimensionel repræsentation af de borromæiske ringe, selvom knuden har tre niveauer .

Flere ringe

Nogle forbindelser i knudeteorien indeholder flere konfigurationer af borromæiske ringe. En forbindelse af denne type, bestående af fem ringe, bruges som et symbol i Discordianism , baseret på et billede fra Principia Discordia - bogen .

Implementeringer

Molekylær borromæiske ringe  er molekylære analoger af borromæske ringe, som er mekanisk forbundne molekylære strukturer . I 1997 konstruerede biolog Mao Chengde (Chengde Mao) og medforfattere fra New York University med succes ringe fra DNA [11] . I 2003 brugte kemiker Fraser Stoddart og medforfattere ved University of California komplekse forbindelser til at bygge et sæt ringe fra 18 komponenter i én operation [12] .

Den kvantemekaniske analog af Borromean-ringe kaldes haloen eller Efimov-tilstanden (eksistensen af ​​sådanne tilstande blev forudsagt af fysikeren Vitaly Nikolaevich Efimov i 1970). I 2006 bekræftede forskergruppen af ​​Rudolf Grim og Hans-Christoph Nägerl fra Institut for Eksperimentel Fysik ved Universitetet i Innsbruck (Østrig) eksperimentelt eksistensen af ​​sådanne tilstande i en ultrakold gas af cæsiumatomer og offentliggjorde opdagelsen i det videnskabelige tidsskrift Naturen [13] . En gruppe fysikere ledet af Randall Hulet ved Rice University i Houston opnåede det samme resultat ved at bruge tre bundne lithiumatomer og offentliggjorde deres resultater i Science Express [14] . I 2010 opnåede en gruppe ledet af K. Tanaka Efimov-tilstanden med neutroner (neutronhalo) [15] .

Se også

Noter

  1. ↑ The Knot Atlas - 2005.
  2. ↑ Navnet stammer fra våbenskjoldet fra den borromæiske familie , hvorpå disse ringe er til stede.
  3. ↑ Freedman-Skora, 1987 .
  4. ↑ Lindström, Zetterström, 1991 .
  5. ↑ Denis Vogel. Massey-produkter i Galois-kohomologien af ​​talfelter. — 13. februar 2004.
  6. ↑ Masanori Morishita. Analogier mellem knob og primtal, 3-manifolds og talringe. - 22. april 2009. - arXiv : 0904.3399 .
  7. ↑ William Thurston. Tre-manifoldernes geometri og topologi. - Marts 2002. - C. Kap 7. Beregning af volumen s. 165 .
  8. ↑ ICM 2006 . Hentet 20. maj 2015. Arkiveret fra originalen 3. marts 2016.
  9. ↑ Lakshminarayan, 2007 .
  10. ↑ Blogindlæg af Arul Lakshminarayan
  11. ↑ Mao, Sun, Seeman, 1997 , s. 137-138.
  12. ↑ Dette arbejde blev offentliggjort i Science 2004 , 304 , 1308-1312. Abstrakt arkiveret 8. december 2008 på Wayback Machine
  13. ↑ Kraemer, 2006 , s. 315-318.
  14. ↑ Moskowitz, 2009 .
  15. ↑ Tanaka, 2010 , s. 062701.

Litteratur

Links