Kvaternion

Kvaternion
Dato for stiftelse / oprettelse / forekomst	1843 [1]
Forrige i rækkefølge	komplekst tal
Næste i rækkefølge	Cayley algebra
Opdager eller opfinder	William Rowan Hamilton [1]
åbningsdato	1843
Formel, der beskriver en lov eller sætning	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Beskrevet i linket	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( engelsk )


Mediefiler på Wikimedia Commons

Kvaternioner (fra lat. quaterni , fire hver ) - et system af hyperkomplekse tal , der danner et vektorrum med dimension fire over feltet af reelle tal . Normalt angivet med symbolet . Foreslået af William Hamilton i 1843 . $\mathbb {H}$

Kvaternioner er praktiske til at beskrive isometrier af tre- og firedimensionelle euklidiske rum og er derfor meget brugt i mekanik . De bruges også i beregningsmatematik - for eksempel når man laver tredimensionel grafik [2] .

Henri Poincare skrev om quaternions: "Deres udseende gav en kraftig impuls til udviklingen af algebra ; Ud fra dem gik videnskaben ad vejen med at generalisere begrebet tal og nåede frem til begreberne en matrix og en lineær operator , der gennemsyrer moderne matematik. Det var en revolution inden for aritmetik, svarende til den, som Lobachevsky lavede i geometrien ” [3] .

Definitioner

Standard

Kvaternioner kan defineres som summen

q=a+bi+cj+dk

hvor er reelle tal $a,b,c,d$

i,j,k

er imaginære enheder med følgende egenskab: , mens resultatet af deres parvise produkt afhænger af rækkefølgen (er ikke kommutativ ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Multiplikationstabel for grundlæggende kvaternioner

1,i,j,k

x	en	jeg	j	k
en	en	jeg	j	k
jeg	jeg	-en	k	-j
j	j	-k	-en	jeg
k	k	j	-jeg	-en

Som en vektor og en skalar

En quaternion er et par , hvor er en tredimensionel rumvektor, og er en skalar, det vil sige et reelt tal . $\venstre(a,{\vec {u}}\højre),$ ${\vec {u}}$ $-en$

Tilføjelsesoperationerne er defineret som følger:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\right).

Et produkt er defineret som følger:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\ gange {\vec {v}}\right),

hvor angiver skalarproduktet og er vektorproduktet . $\cdot$ $\ gange$

I særdeleshed,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ højre)=\left(0,a{\vec {v}}\right),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\right),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\ gange {\vec {v}}\right).

Læg mærke til det:

Algebraiske operationer på kvaternioner har fordelingsegenskaben ;
Antikommutativiteten af vektorproduktet indebærer ikke-kommutativiteten af produktet af kvaternioner.

Gennem komplekse tal

Et vilkårligt kvaternion kan repræsenteres som et par komplekse tal i formen $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

eller tilsvarende

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

hvor er komplekse tal, da det gælder for både komplekse tal og kvaternioner, og . $\z_{1},z_{2}$ $\i^{2}=-1$ $k=ij$

Gennem matrixrepræsentationer

Reelle matricer

Kvaternioner kan også defineres som reelle matricer af følgende form med det sædvanlige matrixprodukt og sum:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Med denne post:

det konjugerede kvaternion svarer til den transponerede matrix: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
den fjerde potens af kvaternionmodulet er lig med determinanten af den tilsvarende matrix: $\left|q\right|^{4}=\det Q.$

Komplekse matricer

Alternativt kan kvaternioner defineres som komplekse matricer af følgende form med det sædvanlige matrixprodukt og sum:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta}&{\bar \alpha}\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

her og betegne de komplekse konjugerede tal k og . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alfa$ $\beta$

Denne repræsentation har flere bemærkelsesværdige egenskaber:

et komplekst tal svarer til en diagonal matrix;
det konjugerede quaternion svarer til den konjugerede transponerede matrix: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
kvadratet på kvaternionmodulet er lig med determinanten af den tilsvarende matrix: $\left|q\right|^{2}=\det Q.$

Relaterede objekter og operationer

For quaternion

q=a+bi+cj+dk

quaternion kaldes skalardelen og quaternion kaldes vektordelen . Hvis så quaternion kaldes rent skalar , og når - rent vektor . $-en$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a=0$

Konjugation

For en quaternion er konjugatet : $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

Konjugatproduktet er produktet af konjugaterne i omvendt rækkefølge:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

For quaternions, ligheden

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Modul

Ligesom for komplekse tal,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

kaldet et modul . Hvis derefter kaldes enheden quaternion . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

Som normen for en quaternion betragtes dens modul normalt: . $\venstre\|z\højre\|=\venstre|z\højre|$

Der kan således indføres en metrik på sættet af quaternioner. Kvaternioner danner et metrisk rum, der er isomorft med den euklidiske metrik. $\R^4$

Kvaternioner med modul som deres norm danner en Banach-algebra .

Tilbageførsel af multiplikation (division)

Kvaternion, omvendt til multiplikation til , beregnes som følger :. $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Algebraiske egenskaber

Sættet af quaternioner er et eksempel på et solidt , det vil sige en ring med division og en. Sættet af kvaternioner danner en firedimensionel associativ divisionsalgebra over feltet af reelle (men ikke komplekse) tal.

Ved Frobenius-sætningen er legemerne , , de eneste finit-dimensionelle associative divisionsalgebraer over feltet af reelle tal. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

Ikke-kommutativiteten af quaternion multiplikation fører til uventede konsekvenser. For eksempel kan antallet af forskellige rødder af en polynomialligning over et sæt af kvaternioner være større end ligningens grad. Især ligningen har uendeligt mange løsninger - disse er alle enhedsrene vektorkvaternioner. $q^{2}+1=0$

Fire grundlæggende kvaternioner og fire modsatte i fortegn danner en gruppe af kvaternioner ( af orden 8) ved multiplikation. Udpeget:

Q_{8}=\venstre\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\}.

Kvaternioner og rumrotationer

Kvaternioner, betragtet som en algebra over , danner et firedimensionalt reelt vektorrum . Enhver drejning af dette rum i forhold til kan skrives som , hvor og er et par enhedskvaternioner, mens parret er bestemt op til et tegn, det vil sige, at en drejning er bestemt af præcis to par - og . Det følger af dette, at Lie-gruppen af rotationer er faktorgruppen , hvor betegner den multiplikative gruppe af enhedskvaternioner. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(-\xi ,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\ gange S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

Rent vektorkvaternioner danner et tredimensionelt reelt vektorrum. Enhver rotation af rummet af rent vektorkvaternioner med hensyn til kan skrives som , hvor er en enhedskvaternion. Derfor er , især diffeomorf til . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

"Hele" quaternions

Som normen for en quaternion vælger vi kvadratet af dens modul: . $\venstre\|z\højre\|=\venstre|z\højre|^{2}$

Hurwitz- heltal kaldes kvaternioner , således at alle er heltal og har samme paritet. $a+bi+cj+dk$ $2a, 2b, 2c, 2d$

Et heltals kvaternion kaldes

også selvom
ulige
enkel

hvis dens norm har samme egenskab.

Et heltalskvaternion kaldes primitivt , hvis det ikke er deleligt med noget andet naturligt tal end , heltal (med andre ord, ). $en$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\right)\leq 2$

Heltal enhed quaternions

Der er 24 heltalskvaternioner:

\pm 1

; ; ; ;

\pm i

\pm j

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

De danner en gruppe ved multiplikation, ligger i spidserne af et regulært 4-dimensionelt polyeder - et 3-kuboktaeder (ikke at forveksle med et 3-dimensionelt polyeder- kuboktaeder ).

Nedbrydning til primfaktorer

For primitive kvaternioner er en analog af aritmetikkens grundlæggende sætning sand .

Sætning. [4] For enhver fast rækkefølge af faktorer i dekomponeringen af quaternion-normen til et produkt af positive heltal, eksisterer der en quaternion-dekomponering til et produkt af simple quaternions , således at . Desuden er denne udvidelse unik modulo multiplikation med enheder, hvilket betyder, at enhver anden udvidelse vil have formen $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

hvor , , , … er heltalsenhedskvaternioner. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

For eksempel har en primitiv quaternion en norm på 60, hvilket betyder, at modulo multiplikation med enheder har præcis 12 udvidelser til et produkt af simple quaternioner, svarende til 12 udvidelser af tallet 60 til produkter af primtal: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Det samlede antal udvidelser af en sådan quaternion er $24^{3}\cdot 12=165888$

Quaternion Variable Funktioner

Hjælpefunktioner

Kvaterniontegnet beregnes således:

\operatorname {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Kvaternion-argumentet er vinklen i 4D-rummet mellem quaternion og den reelle enhed:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

I det følgende bruger vi repræsentationen af den givne quaternion i formen $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Her er den rigtige del af quaternion ,. På samme tid derfor , det rigtige lige plan, der passerer igennem og har strukturen af algebraen af komplekse tal, hvilket giver os mulighed for at overføre vilkårlige analytiske funktioner til tilfældet med quaternioner. De opfylder standardrelationerne, hvis alle argumenter er af formen for en fast enhedsvektor . Hvis det er påkrævet at overveje kvaternioner med forskellige retninger, bliver formlerne meget mere komplicerede, på grund af ikke-kommutativiteten af quaternion-algebraen. $-en$ ${\mathrm {i}}=\venstre|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i))$

Elementære funktioner

Standarddefinitionen af analytiske funktioner på en associativ normeret algebra er baseret på udvidelsen af disse funktioner til potensrækker. Argumenterne, der beviser rigtigheden af definitionen af sådanne funktioner, er fuldstændig analoge med det komplekse tilfælde og er baseret på beregning af konvergensradius for den tilsvarende potensrække. Givet den ovenstående "komplekse" repræsentation for en given quaternion, kan den tilsvarende serie reduceres til den kompakte form nedenfor. Her er blot nogle af de mest almindelige analytiske funktioner; på samme måde kan enhver analytisk funktion beregnes. Den generelle regel er: hvis der er tale om komplekse tal, hvor betragtes kvaternion så i den "komplekse" repræsentation . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i))$

Grad og logaritme

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\right)

\ln q=\ln \venstre|q\højre|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u))))

Bemærk, at logaritmen som sædvanligt i kompleks analyse viser sig kun at være defineret op til . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Trigonometriske funktioner

\sin q=\sin a\,\operatørnavn {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operatørnavn {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operatørnavn {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operatørnavn {sh}\left|{\mathbf {u}}\right |{\hat {{\mathbf {u}}}}

\operatørnavn {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Lineær visning

En quaternion algebra mapping kaldes lineær hvis lighederne $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

hvor er feltet for reelle tal. Hvis er en lineær kortlægning af quaternionalgebraen, så for enhver kortlægning $\mathbb {R}$ $f$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

er en lineær kortlægning. Hvis er identitetskortlægningen ( ), så kan vi for enhver identificere tensorproduktet med kortlægningen $f$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

(a\otimes b)\circ x=axb

For enhver lineær mapping eksisterer der en tensor , , sådan at $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ ${\displaystyle a=a_{s0}\nogle gange a_{s1))$

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\nogle gange a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1))

Ovenstående ligheder forudsætter summering over indekset . Derfor kan vi identificere den lineære afbildning og tensoren . $s$ $f$ $-en$

Almindelige funktioner

Der er forskellige måder at definere regulære funktioner af en kvaternionvariabel. Den mest eksplicitte er overvejelsen af kvaternionisk differentierbare funktioner, mens man kan betragte højre -differentierbare og venstre- differentierbare funktioner, der ikke er sammenfaldende på grund af ikke-kommutativiteten af kvaternionmultiplikation. Det er klart, at deres teori er fuldstændig analog. Vi definerer en quaternion-venstre differentierbar funktion som havende en grænse $f$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\right)\right)\right]

Det viser sig, at alle sådanne funktioner i et eller andet område af punktet har formen $q$

f=a+qb

hvor er konstante quaternioner. En anden måde er baseret på brugen af operatører $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

og overvejelse af sådanne kvaternionfunktioner , for hvilke [5] $f$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

hvilket er fuldstændig analogt med brugen af operatører og i det komplekse tilfælde. I dette tilfælde opnås analoger af integral-Cauchy-sætningen , teorien om rester , harmoniske funktioner og Laurent-rækker for kvaternionfunktioner [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

Differentiering af kortlægninger

En kontinuerlig kortlægning kaldes differentiabel på sættet, hvis ændringen i kortlægningen på hvert punkt kan repræsenteres som $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\i U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

hvor

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

et lineært kort over quaternionalgebraen og et kontinuert kort sådan, at $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Den lineære afbildning kaldes den afledede af afbildningen . ${\frac {df(x)}{dx))$ $f$

Den afledte kan repræsenteres som [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\nogle gange {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Følgelig har kortlægningsdifferentialet formen $f$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\nogle gange {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Her forudsættes summering efter indeks . Antallet af led afhænger af valget af funktion . Udtrykkene og kaldes komponenter af den afledte. $s$ $f$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

For en vilkårlig quaternion , ligheden $-en$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Typer af multiplikationer

Grassmann multiplikation

Dette er et andet navn for den almindeligt accepterede multiplikation af kvaternioner ( ). $pq$

Euklidisk multiplikation

Den adskiller sig fra den almindeligt accepterede ved, at i stedet for den første faktor tages konjugatet til den :. Det er også ikke-kommutativt. ${\bar p}q$

Prik produkt

Svarende til operationen af samme navn for vektorer:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Denne operation kan bruges til at vælge en af koefficienterne, f.eks . $\venstre(a+bi+cj+dk\højre)\cdot i=b$

Definitionen af kvaternionmodulet kan ændres:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Eksternt produkt

\operatornavn {Ydre}\left(p,q\right)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Ikke brugt særlig tit, men betragtes som et supplement til prikproduktet.

Vektorprodukt

Svarende til operationen af samme navn for vektorer. Resultatet er også en vektor:

p\ gange q={\frac {pq-qp}{2))

Fra historie

Kvaternionsystemet blev først udgivet af Hamilton i 1843 . Videnskabshistorikere har også fundet skitser om dette emne i Gauss ' upublicerede manuskripter , der dateres tilbage til 1819-1820 [ 9 ] . Euler overvejede også quaternions. B. O. Rodrigue (1840) udledte, når man overvejede rotationerne af et absolut stift legeme, reglerne for multiplikation af kvaternioner [10] [11] .

Den hurtige og ekstremt frugtbare udvikling af kompleks analyse i det 19. århundrede stimulerede matematikernes interesse for følgende problem: at finde en ny slags tal, der i egenskaber ligner komplekse tal , men indeholder ikke én, men to imaginære enheder. Det blev antaget, at en sådan model ville være nyttig til at løse rumlige problemer i matematisk fysik. Arbejdet i denne retning var imidlertid forgæves. Hamilton [11] beskæftigede sig med det samme problem .

En ny slags tal blev opdaget af den irske matematiker William Hamilton i 1843 , og det indeholdt ikke to, som forventet, men tre imaginære enheder. Hamilton arbejdede først med dubletter (punkter i en plan) og fik let regler for multiplikation svarende til komplekse tal, men for punkter i rummet ( tripler ) kunne han ikke få nogen form for multiplikation for sådanne mængder. Til sidst besluttede jeg mig for at prøve firere - punkter i firedimensionelt rum. Hamilton kaldte disse tal quaternions [12] . Senere beviste Frobenius strengt ( 1877 ) en sætning, ifølge hvilken det er umuligt at udvide et komplekst felt til et felt eller et legeme med to imaginære enheder [13] .

Udviklingen af kvaternioner og deres anvendelser i fysik fulgte tre relaterede veje: med den algebraiske tilgang, hvis apologeter var Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce og Frobenius; med teorien om komplekse kvaternioner, hvis repræsentanter var Clifford, Studi og Kotelnikov ; med fysik på grund af navnene Maxwell og Heaviside [14] . På trods af de usædvanlige egenskaber ved nye numre (deres ikke-kommutativitet) bragte denne model hurtigt praktiske fordele. Maxwell brugte kompakt quaternion notation til at formulere sine elektromagnetiske feltligninger . [15] Senere blev der på basis af quaternionalgebra skabt tredimensionel vektoranalyse ( Gibbs , Heaviside ) [16] . Brugen af kvaternioner er blevet afløst af vektoranalyse fra elektrodynamikkens ligninger. Den tætte forbindelse mellem Maxwells ligninger og kvaternioner er dog ikke begrænset til elektrodynamik, eftersom formuleringen af SRT i form af 4-vektorer blev konstrueret af Minkowski i teorien om SRT ved hjælp af kvaternioner af A. W. Conway og Silberstein [ 17] . Efterkrigstiden for brugen af kvaternioner i fysik er forbundet med den udbredte brug af teorien om grupper og deres repræsentationer i elementær partikelfysik. Det er også muligt at erstatte kvantemekanikkens standard Hilbert-rum med dets definition over skævheden af quaternioner [18] .

Moderne applikation

I det 20. århundrede blev der gjort flere forsøg på at bruge kvaternionmodeller i kvantemekanikken [19] og relativitetsteorien [20] . Kvaternioner har fundet reel anvendelse i moderne computergrafik og spilprogrammering [21] såvel som i beregningsmekanik [22] [23] , i inerti-navigation og kontrolteori [24] [25] . Siden 2003 er tidsskriftet Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics blevet udgivet [26] .

I mange anvendelser er der fundet mere generelle og praktiske midler end quaternioner. For eksempel, i dag, til at studere bevægelser i rummet, bruges matrixregning oftest [27] . Men hvor det er vigtigt at specificere en tredimensionel rotation ved brug af det mindste antal skalarparametre, er brugen af Rodrigues-Hamilton-parametrene (det vil sige de fire komponenter i rotationskvarternionen) ofte at foretrække: en sådan beskrivelse degenererer aldrig. , og når man beskriver rotationer med tre parametre (for eksempel Euler-vinkler ) er der altid kritiske værdier for disse parametre, når beskrivelsen degenererer [22] [23] .

Som en algebra over danner kvaternioner et reelt vektorrum udstyret med en tredjerangstensor af typen (1,2), nogle gange kaldet strukturtensoren . Som enhver tensor af denne type kortlægger hver 1-form på og et par vektorer fra til et reelt tal . For enhver fast 1-form bliver den til en kovariant tensor af anden rang, som i tilfælde af dens symmetri bliver det indre produkt på . Da ethvert reelt vektorrum også er en reel lineær manifold , genererer et sådant indre produkt et tensorfelt, som, forudsat at det ikke er degenereret, bliver en (pseudo- eller korrekt) euklidisk metrisk på . I tilfælde af kvaternioner er dette indre produkt ubestemt , dets signatur er uafhængigt af 1-formen , og den tilsvarende pseudo-euklidiske metrik er Minkowski-metrikken [28] . Denne metrik udvides automatisk til Lie-gruppen af ikke-nul kvaternioner langs dens venstre-invariante vektorfelter, og danner den såkaldte lukkede FLRU (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) metrik [29] , en vigtig løsning på Einstein-ligningerne . Disse resultater afklarer nogle aspekter af problemet med kompatibilitet mellem kvantemekanik og generel relativitet inden for rammerne af teorien om kvantetyngdekraften [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\venstre(a,b\højre)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\venstre(t,a,b\højre)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Se også

Noter

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebras, ringe og moduler (engelsk) - Springer Science + Business Media , 2004. - S. 12. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions i spilprogrammering Arkiveret 25. juli 2009 på Wayback Machine ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (i anledning af hans 150-års fødselsdag) // Proceedings of the Institute of the History of Natural Science. - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 15 (Historie om fysiske og matematiske videnskaber) . - S. 273. .
↑ John C. Baez. Om kvaternioner og oktonioner: deres geometri, aritmetik og symmetri, af John H. Conway og Derek A. Smith . - Anmeldelse. Hentet 7. februar 2009. Arkiveret fra originalen 22. august 2011.
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Kommentar. matematik. Helv. 8, s. 371-378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, Department of Mathematics, University of York, 1977.
↑ Udtrykket er ikke en brøk og skal behandles som et enkelt tegn. Denne notation foreslås for kompatibilitet med den afledte notation. Værdien af udtrykket, når det er givet, er en quaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$
↑ I et brev til sin søn Archibald dateret 5. august 1865 skriver Hamilton: "... Men selvfølgelig er inskriptionen allerede blevet slettet" ( L. S. Polak Variationsprincipper for mekanik, deres udvikling og anvendelse i fysik. - M. .: Fizmatgiz, 1960. - s. 103-104)
↑ Bourbaki N. . Matematikkens arkitektur. Essays om matematikkens historie. - M . : Udenlandsk litteratur, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. Geometriske love, der styrer bevægelserne af et fast system i rummet, og ændringen i koordinater som følge af disse bevægelser, betragtet uafhængigt af de årsager, der kan forårsage dem = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin og Tolkachev, 2003 , s. 5.
↑ Mishchenko og Solovyov, 1983 , s. 11-12.
↑ Mishchenko og Solovyov, 1983 , s. femten.
↑ Berezin, Kurochkin og Tolkachev, 2003 , s. 6-8.
↑ A. N. Krylov Gennemgang af akademiker P. P. Lazarevs arbejde. Arkiveret 3. maj 2017 på Wayback Machine
↑ Berezin, Kurochkin og Tolkachev, 2003 , s. otte.
↑ Berezin, Kurochkin og Tolkachev, 2003 , s. 9.
↑ Berezin, Kurochkin og Tolkachev, 2003 , s. ti.
↑ Kurochkin Yu. A. Quaternions og nogle af deres anvendelser i fysik. Fortryk af afhandling nr. 109. - Institut for Fysik ved Akademiet for Videnskaber i BSSR. - 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamilton calculus of quaternions // Hamilton W. R. Udvalgte værker: optik, dynamik, quaternions. - M . : Nauka, 1994. - (Videnskabelige klassikere). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Anvendelse af kvaternioner i computergeometri og grafik. - Minsk: BGU Forlag, 2010. - 216 s. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Dynamics of Solid State Systems. — M .: Mir, 1980. — 292 s. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu. Introduktion til modellering af kropssystemers dynamik. - Bryansk: BSTU Publishing House, 1997. - 156 s. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu. Orientering, gyroskoper og inerti-navigation. — M .: Nauka, 1976. — 672 s. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Inertialnavigationsligninger og quaternionteori for rum-tid . Hentet 9. december 2013. Arkiveret fra originalen 13. december 2013. (ubestemt)
↑ Journal "Hyperkomplekse tal i geometri og fysik" . Hentet 13. marts 2014. Arkiveret fra originalen 26. september 2016. (ubestemt)
↑ Klein F. Forelæsninger om matematikkens udvikling i det 19. århundrede . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 s.
↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, nr. 8 / 12.1995. - P. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Holland, V. 46, nr. 2 / 02.2007. - s. 251-257 - ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
↑ Vladimir Trifonov GR-venlig beskrivelse af kvantesystemer // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Holland, V. 47, nr. 2 / 02.2008. - s. 492-510 - ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Litteratur

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Hyperkomplekse tal . — M .: Nauka , 1973. — 144 s.
Mishchenko A. S. , Solovyov Yu. P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Kvaternioner i relativistisk fysik . - 2. - M . : Redaktionel URSS, 2003. - S. 12 . — 202 s. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Arkiveret 27. september 2007 på Wayback Machine - Anvendelse af quaternioner til 3D-grafik.
Kvaternioner. Quaters.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - Nr. 5 . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 s. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Algebra over ringen
Dimension - Power of 2	Komplekse tal (størrelse 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (størrelse 4) $\mathbb {H}$ Cayley-tal/oktonioner/oktaver (størrelse 8) $\mathbb O$ Sedenioner (størrelse 16) $\mathbb S$
se også	Frobenius sætning Hyperkomplekst tal Algebra Legeme imaginær enhed