Antikommutativitet

Antikommutativitet er en egenskab ved en multiplikativ binær operation i ringen : . $x^{2}=x\cdot x=0$

Identitet følger af definitionen , da udtrykket er lig med: $x\cdot y+y\cdot x=0$ $(x+y)\cdot (x+y)$

{\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\ cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{aligned}}

Hvis ringen ikke er en nuldeler , så følger selve identiteten af, og de viser sig at være ækvivalente; men i det generelle tilfælde er dette ikke tilfældet (for eksempel i algebraer over et felt med karakteristik 2 er den første identitet stærkere end den anden). $2=1+1$ $x\cdot x=0$ $x\cdot y+y\cdot x=0$

Begrebet opstod i forbindelse med Lie algebraer , hvor multiplikation opfylder identiteten (samt ). Et klassisk eksempel på en antikommutativ operation er vektorproduktet , for hvilket (i modsætning til det kommutative skalarprodukt ). $x\cdot y=-y\cdot x$ $x^{2}=0$ $x\ gange y=-y\ gange x$

Nogle antikommutative algebraer : Maltsev algebraer , algebra af ydre former , algebra af afledninger af differentialformer , algebra af tangentielt værdisatte former .

En multiplikation i en graderet algebra kaldes graderet antikommutativ , hvis, for nogen elementer af , , er sandt: $\Omega = \oplus_{i} \Omega^i$ $\omega_m \i \Omega^m$ $\omega_k \i \Omega^k$

\omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0

Litteratur

Skornyakov L. A., Shestakov I. P. . Kapitel III. Ringe og moduler // Generel algebra / Red. udg. L. A. Skonyakova . - M . : Science , 1990. - T. 1. - S. 291-572. — 592 s. — (Matematisk referencebibliotek). — 30.000 eksemplarer. — ISBN 5-02-014426-6 .