Identitet af fire firkanter

Eulers fire kvadraters identitet er en nedbrydning af produktet af summer af fire kvadrater til en sum af fire kvadrater.

Ordlyd

{\begin{aligned}&(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{ 1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\\&=(a_{1}b_{1}-a_ {2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+ a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\\&+\,(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{ 3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_ {4}b_{1})^{2}.\end{aligned}}

Denne identitet gælder for elementer i enhver kommutativ ring . Men hvis og er reelle tal , så kan identiteten omformuleres i form af kvaternioner , nemlig: modulet af produktet af to kvaternioner er lig med produktet af modulerne af faktorerne: $a_{i}$ $b_{i}$

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

Lignende identiteter

"identitet af en firkant"

a^{2}\cdot b^{2}=(ab)^{2}

betyder, at modulet af produktet af to reelle tal er lig med produktet af modulerne af faktorerne:

|ab|=|a||b|

"identiteten af to firkanter" (den såkaldte identitet af Brahmagupta )

(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1} -a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}

betyder, at modulet af produktet af to komplekse tal er lig med produktet af modulerne af faktorerne:

|ab|=|a||b|

" identiteten af otte kvadrater " betyder, at modulet af produktet af to oktonioner er lig med produktet af modulerne af faktorerne: $|ab|=|a||b|$ .

I alle disse tilfælde er de resulterende funktioner (hvis summen af kvadrater og er lig med produktet af kvadrater af de oprindelige summer) bilineære funktioner af de oprindelige variable.

Der er dog ingen lignende "identitet af seksten firkanter". Men der er en lignende (for 2 N kvadrater, hvor N er et hvilket som helst naturligt tal) væsentligt anderledes form, allerede kun for rationelle funktioner af de oprindelige variable - ifølge A. Pfisters sætning. [en]

Historie

Identiteten blev introduceret af Euler i 1750 - næsten 100 år før fremkomsten af quaternions .

Denne identitet blev brugt af Lagrange i beviset for hans fire kvadrat sum teorem .

Se også

Liste over objekter opkaldt efter Leonhard Euler

Noter

↑ Se for eksempel: V.V. Prasolov. Polynomier arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine Ch.7 (s.23.2)