Isotrop vektor

En isotrop vektor ( nullvektor ) er en ikke-nul vektor af et pseudo-euklidisk vektorrum (over feltet af reelle tal ) eller et enhedsvektorrum (over feltet af komplekse tal ), ortogonalt i forhold til sig selv, eller tilsvarende, med nul længde i betydningen det skalære produkt af det pågældende rum. Navnet isotrop er forbundet med det fysiske begreb isotropi .

Der er ingen sådanne vektorer i euklidiske rum - kun vektorer lig med nul har nul længde. I pseudo-euklidiske rum eksisterer isotrope vektorer og danner en isotrop kegle . Nemlig, en vektor af et vektorrum over et felt af reelle eller komplekse tal med en ikke-degenereret bilineær form givet som et skalarprodukt med signatur er isotropisk, hvis . $\xi \neq 0$ $E$ $F$ $\Phi :E\time E\to F$ $(p,q)$ $\Phi (\xi ,\xi )=0$

Relaterede begreber

En isotrop kegle af et pseudo-euklidisk eller unitært vektorrum er et sæt bestående af alle nullængde vektorer af det givne rum, det vil sige alle isotrope vektorer og en nulvektor.

Et isotropt underrum er et underrum af et pseudo-euklidisk eller enhedsvektorrum, der er helt indeholdt i den isotrope kegle af dette rum, det vil sige, at det udelukkende består af nullængde vektorer. Et underrum er isotropt, hvis og kun hvis to af dets vektorer er ortogonale i forhold til hinanden [1] . Den maksimale dimension af et isotropt underrum af et pseudo-euklidisk singaturrum overstiger ikke [2] . $(p,q)$ $\min(p,q)$

Et degenereret underrum er et underrum af et pseudo-euklidisk eller enhedsvektorrum, hvortil den skalære produktbegrænsning er degenereret. Et underrum er degenereret, hvis og kun hvis det indeholder mindst én isotrop vektor ortogonal i forhold til alle andre vektorer i dette underrum [1] . Det er klart, at ethvert isotropt underrum er degenereret, men det modsatte er ikke sandt.

Eksempler

Det enkleste eksempel er isotrope vektorer og en isotrop kegle i et pseudo-euklidisk signaturrum (2.1). Kvadratet af længden af en vektor er givet ved . En isotrop kegle er en ret cirkulær kegle . Isotrope underrum er lige linjer (generatorer), der ligger på det, degenererede underrum (bortset fra isotrope) er planer, der tangerer en isotrop kegle, det vil sige, at de har nøjagtig en fælles linje med sig. Alle andre planer er enten euklidiske (hvis de skærer en isotrop kegle kun ved dens toppunkt), eller pseudo-euklidiske med signatur (1,1) (hvis de skærer den langs to forskellige linjer) [3] . $\mathbb {R} _{1}^{3}$ $e=(x,y,z)$ ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =x^{2}+y^{2}-z^{2))$ $x^{2}+y^{2}-z^{2}=0$

Det vigtigste eksempel er isotropiske vektorer og en isotrop kegle i Minkowski-rummet, et pseudo-euklidisk signaturrum (1,3), der bruges som en geometrisk fortolkning af rum-tid af speciel relativitet. I dette rum har hver vektor e fire koordinater: , hvor er lysets hastighed , og kvadratet på dens længde er givet af formlen . Den isotrope kegle i Minkowski-rummet kaldes lyskeglen , og de isotrope vektorer kaldes lys eller lyslignende . Vektorer inde i lyskeglen ( ) kaldes tidslignende , og vektorer uden for lyskeglen ( ) kaldes rumlignende . $\mathbb {R} _{1}^{4}$ $e=(ct,x,y,z)$ $c$ ${\displaystyle |e|^{2}=\langle e,e\rangle =(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ $|e|^{2}>0$ $|e|^{2}<0$

Noter

↑ 1 2 Remizov A. O. Om isomorfismer af pseudo-euklidiske rum , Mat. uddannelse, 2018, nr. 2(86), 15–39 (s. 17).
↑ Remizov A. O. Om isomorfismer af pseudo-euklidiske rum , Mat. obrazovanie, 2018, nr. 2(86), 15–39 (s. 27, Lemma 2).
↑ Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, afsnit 7)

Litteratur

Isotropisk vektor -artikel fra Encyclopedia of Mathematics . A.B. Ivanov
B. A. Dubrovin , S. P. Novikov , A. T. Fomenko Moderne geometri: metoder og anvendelser. - 4. udgave. - M. : Redaktionel URSS, 1998. - T. 1. Geometri af overflader, grupper af transformationer og felter. - S. 49-52. - 320 sek. — ISBN 5-901006-02-X .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, - Fizmatlit, Moskva, 2009 (kap. 7, par. 7).
Remizov AO Om isomorfismer af pseudo-euklidiske rum , Mat. uddannelse, 2018, nr. 2(86), 15–39.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet