Enhedsrum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. november 2021; checks kræver 6 redigeringer .

Et enhedsrum er et vektorrum over feltet af komplekse tal med et positivt-bestemt [1] [2] Hermitisk skalarprodukt , en kompleks analog til det euklidiske rum .

Definition

Det hermitiske skalarprodukt i et vektorrum over feltet af komplekse tal er en halvanden-lineær form , der opfylder den yderligere betingelse [3] : $\mathbb {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ hvor er den universelle kvantifier . $\for alle$

Det betyder med andre ord, at funktionen opfylder følgende betingelser [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) linearitet af det skalære produkt i forhold til det første argument:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

og lighederne er gyldige:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(nogle gange tager de i definitionen linearitet i det andet argument i stedet, hvilket ikke er vigtigt, fordi de på grund af betingelsen er ækvivalente) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) skalarproduktets hermitiske egenskab :

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

retfærdig ligestilling

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) positiv bestemthed af det skalære produkt:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

og kun hvornår

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Egenskaber

Over et reelt rum er sesquilinearitetstilstanden ækvivalent med bilinearitet, og Hermitianitet til symmetrier, og det indre produkt bliver en positiv-bestemt bilineær symmetrisk funktion . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\ gange {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
En sesquilineær form er hermitisk hvis og kun hvis [3] , når funktionen for alle vektorer kun tager reelle værdier. $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $x\in {\mathbb L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Forskelle fra det euklidiske rum

Unitære rum har alle egenskaberne for euklidiske rum med undtagelse af fire forskelle: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Cauchy-Bunyakovsky ulighed : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
begrebet en vinkel har ingen indholdsmæssig betydning;
Gram-matrixen for et system af vektorer er hermitisk $\Gamma (f)=f^{T}f$ $f$ $\Gamma =\Gamma ^{*}.$

Litteratur

Gelfand I. M. Forelæsninger om lineær algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Noter

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Lineær algebra og geometri. - S. 126.
↑ A. E. Umnov. Analytisk geometri og lineær algebra. - Moskva: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. - ch. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Lineære rum og kortlægninger. - M., Moscow State University , 1987. - s. 51-52