Skiftende serie

En alternerende serie er en matematisk serie , hvis medlemmer skiftevis påtager sig værdierne af modsatte fortegn, det vil sige:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Leibniz' tegn

Ordlyd

Leibniz-testen er en test for konvergens af en vekslende serie, etableret af Gottfried Leibniz . Udtalelse af teoremet:

Lad en vekslende serie gives

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

for hvilke følgende betingelser er opfyldt:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , startende fra et tal ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Så konvergerer denne serie.

Noter

Serier, der opfylder Leibniz-testen, kaldes Leibniz-serien . Sådanne serier kan konvergere absolut (hvis rækken konvergerer ), eller de kan konvergere betinget (hvis rækken af moduler divergerer). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n))$

Monotonisk henfald er ikke nødvendigt for konvergens af en alternerende serie (mens det er en nødvendig betingelse for konvergens for enhver serie), så selve kriteriet er kun tilstrækkeligt , men ikke nødvendigt (for eksempel konvergerer rækken ). På den anden side er monotont henfald afgørende for at anvende Leibniz-testen; hvis den er fraværende, kan serien divergere, selvom den anden betingelse i Leibniz-testen er opfyldt. Et eksempel på en divergerende alternerende serie med et ikke-monotone fald i termer [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n))))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\dots +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\dots

De fordoblede delsummer af denne serie falder sammen med delsummerne for den harmoniske række og vokser derfor i det uendelige.

Bevis

Overvej to sekvenser af delsummer af serien og . ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n))$ ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1))$

Den første sekvens falder ikke: ved den første betingelse. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Ved samme betingelse øges den anden sekvens ikke: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

Den anden sekvens majoriserer den første, det vil sige for enhver . Virkelig, ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m))$ $m,n\in {\mathbb {N}}$

når vi har:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

når vi har:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Derfor konvergerer de begge som monotone afgrænsede sekvenser.

Det er tilbage at bemærke, at: , så de konvergerer til en fælles grænse , som er summen af den originale serie. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Undervejs viste vi, at for enhver delsum af serien , gælder estimatet . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Eksempel

$\sum _{{n=1}}^{\infty}(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . En række moduler har formen - dette er en harmonisk serie , der divergerer. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Nu bruger vi Leibniz-testen:

interleaving udført
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Derfor, da alle betingelserne er opfyldt, konvergerer rækken (og betinget, da rækken af moduler divergerer).

Et skøn for resten af Leibniz-serien

En konsekvens følger af Leibniz' sætning, som gør det muligt at estimere fejlen ved beregning af den ufuldstændige sum af en serie ( resten af en serie ):

S_{n}=\sum _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Resten af den konvergerende alternerende serie vil være modulo mindre end den første kasserede term: ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n))$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Bevis [2]

Sekvensen er monotont stigende, da udtrykket a er ikke-negativt for ethvert heltal . Sekvensen er monotont aftagende, da udtrykket i parentes er ikke-negativt. Som allerede bevist i selve beviset for Leibniz' sætning, har begge disse sekvenser - og - den samme grænse som So opnået og også Derfor og Så, for enhver , hvad der krævedes for at blive bevist. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\sum \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $jeg.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\venstre({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\højre),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\til +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Skiftende serie

Skiftende rækker kaldes også nogle gange alternerende [3] , men dette udtryk kan også betyde enhver række, der har et uendeligt antal positive og negative led på samme tid.

Se også

Dirichlet -testen er en generalisering af Leibniz-testen

Litteratur

Bronshtein IN , Semendyaev KA Håndbog i matematik . - Ed. 7., stereotypisk. - M . : Statens forlag for teknisk og teoretisk litteratur, 1967. - S. 296.
Vorobyov N. N. Serie teori. - 4. udg. — M .: Nauka, 1979. — 408 s. - (Udvalgte kapitler i højere matematik for ingeniører og studerende fra videregående uddannelsesinstitutioner).
Ivanov G. E. Kapitel 9. Numeriske serier. §3. Serie med vekslende medlemmer // Forelæsninger om matematisk analyse. - M. : MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 s. - 800 eksemplarer. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Noter

↑ Vorobyov, 1979 , s. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Kursus for analytisk geometri og lineær algebra: Proc. for universiteter. - 10. udg., Rev. — M. : FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning bind 2 s. 302

Sekvenser og rækker
Sekvenser	Numerisk rækkefølge Grundlæggende rækkefølge Lineær tilbagevendende sekvens Fibonacci-tal krøllede tal Faktoriel Barker-sekvens de bruijn rækkefølge
Rækker, grundlæggende	Rækkesum Resten af rækken Betinget konvergens Skiftende serie Række multisektion
Talserier ( operationer med talserier )	harmoniske serier Leibniz-serien En række omvendte firkanter En række gensidige primtal Dirichlet række Mercator serien Række Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionelle rækker	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serien Trigonometrisk Fourier-serie trigonometriske serier Wiener-serien
Andre rækketyper	Neumann-serien Puiseux række

Tegn på konvergens af serier
For alle rækker	Nødvendig tilstand Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
For tegn-positive serier	Hovedkriterium Sammenligningstegn Kummer tegn Gauss tegn Cauchys radikale tegn Integreret funktion Tegn af D'Alembert magt tegn logaritmisk tegn Tegn af Raabe Bertrand tegn Tegn på Jamet Tegn på Schlömilch Ermakovs tegn Lobachevskys tegn teleskopskilt Tegn på Sapogov
Til skiftende serier	Leibniz tegn
For rækker af formularen $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tegn Tegn på Dedekind Dubois-Reymond skilt Dirichlet tegn
Til funktionelle serier	Weierstrass skilt
Til Fourier-serien	Dini tegn Tegn på de la Vallée Poussin Jordan tegn Jung tegn Salem tegn Lebesgue tegn Lebesgue-Gergen tegn Tegn af Martsinkevich

Skiftende serie

Leibniz' tegn

Ordlyd

Noter

Bevis

Eksempel

Et skøn for resten af ​​Leibniz-serien

Skiftende serie

Se også

Litteratur

Noter

Et skøn for resten af Leibniz-serien