K3 overflade

En K3-overflade er en forbundet , enkelt forbundet , kompakt kompleks overflade (det vil sige en kompleks manifold af kompleks dimension to), der tillader en intetsteds degenereret holomorf differentialform af grad to. I algebraisk geometri , hvor varianter betragtes over andre felter end komplekse tal , er en K3-flade en algebraisk overflade med et trivielt kanonisk bundt , der ikke tillader algebraiske 1-former. [en]

Quartic i ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$

Et af de enkleste eksempler på K3-overflader er glatte overflader af fjerde grad i et komplekst projektivt rum . For at bevise, at disse overflader opfylder definitionen af en K3-overflade, kræves der dog en vis fortrolighed med teorien om linjebundter.

Nemlig set fra liniebundts synspunkt er homogene gradfunktioner på et projektivt rum sektioner af et liniebundt , den -te grad af et tautologisk bundt . Hvis er et linjebundt, og er dets sektion, er dets nulniveau desuden en glat undermanifold, så bestemmer dens differentiale ved hvert punkt en mapping , hvis kerne er nøjagtigt . Under hensyntagen til glatheden af har vi således en isomorfi af bundter . Denne faktor kaldes det normale bundt ; især ser vi, at det normale bundt til en glat kvarts er isomorf til . $n$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak {O}}(n)$ $n$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L\to X$ $s\in \Gamma (L)$ $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ $ds$ $y\i Y$ $T_{y}X\to L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ ${\displaystyle Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$

På den anden side passer det normale bundt ind i den nøjagtige rækkefølge . Dualisering opnår vi den nøjagtige sekvens , og ved at beregne den højeste eksterne effekt og bruge dens funktionelle egenskaber har vi en isomorfi af linjebundter , eller ved dualitet (denne formel kaldes adjunktionsformlen ). Ved at anvende adjunktionsformlen på tilfældet, når (hvis kanoniske bundt er isomorf i henhold til den nøjagtige Euler-sekvens ), har vi . Især når er en glat hyperoverflade af grad , er dens kanoniske bundt triviel. Til dette følger, at en glat kubisk kurve i planet er en elliptisk kurve , for dette indebærer tilstedeværelsen af en holomorf 2-form, der ikke forsvinder nogen steder på en overflade af grad fire i det projektive rum (generelt følger det af dette at en glat hyperoverflade af grad c er en Calabi-Yau-manifold ). $0\to TY\to TX|_{Y}\to \nu _{Y/X}$ $0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\nogle gange \nu _{Y/X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m))$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $m=2$ $m=3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

Det er tilbage at bevise, at kvartikken simpelthen er forbundet. For at gøre dette skal du overveje en indlejring i et lineært system , med hensyn til hvilke hyperplansektioner skærer nøjagtigt nul niveauer af homogene polynomier af grad fire på billedet (således er vores kvartik en passende hyperplansektion af billedet under en sådan indlejring). Ved Lefschetz hyperplansektionssætning etablerer den en isomorfi af fundamentale grupper , og den grundlæggende gruppe i et komplekst projektivt rum er kendt for at være trivielt. Således er en glat quartic også simpelthen forbundet og er derfor en K3 overflade. ${\mathfrak {O}}(4)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34))$ $Y$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

I det foregående er den eneste grundlæggende egenskab , at bundtet dobbelt til det kanoniske bundt har en sektion, hvis nulniveau er en glat overflade. Enhver tredimensionel Fano tredobbelt har den samme egenskab , f.eks . I dette tilfælde er det antikanoniske bundt begrænset til hver af faktorerne som sit eget antikanoniske bundt, dvs. således at hver antikanonisk divisor skærer hver af disse "koordinatakser" i to punkter. Således vil en sådan K3-overflade have tre involutioner : permutering af skæringspunkterne med den første, anden og tredje faktor. Der er også et lignende par af involutioner på kurven i , som skærer begge faktorer to gange. Er som bekendt biholomorf til quadric i , og en sådan kurve er en elliptisk kurve, der ligger på quadric. Disse to involutioner vil i dette tilfælde generere virkningen af en gruppe , et frit produkt , isomorf i forhold til dihedronets uendelige gruppe . Således er enten banerne for denne handling på den elliptiske kurve tætte, eller også passerer denne handling gennem en endelig faktor (det vil sige en dihedral gruppe af endelig orden), og alle dens baner er endelige. Denne erklæring har en inkarnation i elementær geometri kendt som Poncelet-porismen . I tilfælde af en K3-overflade giver tre involutioner anledning til et meget mere kompliceret trippelfrit produkt , hvilket er interessant ud fra et holomorfisk synspunkt . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3))$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Ricci-flade metriske og Kummer K3 overflader

Alle K3 overflader er Kählerian (dette blev bevist af Sioux ). Da de har en holomorf form af højeste grad, der ikke forsvinder nogen steder, gælder Calabi-Yau-sætningen for dem , det vil sige, for hver klasse repræsenteret som en symplektisk form af Kähler-metrikken , er der en metrik med nul Ricci-krumning i denne klasse . Samtidig kan denne metrik ikke skrives eksplicit: Calabi-Yau-sætningen er kun en eksistenssætning , men på ingen måde en eksplicit konstruktion. $[\omega _{g}]$ $g$

Det eneste tilfælde, hvor der i det mindste er nogen tilnærmelse, er tilfældet med de såkaldte Kummer-overflader. Lade være en kompleks torus, det vil sige en faktor , hvor er et gitter af rang fire. Overvej kvotientvarianten . Den standard holomorfe 2-form på (faldende fra ) er invariant under multiplikation med , så den falder ned til et ikke-singular locus i faktoren. Singulariteterne har formen ; opblæsningen i en sådan singularitet er lokalt det cotangensbundt til , og den standard holomorfe 2-form kan udvides til en sådan opblæsning. Singulariteter er præcis 2-torsionspunkter på en firedimensionel torus, der er nogle få af dem. Så hvis man sprænger disse kvadratiske singulariteter, kan man opnå en overflade med en triviel kanonisk klasse. Det er let at se, at det simpelthen hænger sammen. En sådan K3 overflade kaldes en Kummer K3 overflade forbundet med en kompleks torus . I modsætning til de foregående eksempler kan en sådan overflade ikke længere være indlejret i et projektivt rum, hvis den oprindelige torus ikke var projektiv . $EN$ $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$ $\lambda$ $A/\{x\sim -x\}$ $dz\wedge dw$ $EN$ $\mathbb {C} ^{2}$ $-en$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ ${\displaystyle A/\{\pm 1\))$ $2^{4}=16$ $16$ $EN$ $EN$

Den Ricci-flade metrik på det totale rum af det holomorfe cotangensbundt k er ret velkendt: det er Calabi-Eguchi-Hanson-metrikken. Det svære analytiske spørgsmål er, hvordan man limer det med en flad metrik på den glatte del af torusfaktoren, når nye rationelle kurver blæses ind. For at gøre dette skal begge metrics ændres globalt. Dette spørgsmål blev undersøgt af Donaldson . [2] I sin optik beskæftiger han sig med spørgsmål om konstruktioner af manifolder med speciel holonomi (såsom G2-manifolds ), der i modsætning til K3-flader ikke har en algebraisk-geometrisk beskrivelse. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

Topologi af K3 overflader

Topologien af Kummer K3 overflader er særlig klar. Så hendes andet Betty-tal er lig med : kommer fra den originale firedimensionelle torus og - fra seksten blæste kurver. Derfor er deres Euler-karakteristik lig med . $b_{2}$ $6+16=22$ $6$ $16$ $1+22+1=24$

Det viser sig, at det samme gælder for enhver anden K3-overflade: alle K3-overflader er diffeomorfe. Desuden er de det, der kaldes deformationsækvivalenter : alle to komplekse strukturer af en K3-overflade kan forbindes med en kontinuerlig bane i rummet af alle komplekse strukturer. Gitteret med dets oprindelige skæringsform er isomorft til , hvor er et E8-gitter og er et standard hyperbolsk gitter. Især signaturen af det andet kohomologigitter er . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3))$ $E_8$ $U$ $(3,19)$

Da alle K3-flader er Kählerian, giver det mening at tale om deres Hodge-tal : for alle K3-overflader er de lig , . Herfra er det let at udlede påstanden om signaturen ved hjælp af Hodge-indekssætningen . $h^{2,0}=h^{0,2}=1$ $h^{1,1}=20$

Elliptiske K3 overflader

Geometrien af K3 overflader, hvorpå der er en elliptisk kurve , er ret bemærkelsesværdig . Nemlig, lad være en K3-flade og lad være en elliptisk kurve. Fra adjunktionsformlen (se ovenfor) ved vi, at . Men det kanoniske bundt for både en K3 overflade og en elliptisk kurve er trivielt. Derfor er det normale bundt af en elliptisk kurve også trivielt. Det betyder, at en elliptisk kurve på en K3-overflade tillader en familie af deformationer, der ikke skærer denne kurve (og hinanden). Disse deformationer (inklusive degenererede) vil blive parametriseret af en rationel kurve , dvs. en elliptisk kurve på K3-overfladen definerer en kortlægning , hvis fibre er og dens deformationer. Denne familie kaldes Lefschetz- skjoldet eller elliptisk bundt . En sådan K3 overflade kaldes i sig selv en elliptisk K3 overflade . $x$ $E\delsæt X$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\delsæt X$ $X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $E$

Et elliptisk bundt på en K3-overflade har altid singulære fibre (fordi Euler-karakteristikken for en K3-overflade er , mens den for en elliptisk kurve er nul). Hvis alle lag er så enkle som muligt - det vil sige kun kartesiske ark med Euler-karakteristik , så skal der være specielle lag (generelt set vil der være færre af dem). På bunden uden for punkterne, over hvilke bladene er ental, er der en flad forbindelse , kaldet Liouville-Arnold-forbindelsen . Monodromien i en sådan forbindelse ligger i gruppen . Betragt gruppen opnået som et forbillede i den universelle dækning . Dette er en central tilbygning med . Betegn generatoren for denne cykliske undergruppe som . Det viser sig, at der er en homomorfi sådan, at . En analog af Gauss-Bonnet-sætningen , bevist af Kontsevich og Soibelman , siger, at hvis der er en flad forbindelse med monodromi på en overflade med punkteringer , så gælder ligheden , hvor er monodromi omkring punkteringen . Især hvis alle er lig med én, får vi alle de samme fireogtyve punkteringer. [3] $24$ $en$ $24$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $u$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\to \mathbb {Z}$ $i(u)=12$ $S$ $n$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ $i(\gamma _{k})$

Torellis sætning

Hvis der er en holomorf familie af K3-overflader over enhedsskiven, så trivialiseres bundtet af deres anden kohomologi af Gauss-Manin-forbindelsen . Men som en variation af Hodge-strukturerne vil det ikke længere være trivielt (hvis familien i sig selv ikke var triviel).

En Hodge-struktur af typen på den anden kohomologi K3 er entydigt bestemt af linjen genereret af klassen af den holomorfe 2-form . Da der er en volumenform af en Ricci-flad metrik, multipliceres a med sig selv med nul, denne linje er isotrop i forhold til skæringsformen. Den kan således kun ligge på en eller anden glat quadric i . Tilstanden fremhæver nogle åbne undergrupper på denne quadric. Det kan beskrives som et homogent rum som følger . $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega ))$ $\Omega \wedge \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$

Lad os overveje et todimensionelt rum . Det er invariant under kompleks konjugation og er derfor en kompleksificering af et todimensionelt reelt underrum . Vi definerer en reel operator på den som multiplikation med langs og med langs . På det virkelige plan fungerer denne operatør som en rotation på og definerer dermed en orientering. Det følger af forholdet , at skæringsformen på dette plan er positiv bestemt. Omvendt, hvis der er et sådant plan, så er der præcis to isotrope linjer i kompleksificeringen, og at vælge kun en af dem giver den nødvendige orientering. Således er den påkrævede åbne delmængde i den kvadriske den samme som sættet af orienterede todimensionelle planer med et positivt-defineret skalarprodukt i signaturrummet . Isometrigruppen i et sådant rum virker transitivt på sådanne planer med en stabilisator . Så denne faktor kaldes perioderum . Dette, som det kan ses af beskrivelsen som en åben delmængde i den kvadriske, er en kompleks manifold (det samme kan ses fra den virkelige beskrivelse, der identificerer det orienterede todimensionelle plan med Argand-planet , det vil sige simpelthen ved kompleks tal - ækvivalensen af disse beskrivelser er en nem øvelse). Tilknyttet hver familie af K3-overflader over en disk er et holomorfisk kort fra disken til dette perioderum, kaldet periodekortet . Torellis lokale teorem siger, at en familie af K3-overflader over en lille skive kan gendannes unikt fra dens periodekort. $\mathrm {span} \{[\Omega ],[{\bar {\Omega }}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega }\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$ $[\Omega ]$ $-{\sqrt {-1))$ $[{\bar {\Omega ))]$ ${\displaystyle U_{\Omega ))$ $90^{\cirkel }$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ $(3,19)$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\ gange \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3.19)}{\mathrm {SO} (2)\ gange \mathrm {SO} (1.19)))$

Hvis vi kun vil betragte algebraiske K3-overflader, så er det rimeligt at fastsætte hyperplansektionsklassen , som også er klassen for Kähler-formen (K3-overflader med en fast hyperplansektionsklasse kaldes polariseret ). Siden har vi en yderligere begrænsning: . Da betyder det, at det i dette tilfælde kun kan tage værdier i en delmængde af perioder arrangeret som . Det er en faktor af en gruppe af en maksimal kompakt undergruppe, og ved Cartans sætning er det biholomorf til et eller andet afgrænset domæne i et komplekst rum (i dette tilfælde ). Dette domæne ligner Siegel-domænet , og for slægt to er nært beslægtet med det: kortlægning af en Abelsk overflade til dens Kummer K3-overflade giver en kortlægning af slægt to Siegel-domæne til periodedomænet. Modulære former på dette domæne giver en interessant forbindelse mellem klassisk talteori og algebraisk geometri. $[\omega ]\in H^{1,1}$ $\Omega \wedge \omega =0$ ${\displaystyle [\Omega ]\i [\omega ]^{\perp ))$ $\omega \wedge \omega >0$ $[\Omega ]$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\ gange \mathrm {SO} (19)))$ $\mathbb {C} ^{1}9$

Samtidig er den gitterbevarende ortogonale gruppes indvirkning på periodernes rum meget langt fra, at faktoren ved denne handling har i det mindste en vis geometrisk betydning. Således er billedet af Siegel-domænet i ovenstående sammenligning en analytisk undermanifold af stor kodimension, men i dette tilfælde kan enhver algebraisk K3-overflade omdannes til en Kummer K3-overflade ved en vilkårligt lille deformation - det vil sige skift af dette billede danner under påvirkning af gitteret et overalt tæt sæt. For at formulere en global påstand er det derfor mere rimeligt ikke at tale om en isomorfi af faktorer, men om en holomorf kortlægning, der pendler med virkningen af en ortogonal heltalsgruppe. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Overvej nemlig sættet af alle komplekse strukturer af Kähler-typen på en K3-overflade. Dens faktor ved virkningen af den forbundne komponent af diffeomorfismegruppen er en jævn kompleks manifold, selvom den er ikke-Hausdorff (for kurver viser den analoge faktor sig at være Hausdorff og er velkendt som Teichmüller-rummet ). Så er kortet, der identificerer punkter, der ikke er adskilt fra hinanden af ikke-skærende kvarterer, veldefineret, og kvotienten af det er en jævn kompleks manifold kortlagt af et kort over perioder på periodens rum, og desuden er det biholomorf. Dette udsagn er den globale Torelli-sætning.

Degenerationer af K3 overflader

Overvej tilfældet med en holomorf familie over en skive, hvor alle fibre, bortset fra den centrale, er K3-overflader, og den centrale er en speciel divisor med normale skæringspunkter, hvis komponenter er glatte overflader med multiplicitet en, og hele rummet er glat. Sådan en familie kaldes en god degeneration . Et lignende spørgsmål for elliptiske kurver (se ovenfor) blev undersøgt af Kodaira : han viste, at minimale (dvs. ikke -blow-off ) degenerationer af elliptiske kurver har et trivielt kanonisk bundt, og gav en klassifikation af sådanne degenerationer (mere eller mindre i termer). af Dynkin-diagrammer ). I tilfælde af overfladedegenerationer er der udover opblæsningen af det centrale lag også såkaldte modifikationer - ikke-trivielle birationelle transformationer af det samlede rum, der bevarer lag og er biregulære på hvert glat lag. Vic. Kulikov beviste, at det samlede rum med minimal god degeneration af K3-overflader efter en vis modifikation også har et trivielt kanonisk bundt, og at degeneration kan reduceres ved en omarrangering til et af tre tilfælde:

det centrale lag er en glat K3 overflade,
det centrale lag er foreningen af glatte overflader , desuden skærer overfladen kun med overflader , alle skæringspunkter er elliptiske kurver, overflader og er rationelle, og overflader er regerede elliptiske overflader, ${\displaystyle V_{1}\kop V_{2}\kop \dots \kop V_{n-1}\kop V_{n))$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\dots V_{n-1}$
den centrale fiber er foreningen af rationelle overflader, der skærer langs rationelle kurver; et kompleks, hvis hjørner er de irreducerbare komponenter i det centrale lag, kanterne er de kurver, langs hvilke de skærer hinanden, og fladerne er de punkter, hvor disse kurver konvergerer, er en triangulering af en todimensionel kugle.

Et eksempel på type II degeneration ifølge Kulikov er degenerationen af en glat kvartik til en forening af to kvadrikker (deres skæringspunkt er en elliptisk kurve), og degenerationer af type III er degenerationen af en glat kvartik til en forening af fire planer ( det vil sige overfladen af et tetraeder - hvis hjørnerne af dette tetraeder er reelle, vil den nævnte triangulering være dobbelt i forhold til den, der er givet af dette tetraeder).

Degenerationer af Ricci-flade metrikker på K3 overflader

Degeneration af K3 overflader kan behandles på forskellige måder. Ud over det ovenfor beskrevne algebraisk-geometriske perspektiv kan de ses fra differentialgeometriens synspunkt. Nemlig, vi fikserer en kompleks struktur på K3-overfladen og betragter Kähler-keglen , det vil sige keglen af klasser sådan, at for nogle Kähler metriske . Dette er en åben kegle, der ligger i keglen af klasser med og for enhver kurve . Takket være Calabi-Yau-sætningen svarer hvert punkt på denne kegle til en enkelt Ricci-flad metrik. Og hvad vil der ske med denne metrik, hvis vi leder keglens spids til dens grænse? $jeg$ $x$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$ $[\omega ]$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $g$ $\alpha \wedge \alpha >0$ $\int _{C}\alpha >0$ $C\subset X$

Svaret afhænger naturligvis af det punkt på grænsen, som vi leder det til. For eksempel, hvis er en Kummer K3-overflade, og er en -form, der stiger fra formen på den abelske overflade, som den er forbundet med, så er klassen numerisk effektiv (det vil sige, ligger i lukningen af Kähler-keglen), og (sådanne klasser kaldes volumenklasser ). Samtidig er det ikke Kählerian, da vi har , hvor er nogen af de seksten exceptionelle kurver. I dette tilfælde er grænsen for metrikker veldefineret (i betydningen af Gromov-Hausdorff-grænsen , afhænger ikke af stien i Kähler-keglen og konvergerer til den metriske udfyldelse af en eller anden ufuldstændig Ricci-flad Kähler-metrik defineret uden for seksten exceptionelle kurver Et generelt resultat af denne art (for vilkårlige manifolder Calabi-Yau) blev bevist af Tosatti , Zhang et al., men for Kummer blev K3 overflader opnået af Lebrun [ 4] $x$ $\alfa$ $(1.1)$ $[\alpha]$ $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ $\alpha |_{C}=0$ $C$

Hvis klassen samtidig ikke er omfangsrig, så sker degenerationen anderledes, og den s.k. kollaps - det begrænsende rum har en lavere dimension i en vis forstand. For eksempel, hvis er en elliptisk K3-overflade og er det omvendte billede af Fubini-Study-klassen fra bunden af den elliptiske blyant, så . Den begrænsende adfærd af Ricci-flade metrikker i en sådan situation blev undersøgt af Gross og Wilson. $\alfa$ $x$ $\alfa$ $\alpha \wedge \alpha =0$

Dynamiske egenskaber af K3 overflader

K3 overflader indrømmer ofte automorfier, hvis dynamik er kaotisk (for eksempel i den forstand, at deres topologiske entropi er positiv, og der er en egenklasse i med egenværdi større end ). For eksempel har en automorfi opnået på en Kummer-overflade forbundet med en torus denne egenskab ved at løfte Arnold - automorfien " okroshka fra en kat " defineret af matrixen . Målingen af maksimal entropi i dette tilfælde er absolut kontinuerlig i forhold til Lebesgue-målet; Kanta og DuPont beviste, at i det algebraiske tilfælde er alle K3-overflader med en automorfi af denne egenskab Kummer (senere udvidede Tosatti og Philip denne påstand til ikke-algebraiske K3-overflader; dette resultat blev brugt af dem til at konstruere klasser på grænsen af en Kähler kegle, konvergensen af Ricci-flade metrikker, når man stræber efter, som den har patologiske egenskaber). $H^{1,1}$ $en$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1))\mathbb {Z} \}^{2))$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

Den holomorfe dynamik af tre-involution overfladen beskrevet ovenfor blev studeret af Barry Mazur .

Ved hjælp af Torellis sætning konstruerede McMullen automorfier af K3-overflader, der tillader Siegel-skiver - det vil sige åbne domæner bevaret af automorfi og biholomorfe til produktet af to skiver, hvorpå automorfien virker konjugeret til en rotation , hvor er tal, der ikke er rødder af enhed . $(z,w)\mapsto (az,bw)$ $|a|=|b|=1$

Historie

De første eksempler på K3-overflader blev undersøgt af Euler i færd med at løse nogle diofantiske ligninger (hans ideer blev senere udviklet af Ramanujan ). Den geometriske tilgang til K3-overflader blev fastlagt meget senere i arbejdet af Cayley , Kummer og Henriquez .

Navnet "K3-overflade" blev foreslået i 1958 af André Weil (efter Kummer, Köhler og Kodaira ). Han forsøgte også at bevise Torellis teorem for algebraiske K3-overflader. Noget senere beviste Kodaira, at alle K3-overflader, inklusive ikke-algebraiske, er deformationsækvivalente (især diffeomorfe). Han klassificerede også de enestående fibre af elliptiske K3-overflader.

Den lokale Torelli-sætning for algebraiske K3-overflader blev bevist i 1965 af Tyurina , og den globale af Pyatetsky-Shapiro og Shafarevich i 1971. Torellis globale teorem blev udvidet til ikke-algebraiske K3-overflader af Burns og Rapoport i 1975. I 1977 klassificerede Viktor Kulikov [5] degenerationer af K3-overflader og beskrev K3-overflader med endelige automorfigrupper Nikulin [6] .

Noter

↑ Enhver algebraisk kompleks K3-flade er en K3-flade i betydningen af den differentialgeometriske definition; det modsatte er ikke sandt generelt.
↑ S. K. Donaldson. Calabi-Yau-metrik på Kummer-overflader som et modellimningsproblem , 27. juli 2010
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Affine strukturer og ikke-arkimediske analytiske rum , indsendt den 28. juni 2004
↑ Valentino Tosati. Kollapsende Calabi-Yau-manifolder , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, Degenerationer af K3 overflader og Enriques overflader , Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008-1042
↑ V. V. Nikulin, Finite automorphism-grupper af Kähler-overflader af type K3 , Tr. MMO, 38, Moscow Publishing House. un-ta, M., 1979, 75-137