Gitter E8

E 8 -gitteret eller Korkin-Zolotarev- gitteret er rodgitteret til E 8 -gruppen . Den implementerer i dimension 8:

Maksimalt muligt kontaktnummer ;
Den tætteste pakning af bolde .

Sædvanligvis betegnet såvel som gruppen E 8 . $E_8$

Historie

Eksistensen af dette gitter blev bevist af i 1867 [ 1Den første eksplicitte konstruktion blev givet af Korkin og Zolotarev i 1873 [2] .

Beskrivelse

Gitter E 8 kan implementeres som en diskret undergruppe af vektorer med følgende sæt egenskaber: ${\mathbb {R}}^{8}$

alle koordinater for ethvert punkt er enten heltal eller halve heltal (det vil sige et og et halvt heltal);
summen af alle otte koordinater er et lige heltal .

Med andre ord,

E_{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2)))^ {8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

Det er let at kontrollere, at summen og forskellen af to vektorer fra E 8 er indeholdt i E 8 , derfor er E 8 en undergruppe af . ${\mathbb {R}}^{8}$

Gitteret E 8 kan også realiseres som mængden af alle punkter i E' 8 , således at ${\mathbb {R}}^{8}$

alle koordinater er heltal med en lige sum, eller
alle koordinater er halve heltal med en ulige sum.

Med andre ord

E_{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}) ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5 }\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.

eller

E_{8}'={\biggl \{}(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:({\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\ equiv 0({\mbox{mod }}2){\biggr \}}\cup {\biggl \{}(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2} })^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2){\biggr \}}.

Gitterne E 8 og E' 8 er isomorfe , det ene kan fås fra det andet ved at ændre fortegnet for en af koordinaterne.

Egenskaber

Karakterisering

Gitteret E 8 kan karakteriseres som det eneste gitter, der opfylder følgende egenskaber: ${\mathbb {R}}^{8}$

Dette er et unimodulært gitter , dvs
- dens basis kan bruges til at danne en matrix med determinant ±1. $8\ gange 8$
- Med andre ord er volumenet af det fundamentale område af dette gitter 1.
- Tilsvarende er E 8 selv -dual , det vil sige, at det er det samme som dets gensidige gitter .
Dette gitter er lige, det vil sige, at normen for enhver af dens vektorer er et lige heltal.

Selv unimodulære gitter eksisterer kun i dimensioner, der er delelige med 8. Der er to sådanne gitter i dimension 16: E 8 ⊕ E 8 og D 16 + (sidstnævnte er konstrueret på samme måde som E 8 i dimension 16). Der er 24 sådanne gitter i dimension 24, hvoraf det vigtigste er Leach-gitteret .

Basis

En af de mulige baser for E 8 er givet af søjlerne i den følgende øvre trekantede matrix

\left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\&0&0&1/2\\\&0&0&1/2&0 \\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{smallmatrix}}\right].

Det vil sige, at E 8 består af alle heltal lineære kombinationer af søjler. Alle andre baser fås fra én ved højre multiplikation med en matrix fra GL(8, Z ).

Minimumssats

Den korteste ikke-nul vektor E 8 har norm 2, gitteret indeholder 240 sådanne vektorer i alt. Disse vektorer danner rodsystemet i E 8 - gruppen . Det vil sige, at gitteret E8 er rodgitteret E8 . Ethvert valg af 8 simple rødder giver grundlaget E 8 .

Grundlæggende område

Områderne af Voronoi- gitteret E 8 er 5 21 celler .

Symmetrigruppe

Symmetrigruppen af et gitter i Rn er defineret som en undergruppe af den ortogonale gruppe O( n ) , der bevarer gitteret. Symmetrigruppen af E 8 gitteret genereret af refleksioner i hyperplaner vinkelret på gitterets 240 rødder. Dens rækkefølge er

|W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!.

Denne gruppe indeholder en undergruppe af orden 128 8!, bestående af alle permutationer af koordinater og et lige antal fortegnsændringer. Den fulde symmetrigruppe genereres af denne undergruppe og den blokdiagonale matrix H 4 ⊕ H 4 , hvor H 4 er Hadamard-matricen

H_{4}={\tfrac {1}{2}}\venstre[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\ \\end{smallmatrix}}\right].

Ballonpakning

Problemet med at pakke kugler spørger, hvordan man pakker kugler med en fast radius på den mest tætte måde i et rum uden overlapninger. I R 8 giver placeringen af kugler med radius ved punkterne af gitteret E 8 en pakning med maksimal tæthed lig med $1/\sqrt{2}$

{\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0,25367.

At denne tæthed er maksimal for gitterpakninger har været kendt i lang tid [3] . Derudover var det kendt, at et sådant gitter er unikt op til lighed [4] . Marina Vyazovskaya beviste for nylig, at denne pakning er optimal selv blandt alle pakninger [5] [6] .

Løsningen på kuglepakningsproblemet kendes kun i dimensionerne 1, 2, 3, 8 og 24. At løsningerne kendes i dimensionerne 8 og 24 skyldes de særlige egenskaber ved gitteret E 8 og dets 24-dimensionelle analog af Leech gitteret .

Kontaktnummer

Kontaktnummerproblemet spørger, hvad der er det maksimale antal kugler med en fast radius, der kan røre den centrale kugle med samme radius. I dimension 8 er svaret 240; en sådan konfiguration kan opnås ved at placere kuglerne ved punkterne af gitteret E 8 med minimumsnormen. Dette blev bevist i 1979 [7] [8] .

Løsningen på kontaktnummerproblemet kendes kun i dimensionerne 1, 2, 3, 4, 8 og 24. At løsninger kendes i dimensionerne 8 og 24 hænger også sammen med E 8 -gitterets særlige egenskaber og dets særlige egenskaber. 24-dimensionel analog af Leach gitteret .

Theta funktion

Theta-funktionen af gitteret Λ er defineret som summen

\Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau>0.

Det er en holomorf funktion på det øverste halvplan. Desuden er theta-funktionen af et jævnt unimodulært gitter af rang n en modulær form med vægt n /2.

Op til normalisering er der kun én modulær form for vægt 4: Eisenstein-serien G 4 (τ). Det vil sige, at theta-funktionen af gitteret E 8 skal være proportional med G 4 (τ). Dette giver

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}

hvor σ 3 ( n ) er en funktion af divisorer og . ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau ))$

Det følger heraf, at antallet af vektorer af norm 2 n i gitteret E 8 er lig med (summen af terninger af divisorer n ). Dette er sekvensen A004009 i OEIS : $240\cdot$

\Theta _{E_{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q ^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).

Theta-funktionen af gitteret E 8 kan skrives i form af Jacobi theta-funktionerne som følger:

\Theta _{E_{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3} (q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)

hvor

\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2)))^{2}}\ qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _ {n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.

Hamming kode

Hamming-koden H (8,4) er en binær kode med længde 8 og rang 4; det vil sige, at det er et 4-dimensionelt underrum af vektorrummet af finite ( F 2 ) 8 . At skrive elementerne ( F 2 ) 8 som 8-bit heltal i den hexadecimale kode H (8,4) kan udtrykkeligt skrives som

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

Koden H (8,4) er en selv-dual type II-kode. Den har en minimum Hamming-vægt på 4; dette betyder, at to kodeord adskiller sig med mindst 4 bit. For binære koder af 4. rang af længde 8 er dette maksimum.

Givet en binær kode C med længden n , kan man konstruere et gitter Λ ved at tage sættet af alle vektorer således, at det falder sammen (modulo 2) med kodeordene fra C; det er ofte praktisk at skalere Λ med en faktor på 1/ √2, $x\in \mathbb {Z} ^{n}$ $x$

\Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\venstre\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\ i C\right\}.

Anvendelse af denne konstruktion på en selv-dual type II-kode giver et jævnt, unimodulært gitter. Især for Hamming-koden H(8,4) får vi gitteret E 8 .

Problemet med at finde en eksplicit isomorfi mellem det resulterende gitter og gitteret E8 defineret ovenfor er ikke fuldstændig trivielt.

Heltals oktonioner

Gitteret E 8 bruges i definitionen af heltals oktonioner på samme måde som heltals kvaternioner .

Heltals oktonioner danner naturligt et gitter i O. Dette gitter ligner gitteret E 8 med koefficienten . (Minimumsnormen i heltalsoktonioner er 1, ikke 2). $1/\sqrt{2}$

Heltals oktonioner danner en ikke-associativ ring.

Ansøgninger

I 1982 konstruerede Friedman en topologisk fire-manifold , kaldet E 8 - manifolden , hvis skæringsform er givet af gitteret E 8 . Denne manifold er et eksempel på en topologisk manifold, der ikke tillader en glat struktur og ikke engang er trianguleret.
I strengteori er en heterotisk streng en slags hybrid af 26-dimensionelle bosoniske strenge og 10-dimensionelle superstrenge . For at teorien fungerer korrekt, skal de 16 ekstra dimensioner komprimeres af et jævnt unimodulært gitter af rang 16. Der er to sådanne gitter: E 8 ⊕E 8 og D 16 + (konstrueret på samme måde som E 8 ). Dette fører til to versioner af heterotiske strenge kendt som E 8 × E 8 og SO(32).

Se også

Noter

↑ Smith, HJS Om rækkefølgen og slægterne af kvadratiske former, der indeholder mere end tre ubestemte // Proceedings of the Royal Society : journal . - 1867. - Bd. 16 . - S. 197-208 . - doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
↑ Korkine, A.; Zolotareff, G. Sur les former quadratique positives (fransk) // Mathematische Annalen . - 1877. - Bd. 6 . - s. 366-389 . - doi : 10.1007/BF01442795 .
↑ Blichfeldt, HF Minimumværdierne af positive kvadratiske former i seks, syv og otte variable // Mathematische Zeitschrift : journal. - 1935. - Bd. 39 . - S. 1-15 . - doi : 10.1007/BF01201341 .
↑ Vetcinkin, NM (1980). "Unikhed af klasser af positive kvadratiske former, på hvilke værdier af Hermite-konstanten opnås for 6 ≤ n ≤ 8". Geometri af positive kvadratiske former . 152 . Trudy Math. Inst. Steklov. pp. 34-86.
↑ Klarreich, Erica (30. marts 2016), Sphere Packing Solved in Higher Dimensions , Quanta Magazine , < https://www.quantamagazine.org/20160330-sphere-packing-solved-in-higher-dimensions > Arkiveret den 12. marts 2017 på Wayback Machine
↑ Viazovska, Maryna (2016), Kuglepakningsproblemet i dimension 8, arΧiv : 1603.04246 .
↑ Levenshtein, VI Om grænserne for pakning i n -dimensionelt euklidisk rum // Soviet Mathematics Doklady : journal . - 1979. - Bd. 20 . - S. 417-421 .
↑ Odlyzko, A.M.; Sloane, NJA Nye grænser for antallet af enhedssfærer, der kan røre en enhedskugle i n dimensioner // Journal of Combinatorial Theory : journal. - 1979. - Bd. A26 . - S. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .

Litteratur

Conway, J. Quadratic Forms Given To Us in Sensations . - M. : MTsNMO, 2008. - 144 s. - 1000 eksemplarer. - ISBN 978-5-94057-268-8 .
John Horton Conway Sloane, Neil JAKuglepakninger ,gitter og grupper . — 3. - New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 0-387-98585-9 .
John Horton Conway Smith, Derek A. OmQuaternions and Octonions . - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 . Kapitel 9 diskuterer heltals oktinioner og gitteret E8.