Eksistenssætning

Et eksistenssætning er et udsagn, der fastslår, under hvilke betingelser en løsning på et matematisk problem eller et matematisk objekt eksisterer, for eksempel en afledt, et ubestemt integral, et bestemt integral, en løsning til en ligning osv. Når man beviser eksistenssætninger, information fra mængdelære anvendes . Eksistenssætninger spiller en meget vigtig rolle i forskellige anvendelser af matematik, for eksempel i den matematiske modellering af forskellige fænomener og processer. Den matematiske model er ikke tilstrækkelig til det specifikke beskrevne fænomen, eksistensen af det tilsvarende matematiske problem følger ikke af eksistensen af en løsning på et reelt problem. Eksistensbevissætningerne er nødvendige, før man løser forskellige matematiske problemer, såsom at beregne et integral eller integrere en differentialligning. Eksistenssætninger giver dig mulighed for at bestemme, om integralet, der beregnes, eksisterer, og hvor mange løsninger en differentialligning har . Hvis det er muligt at bevise eksistenssætningen, det unikke i løsningen og rigtigheden af selve problemformuleringen, så betyder det et meget vigtigt første skridt i løsningen af problemet.

Eksempler

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at funktionen kan integreres: For at integralsummen kan konvergere til grænsen ved , kræves det, at summen af alle intervaller, hvor udsvinget er større end , for enhver med et passende valg , kan . gøres vilkårligt lille. $s$ $\Delta x_{{max}}\højrepil 0$ $\sigma$ $\sigma$ $d$
Weierstrass' Bounded Increasing Sequence Theorem .
En eksistenssætning for transcendentale tal , som er bevist ud fra overvejelser om en mængdes kardinalitet .
Brouwers fikspunktssætning .
En eksistenssætning til en løsning på Cauchy-problemet (især Peanos sætning ).
Kinesisk restsætning .
Sætning om diofantiske tilnærmelser af irrationelle tal (f.eks. Dirichlets sætning om diofantiske tilnærmelser ).
Dirichlets sætning om primtal i aritmetisk progression .
Picards sætning (integralligninger) .

Konstruktivitet af eksistenssætninger

For eksistenssætninger overvejes ofte spørgsmålet om deres konstruerbarhed eller effektiviteten af at konstruere det objekt, hvis eksistens bliver bevist. En sætning, hvor et objekt er konstrueret eksplicit, anses for mere meningsfuldt end et såkaldt sætning, der hævder eksistensen af et eller andet objekt, men slet ikke siger, hvordan det skal konstrueres. Sætninger af den første type kaldes konstruktive eksistenssætninger, sætninger af den anden type kaldes rene eksistenssætninger. Konstruktive eksistenssætninger er normalt sværere at bevise end de tilsvarende rene eksistenssætninger, eller de eksisterer måske simpelthen ikke på et tidspunkt i matematikkens udvikling.

I intuitionismen er eksistenssætninger formuleret i en svagere formulering.

Litteratur

L. S. Freiman Existence theorems, M., Nauka, 1971, 133 s., vol. 22000 eksemplarer
L. D. Kudryavtsev Tanker om moderne matematik og dens undersøgelse, M., Nauka, 1977, 108 s., skydegalleri. 100.000 eksemplarer
Alexandrov P. S. , Kolmogorov A. N. Introduktion til teorien om funktioner af en reel variabel.
Petrovsky IG Forelæsninger om teorien om almindelige differentialligninger.
Petrovsky IG Forelæsninger om partielle differentialligninger.
Courant R. , Hilbert D. Metoder for matematisk fysik
Smirnov V.I. Kursus i højere matematik.
Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning.