Oppustethed

Blow-up [1] [2] [3] (kaldet Tyurins sigma-proces [4] og Manins monoide transformation [5] ) er en operation i algebraisk geometri . I det enkleste tilfælde, groft sagt, består det i at erstatte et punkt med sættet af alle linjer, der går igennem det.

Oppustning af et fly ved et punkt

Lad være det projektive plan og lad være det dobbelte projektive plan, hvis punkter svarer til linjerne i det oprindelige plan. Punkterne i det kartesiske produkt er par , hvor er et punkt i planet, a er en linje i samme plan. Betingelsen at et punkt ligger på en linje beskrives i koordinattermer som forsvinden af en lineær form på en vektor, således at mængden er en algebraisk variant . Desuden, da produktet af projektive rum er indlejret i et projektivt rum af tilstrækkelig stor dimension ved hjælp af Segre-indlejringen , er det også en projektiv variant. Det kaldes forekomstmanifolden . Lad os betegne det som . Vi fikser et punkt , betragter manifolden og dens skæring med incidensmanifolden. Overvej projektionsbegrænsningen på dette kryds. Hvis punktet er forskelligt fra punktet , så består projektionslaget over det af et enkelt punkt , hvor er linjen, der går gennem punkterne og . På den anden side består laget over selve punktet af alle de linjer, der går igennem det. Manifolden betegnes og kaldes flyets opblæsning ved punktet . Dette sprængning adskiller sig således fra et plan ved, at et af punkterne i det er erstattet af en lige linje. I det tilfælde, hvor det projektive plan er defineret over feltet af komplekse tal , er den projektive linje en Riemann-kugle , som forklarer navnet. Den indsatte linje kaldes den exceptionelle kurve og betegnes traditionelt . Den adskiller sig fra almindelige lige linjer ved, at den ikke tillader analytiske deformationer. $\mathrm {P} ^{2}$ ${\displaystyle {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ ${\displaystyle \mathrm {P} ^{2}\ gange {\check {\mathrm {P} ^{2))))$ $(x,\ell )$ $x$ $\ell$ $x\in \ell$ $\left\{(x,\ell )\colon x\in \ell \right\}\subset \mathrm {P} ^{2}\times {\check {\mathrm {P} ^{2} }}$ $jeg$ $x_{0}\in \mathrm {P} ^{2}$ $F_{x_{0}}=\{(x,\ell )\colon x_{0}\in \ell \}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {P} ^{2}\time {\check {\mathrm {P} ^{2}}}\to \mathrm {P} ^{2}$ $x\in \mathrm {P} ^{2}$ $x_{0}$ $(x,\ell )$ $\ell$ $x$ $x_{0}$ $x_{0}$ $F_{x_{0}}\cap I$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}(\mathrm {P} ^{2})$ $\mathrm {P} ^{2}$ $x_{0}$ $E_{x_{0))$

Lade være en algebraisk kurve, der går gennem punktet . Det set-teoretiske inverse billede under projektion indeholder en exceptionel kurve og kaldes det komplette præbillede . Således er det fulde forbillede ikke irreducerbart , selvom den oprindelige kurve var irreducerbar. Men hvis vi kun tager disse par som det omvendte billede af et punkt , hvor er tangenten til en af grenene af kurven på dette punkt, så vil det omvendte billede af den irreducerbare kurve være irreducerbar. Sådan et forbillede kaldes et ordentligt forbillede . Hvis det er et glat punkt på kurven, så vil det korrekte omvendte billede være isomorft i forhold til selve kurven. Hvis kurven havde en singularitet på dette tidspunkt, vil dens eget forbillede være anderledes. For eksempel er egenbilledet af en kartesisk terning , når den sprænges ved origo, en glat rationel kurve. $C$ $x_{0}$ $C$ $\mathrm {Bl} _{x_{0}}\to \mathrm {P} ^{2}$ $E_{x_{0))$ $x_{0}$ $(x_{0},\ell )$ $\ell$ $x_{0}$

Deflatere kurver

Bemærk, at den ovenfor beskrevne konstruktion kunne udføres på et affint kort . Derfor kan man tale om blow-ups af enhver algebraisk overflade (eller mere generelt om en kompleks overflade ). Topologisk er inflationen arrangeret som følger: et lille kvarter skæres ud ved punktet, der ligner en firedimensionel kugle, og en todimensionel kugle limes til dens grænse - en tredimensionel kugle - ved hjælp af Hopf-kortlægningen . At sprænge en rigtig overflade består i at skære en lille skive ud og lime til dens grænse, en cirkel, en Möbius-strimmel . $x_{0}$

Bemærk, at blow-up ikke er et rigtigt kort, men kun et rationelt kort : blow-up er ikke veldefineret ved blow-up punktet. I dette tilfælde er den omvendte operation, kaldet deflation eller kontraktion , veldefineret. Det russiske geometer A. I. Bondal formulerede det som følger: "Pr definition er inflation en operation modsat inflation . "

Ikke enhver rationel kurve på en overflade kan blæses væk. For eksempel, i planet, tillader ingen kurve opblæsning, da en lille ændring i koefficienterne for dens ligning giver en deformation af kurven, som exceptionelle opblæsningskurver ikke kan have. Kriteriumtømningskurve på en algebraisk overflade blev opdaget af G. Castelnuovo og er en af den italienske skoles klassiske præstationer .

En rationel kurve på en algebraisk overflade kan blæses af til et jævnt punkt, hvis og kun hvis dets normale bundt er isomorf med det tautologiske bundt.

G. Castelnuovo .

For eksempel, hvis to punkter sprænges i det projektive plan, vil det korrekte forbillede af linjen, der passerer gennem dem, blive blæst af. Når det blæses væk, opnås en quadric . Blyanterne af linjer, der passerer gennem disse to punkter, under en sådan transformation, går over til to familier af linjer på en quadric . Den omvendte transformation kan visuelt beskrives som følger. Overvej en quadric i tredimensionelt projektivt rum og et punkt på det, samt et plan , der ikke passerer igennem . Forbind punktet med skæringspunktet mellem linjen og planet . For at denne operation skal være korrekt defineret ved punktet , skal vi først oppuste quadric ved det. Projektionen er veldefineret og en-til-en uden for to linjer på en quadric, der passerer gennem midten af projektionen. Således blæser projektionen disse linjer i to punkter. $Q$ $x$ $\Pi$ $x$ $y\in Q$ $xy$ $\Pi$ $x$ $\mathrm {Bl} _{x}(Q)\to \Pi$

Castelnuovos kriterium er nyttigt i klassificeringen af algebraiske overflader : efter alle mulige afblæsninger opnås den såkaldte minimale model af en algebraisk overflade; det er ikke svært at klassificere sådanne overflader. Blow-ups er også nyttige i andre spørgsmål om overfladens algebraiske geometri: for eksempel genereres den todimensionelle Cremona - gruppe (gruppen af rationelle transformationer af det projektive plan) af sammensætninger af blow-ups og blow-offs.

På en algebraisk overflade kan kun et begrænset antal punkter sprænges. Ikke desto mindre er det muligt at simulere flyets sprængning på alle punkter ved at overveje grænserne for Nero-Severi-gitteret over alle mulige sprængninger. Det resulterende objekt kaldes et Picard-Manin-rum . Dette er det uendeligt -dimensionelle Minkowski-rum , som Cremona-gruppen handler på. De franske geometre S. Kant og S. Lamy , efter at have overvejet denne handling, beviste, at Cremona-gruppen ikke er enkel . [6]

Scheme bloat

Den mest frugtbare beskrivelse af eksplosioner i høje dimensioner er givet i teorien om skemaer . For eksempel, hvis er et projektivt skema, og a er en sammenhængende bunke af idealer på det, så er opblæsningen af skemaet i idealet skemaet sammen med kortlægningen af skemaer, således at bunken for det første er inverterbar , og for det andet passerer enhver morfisme , således at bunken er inverterbar, unikt gennem morfismen . Denne generiske egenskab definerer oppustethed på en unik måde. Eksplicit definerer blowup'en Proj-konstruktionen som . Når man taler om at sprænge i luften i en lukket underordning , mener man at sprænge i luften i en bunke af idealer, der definerer denne underordning. Underkredsløbet, hvor eksplosionen sker, kaldes opblæsningscentret . Den undervarietet, der dukker op efter sprængning, vil altid være en divisor , kaldet den exceptionelle divisor . $x$ $\mathcal{I}$ $\mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)$ $\pi \colon \mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)\til X$ ${\displaystyle \pi ^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{\mathrm {Bl} _{\mathcal {I}}(X)))$ $f\colon Y\to X$ $f^{-1}({\mathcal {I}})\cdot {\mathcal {O}}_{Y}$ $\pi$ $\mathrm {Proj} \bigoplus _{i=0}^{+\infty }{\mathcal {I}}^{i}$

Denne definition giver mulighed for oppustning i ethvert lukket underkredsløb. Hvis skemaet var en jævn manifold, og midten af eksplosionen var dens glatte submanifold, så kan det, der sker topologisk, beskrives som at skære et lille kvarter ud af midten af eksplosionen og indsætte projektiviseringen af dets normale bundt, som på hvert lag ligner et generaliseret Hopf bundt. Når det sprænges i et glat centrum i kodimension 1, sker der intet. Hvis midten ikke var en glat undermanifold, så ændres manifolden generelt. Blow-ups af ikke-glatte kurver på enkeltstående punkter, beskrevet ovenfor geometrisk, kan tjene som et eksempel. Et skemablow-up i hele skemaet er et tomt skema. I dette tilfælde er terminologiproblemet formuleret af Bondal særligt akut: det opblæste "kort" er ikke engang lokalt defineret, og det afblæsende kort er en tautologisk inklusion af en tom underkreds. $x$ $x$

Blow-ups centreret på submanifolds er meget udbredt i algebraisk geometri. Således brugte V. A. Iskovskikh blow-ups i klassificeringen af Fano tredobbelte af indeks 1 med Picard-gruppen isomorf til . [7] Ikke-projektiv Hironaki- sort $\mathbb {Z}$ opnås ved successive opblæsninger af punkter og kurver i en tredimensionel projektiv manifold og efterfølgende limning.

I populærkulturen

Blow-ups er nogle gange numsen af matematiske vittigheder , primært på grund af deres uformelle navn. I den engelske tradition kaldes blow-ups eng. blow-up , som også kan oversættes til "eksplosion" (dette ord bruges i matematisk engelsk og i andre sammenhænge - for eksempel til at beskrive løsninger af differentialligninger, der går til det uendelige i en endelig tid). Således kan udtrykket " sprænge otte punkter på et fly " også oversættes til "sprænge otte punkter op på et fly" . Denne tvetydighed er genstand for en populær urban legende i det matematiske samfund om algebraiske geometre, der holdes oppe i en lufthavn, der diskuterer eksplosioner. [8] I den russisktalende matematiske kultur bliver ligheden mellem ord på engelsk nogle gange spillet op. sprængning og eng. blowjob . [9]

Noter

↑ Yu. S. Ilyashenko , S. Yu. Yakovenko . Analytisk teori om differentialligninger, ISBN 978-5-4439-0230-2
↑ D. B. Kaledin . Introduktion til algebraisk geometri Forelæsning 8 Arkiveret 20. september 2021 på Wayback Machine
↑ A. L. Gorodentsev . Undervisningsmateriale til mit kursus Algebra - 2 (NMU, akademisk år 2014/15, 2. år) Arkiveret kopi af 20. september 2021 på Wayback Machine
↑ A. N. Tyurin. Samling af udvalgte værker: I 3 bind Bind 3. Algebraisk geometri i topologi og fysik. ISBN 5939725880
↑ Yu. I. Manin. Kubiske former: algebra, geometri, aritmetik. ISBN 978-5-458-44779-9
↑ S. Cantat, S. Lamy. Normale undergrupper i Cremona-gruppen (lang version) Arkiveret 7. november 2017 på Wayback Machine , Acta Mathematica 210, s. 31-94, 2013
↑ V. A. Iskovskikh. Dobbeltprojektion fra en linje på Fano 3-fold af den første slags Arkiveret 20. september 2021 på Wayback Machine , Mat. Lør. , 1989, bind 180, nummer 2, side 260-278
↑ Matematiske "urban legends" , MathOverflow
↑ Overhørt uden for matematik | IUM , uofficiel NMU- side på VKontakte