Holomorf funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. juni 2022; checks kræver 4 redigeringer .

En holomorf funktion eller en enkeltværdi kompleks analytisk funktion (fra græsk ὅλος - "hele, hel" og μορφή - "form"), nogle gange kaldet en regulær funktion - en funktion af en kompleks variabel , defineret på en åben delmængde af kompleks plan og kompleks differentierbar på hvert punkt. $\mathbb {C}$

I modsætning til det virkelige tilfælde betyder denne betingelse, at funktionen er uendeligt differentierbar og kan repræsenteres af en Taylor-serie, der konvergerer til den .

Holomorfe funktioner kaldes også nogle gange analytiske , selvom det andet begreb er meget bredere, da en analytisk funktion kan have flere værdier og også kan betragtes som reelle tal .

Definition

Lade være en åben delmængde af og være en kompleks værdisat funktion på . En funktion siges at være holomorf i mængden, hvis en af følgende ækvivalente betingelser er opfyldt: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\til {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

Funktionen har en kompleks afledet ved hvert punkt i sættet , det vil sige grænsen $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
Funktionen er kompleks-differentierbar ved hvert punkt , det vil sige, at der er et tal , som er i et område af punktet $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
Funktionen er reelt differentierbar og Cauchy-Riemann-betingelserne og er opfyldt på hvert punkt Her er de reelle og imaginære dele af funktionen under overvejelse. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Funktionen er virkelig differentierbar og på hvert punkt , hvor . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \partial y}}\right),$
Taylor-rækken af funktionen ved hvert punkt har en konvergensradius, der ikke er nul, og dens sum er i nogle kvarter lig med . $z\in U$ $f(z)$ $z$
Funktionen er kontinuerlig og integreret for enhver lukket kurve . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Det faktum, at alle disse definitioner er ækvivalente, er et ikke-trivielt og ret bemærkelsesværdigt resultat af kompleks analyse.

En funktion siges at være holomorf på et tidspunkt, hvis den er holomorf i et eller andet kvarter . $f$ $z_{0}\i U$ $z_{0}$

En funktion kaldes holomorf , hvis den er kompleks differentierbar i sit domæne. $f$

Relaterede definitioner

En hel funktion er en funktion, der er holomorf på hele det komplekse plan.
En meromorf funktion er en funktion, der er holomorf i et domæne og har en pol i alle dens entalspunkter. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\i I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
En funktion siges at være holomorf på et kompakt sæt, hvis der findes et åbent sæt, der indeholder sådan, der er holomorf i . $f$ $K$ $D$ $K$ $f$ $D$

Egenskaber

En kompleks funktion er holomorf, hvis og kun hvis Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\quad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\ frac {\partial v}{\partial x))$

og partielle derivater er kontinuerte.

{\frac {\partial u}{\partial x)),\;{\frac {\partial u}{\partial y)),\;{\frac {\partial v}{\partial x)),\ ;{\frac {\partial v}{\partial y))

Summen og produktet af holomorfe funktioner er en holomorf funktion, som følger af lineariteten af differentiering og opfyldelsen af Leibniz-reglen. Kvotienten af holomorfe funktioner er også holomorf på alle punkter, hvor nævneren ikke forsvinder.
Afledten af en holomorf funktion er igen holomorf, så holomorfe funktioner er uendeligt differentiable i deres definitionsdomæne.
Holomorfe funktioner kan repræsenteres som konvergerende i nogle områder af hvert punkt i Taylor-serien .
Fra enhver holomorf funktion kan dens reelle og imaginære dele skelnes, som hver vil være en løsning på Laplace-ligningen i . Det vil sige, hvis er en holomorf funktion, så er og harmoniske funktioner. $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $v$
Hvis den absolutte værdi af en holomorf funktion når et lokalt maksimum i et indre punkt af dens domæne, så er funktionen konstant (det antages, at domænet er forbundet). Derfor følger det, at maksimum (og minimum, hvis det ikke er lig med nul) af den absolutte værdi af den holomorfe funktion kun kan nås ved grænsen af domænet.
I et område, hvor den første afledte af en holomorf funktion ikke forsvinder, og funktionen er univalent , udfører den en konform kortlægning .
Cauchys integralformel relaterer værdien af en funktion i et indre punkt i en region til dens værdier ved grænsen af denne region.
Fra et algebraisk synspunkt er sættet af holomorfe funktioner på et åbent sæt en kommutativ ring og et komplekst lineært rum . Det er et lokalt konveks topologisk vektorrum med seminorm lig med supremum på kompakte delmængder.
Ifølge Weierstrass-sætningen , hvis en række holomorfe funktioner i et domæne konvergerer ensartet på en hvilken som helst kompakt mængde , så er dens sum også holomorf, og dens afledte er grænsen for afledte af partielle summer af rækken [1] . $D$ $D,$
Hvis i domænet ikke forsvinder, så vil det være holomorf i . $f'(z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Nogle egenskaber ved holomorfe funktioner er tæt på egenskaberne for polynomier , hvilket dog ikke er overraskende - nedbrydeligheden af holomorfe funktioner i Taylor-serien indikerer, at funktioner på en eller anden måde er begrænsende varianter af polynomier. Antag, ifølge algebras grundlæggende sætning , kan ethvert polynomium ikke have nuller mere end sin grad. For holomofiske funktioner er en lignende påstand sand, som følger af unikhedssætningen i en alternativ form:

Hvis mængden af nuller for en holomorf funktion i et simpelt forbundet domæne har et grænsepunkt i dette domæne , så er funktionen identisk lig nul.
For en funktion af flere reelle variable er differentiabilitet med hensyn til hver af variablerne ikke nok til, at funktionen er differentierbar. For en funktion af flere komplekse variable er det tilstrækkeligt at være holomorf i hver af variablerne til, at funktionen er holomorf ( Hartogs' sætning ).

Eksempler

Alle polynomier i z er holomorfe funktioner på hele planet . $\mathbb {C}$

Yderligere er holomorfe, selvom de ikke er på hele det komplekse plan, rationelle funktioner , eksponentiel funktion , logaritme , trigonometriske funktioner , inverse trigonometriske funktioner og mange andre klasser af funktioner, såvel som summer, forskelle, produkter, partielle holomorfe funktioner.

Eksempler på ikke-holomorfe funktioner på omfatter $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\overline {z}$ ,

da de ikke har en kompleks afledt på noget tidspunkt. I dette tilfælde vil begrænsningen til den reelle akse være en analytisk funktion af den reelle variabel (da den falder fuldstændig sammen med funktionens begrænsning ). $f(z)=\overline {z}$ $f(z)=z$

Historie

Udtrykket "holomorf funktion" blev introduceret af to elever af Cauchy , Brio ( 1817 - 1882 ) og Bouquet ( 1819 - 1895 ), og kommer fra de græske ord őλoς ( holos ), som betyder "hel" og μorφń ( morphe ) - form, billede. [2]

I dag foretrækker mange matematikere udtrykket "holomorf funktion" i stedet for "analytisk funktion", da sidstnævnte begreb bruges til et mere generelt tilfælde. Derudover er et af de vigtige resultater af kompleks analyse, at enhver holomorf funktion er analytisk , hvilket ikke er indlysende ud fra definitionen. Udtrykket "analytisk" bruges normalt til det mere generelle tilfælde, hvor funktionerne ikke nødvendigvis er givet på det komplekse plan.

Variationer og generaliseringer

Multidimensional sag

Der er også en definition af holomorfien af funktioner af flere komplekse variable

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

Til definitionen anvendes begreberne -differentierbarhed og -linearitet af sådanne funktioner $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-linearitet

En funktion kaldes -lineær, hvis følgende betingelser er opfyldt: $f$ $\mathbb {C}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

(for -lineære funktioner ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

For enhver -lineær funktion er der sekvenser sådan, at . $\mathbb {R}$ $f$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
For enhver lineær funktion eksisterer der en sekvens sådan, at . $\mathbb {C}$ $f$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-differentierbarhed

En funktion kaldes -differentierbar i et punkt, hvis der findes funktioner og sådan i et område af punktet $f$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

hvor er -lineær (for -differentierbarhed - -lineær) funktion. $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfisme

En funktion siges at være holomorf i et domæne, hvis den er -differentierbar i et kvarter til hvert punkt i det domæne. $f$ $D,$ $\mathbb {C}$

Kvasi-analyticitet

Noter

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergeev. Forelæsninger om kompleks analyse. Første halvår. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (red.) Theory of functions of a Complex Variable. - M .: American Mathematical Society , 2. udg. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Arkiveret 13. november 2012 på Wayback Machine .

Litteratur

Holomorphic function // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka , 1969 . — 577 s.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. — M .: Nauka , 1980 . — 464 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Blakey, Joseph. Universitetsmatematik (neopr.) . — 2. — London: Blackie and Sons, 1958.

Links

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Analytisk funktion , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Ordbøger og encyklopædier

Fantastisk norsk
Great Soviet (1 udg.)

I bibliografiske kataloger
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880