F₄ (matematik)

I matematik er F 4 navnet på en af de fem (kompakte eller komplekse) specielle simple Lie-grupper , samt dens Lie-algebra . F 4 har rang 4 og dimension 52. Gruppen F 4 er simpelthen forbundet, og dens ydre automorfigruppe er triviel. Den enkleste nøjagtige lineære repræsentation af gruppen F 4 , såvel som dens Lie-algebra, er 26-dimensionel og irreducerbar. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Den kompakte reelle form af den (komplekse) gruppe F 4 er isometrigruppen af den 16-dimensionelle Riemannmanifold kendt som "oktonionprojektive plan " , OP2 . Dette kan vises ved hjælp af en generel teknik ved hjælp af konstruktionen kendt som det magiske kvadrat , udviklet af G. Freudenthal og J. Tits .

Der er 3 rigtige Lie-grupper med algebra : kompakt, opdelt og tredje. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Lie-algebraen F 4 kan opnås ved at tilføje 16 generatorer til den 36-dimensionelle Lie-algebra, der transformerer som spinorer , svarende til hvordan det gøres i konstruktionen af E 8 . ${\mathfrak {so}}(9)$

Algebra

Rodvektorer F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\right)

og simple positive rodvektorer

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\ret)

Weyl / Coxeter gruppe

For denne gruppe er dette symmetrigruppen i hyperoktaederet .

Cartan matrix

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Symmetrigitter F 4

Et 4-dimensionelt kropscentreret kubisk gitter har F 4 som en punktsymmetrigruppe. Denne forening af to hyperkubiske gitter, hvis punkter hver ligger i midten af den andens hyperkuber, danner en ring kaldet Hurwitz quaternion -ringen . De 24 Hurwitz-kvarternioner med norm 1 danner et hyperoktaeder .

Kilder

John Baez , The Octonions , afsnit 4.2: F 4 , Bull. amer. Matematik. soc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML-version (eng.) (Dato for adgang: 26. december 2009)

Enestående simple Lie-grupper
G₂ F4 E₆ E₇ E₈

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation