Gruppevisning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En repræsentation af en gruppe er generelt set enhver handling af en gruppe . Men oftest forstås en grupperepræsentation som en lineær repræsentation af en gruppe , det vil sige en gruppes handling på et vektorrum. Med andre ord er en repræsentation af en gruppe en homomorfi af en given gruppe til en gruppe af ikke-degenererede lineære transformationer af et vektorrum .

Grupperepræsentationer gør det muligt at reducere mange gruppeteoretiske problemer til lineære algebraproblemer. Grupperepræsentationer har også anvendelse i teoretisk fysik, da de gør det muligt at forstå, hvordan symmetrigruppen i et fysisk system påvirker løsningerne af de ligninger, der beskriver dette system.

Definition

Lad være en given gruppe og være et vektorrum. Så er repræsentationen af gruppen en kortlægning , der forbinder hvert element med en ikke-degenereret lineær transformation , og egenskaberne $G$ $W$ $G$ $EN$ $g\in G$ $A_{g}:W\til W$

A_{{gh}}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{{g^{{-1}}}}=A_{g}^{{-1}}\quad (\ forall g,h\in G).

Vektorrummet kaldes i dette tilfælde repræsentationsrummet . Den gren af matematik , der studerer repræsentationer af grupper, kaldes teorien om repræsentationer (grupper). En repræsentation kan forstås som en grupperepræsentation ved hjælp af matricer eller lineære rumtransformationer. Pointen med at bruge grupperepræsentationer er, at problemer fra gruppeteori reduceres til mere visuelle problemer fra lineær algebra , hvilket ofte giver mulighed for en beregningsmæssig løsning. Dette forklarer repræsentationsteoriens store rolle i forskellige spørgsmål om algebra og andre grene af matematikken. For eksempel spiller endimensionelle repræsentationer af en symmetrisk gruppe og en alternerende gruppe en stor rolle i at bevise umuligheden af at løse en algebraisk ligning med grader højere end 4 i radikaler. I kvantemekanikken spilles en vigtig rolle af uendelig-dimensionelle ( hvor vektorrummet er Hilbert ) repræsentationer af grupper (primært Lorentz-grupper ). $W$ $EN$ $S_{n}$ $A_{n}$

Relaterede definitioner

Lad være en repræsentation af gruppen , her — gruppen af ikke-degenererede lineære transformationer (automorfismer) af rummet . Dimensionen af en repræsentation er dimensionen af vektorrummet $A\colon G\to \operatørnavn {Aut} (W)$ $G$ $\operatørnavn {Aut}(W)$ $W$ $EN$ $(\dimW).$

Repræsentationer og af samme gruppe siges at være ækvivalente , hvis der eksisterer en isomorfi af vektorrum, således at det især følger, at ækvivalente repræsentationer har samme dimension. Normalt betragtes repræsentationer op til ækvivalens. $A:G\til \operatørnavn {Aut}(W)$ $A'\colon G\to \operatørnavn {Aut} (W')$ $G$ $C:W'\til W$ $A'_{g}=C^{{-1}}A_{g}C\ (\forall g\in G).$

En repræsentation kaldes en direkte sum af repræsentationer, hvis (her betyder tegnet en direkte sum af vektorrum), og for hvert delrum er invariant under transformationen og den inducerede begrænsning på repræsentationen svarer til $A:G\til \operatørnavn {Aut}(W)$ $A^{{(i)}}:G\til \operatørnavn {Aut}(W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ $\plus$ $g\in G$ $W_{i}\subset W$ $A_{g}:W\til W$ $EN$ $W_i$ $G\til \operatørnavn {Aut}(W_{i})$ $A^{{(i)}}.$

For en given repræsentation kaldes afbildningen et tegn ; her står for spor . $A\colon G\to \operatørnavn {Aut} (W)$ $\chi _{A}\colon g\to \mathrm {tr} A(g)$ $EN$ $\mathrm {tr}$

Visningstyper

En repræsentation siges at være nøjagtig , hvis kernen i den tilsvarende homomorfi kun består af identitetselementet.

En grupperepræsentation kaldes reducerbar , hvis vektorrummet har et andet underrum end nul og sig selv , som er invariant for alle transformationer . Ellers kaldes repræsentationen irreducible , eller simple (i dette tilfælde betragtes repræsentationen på rummet ikke som irreducible). Maschkes sætning siger, at endelig -dimensionelle repræsentationer af endelige grupper over et felt med karakteristisk nul (eller af en gruppe, der er positiv, men ikke rækkefølge opdeling ) altid nedbrydes til en direkte sum af irreducerbare. $G$ $W$ $W$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W=\{0\}$

Enhver irreducerbar repræsentation af en kommutativ gruppe over feltet af komplekse tal er endimensionel. Sådanne repræsentationer kaldes tegn .

Repræsentationen kaldes regulær if er rummet af funktioner på gruppen, og den lineære transformation tildeler hver funktion en funktion . Med andre ord kaldes en naturlig repræsentation på grupperingen af en gruppe regulær . $W$ $G$ $A_{g}:W\til W$ $f(\omega ),\ \omega \i G,$ $f(g\omega ),\ \omega \i G$

En repræsentation siges at være ensartet med hensyn til et eller andet hermitisk skalarprodukt i rummet over et felt, hvis alle transformationer er unitære . En repræsentation kaldes unitariserbar, hvis det i et vektorrum (over et felt ) er muligt at introducere et sådant hermitisk skalarprodukt, med hensyn til hvilket det er unitært. Enhver repræsentation af en endelig gruppe kan unitariseres: det er tilstrækkeligt at vælge et vilkårligt hermitisk skalarprodukt i rummet og definere det ønskede hermitiske skalarprodukt med formlen $W$ $\mathbb {C}$ $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ $W$ $\mathbb {C}$ $G$ $W$ $\langle x,y$ $(x,y)=\sum _{{g\in G}}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .$

Hvis er en topologisk gruppe, så forstås en grupperepræsentation normalt som en kontinuerlig lineær repræsentation af gruppen i et topologisk vektorrum . Det betyder, at kortlægningen fra til er kontinuerlig , givet som [1] . $G$ $G$ $EN$ $G$ $W$ $G\times W$ $W$ $(g,v)\mapsto A_{g}v$

Eksempler

Enhedsgruppen U(1) kan repræsenteres som en gruppe af rotationer af et todimensionelt rum omkring et centrum.
Repræsentationen af den symmetriske gruppe kan opnås som følger. Lad os vælge en basis i et vektorrum af dimension . For hver permutation definerer vi en lineær transformation, der tager basisvektoren til basisvektoren, hvor vi således opnår en -dimensionel repræsentation af gruppen $S_{n}$ $W$ $n$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $g\in S_{n}:\ (1,\ldots,n)\mapsto (i_{1},\ldots,i_{n})$ $A_{g}:W\til W,$ $e_{k}$ $e_{{i_{k}}},$ $k=1,\ldots,n.$ $n$ $S_{n}.$
En irreducerbar todimensionel repræsentation af en gruppe kan opnås ved at vælge en basis i planet, sætte en vektor og definere for hver permutation en lineær transformation , der tager ind og ind i $S_{3}$ $W$ $e_{1},e_{2},$ $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ $g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ $A_{g}:W\til W$ $e_{1}$ $e_{{i_{1}}}$ $e_{2}$ $e_{{i_{2}}}.$
En adjoint repræsentation er en Lie-grupperepræsentation , der virker på den tilsvarende Lie-algebra .
En co- vedhæftet visning er en visning, der er konjugeret til en vedhæftet.

Variationer og generaliseringer

I en bredere forstand kan en repræsentation af en gruppe forstås som en homomorfi af en gruppe i gruppen af alle reversible transformationer af et eller andet sæt . For eksempel: $x$

En projektiv repræsentation af en gruppe er en homomorfi af en gruppe i gruppen af projektive transformationer af et projektivt rum .

Noter

↑ A. I. Stern. Kontinuerlig fremstilling // Matematisk encyklopædi : [i 5 bind] / Kap. udg. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : syg. — 150.000 eksemplarer.

Litteratur

Berezin F. A., Gelfand I. M., Graev M. I., Naimark M. A. Grupperepræsentationer // Uspekhi Mat. - 1956. T. 11. - Udgave. 6 (72). — S. 13–40.
Vinberg EB Lineære repræsentationer af grupper. - M .: Nauka, Hovedudgave af fysisk og matematisk litteratur, 1985.
Naimark M. A. Repræsentationsteori for grupper . — M.: Nauka, 1976.
Serre J.-P. Lineære repræsentationer af endelige grupper. — M.: Mir, 1970.
Sheinman OK Fundamentals af teorien om repræsentationer . - M .: Forlag af MTSNMO, 2004.
Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri . — M.: Fizmatlit, 2009.

Links

R. Borcherds , Playlist "Repræsentationsteori" på YouTube

I bibliografiske kataloger
BNE : XX5225372 BNF : 11932754t GND : 7503476-1 J9U : 987007531631305171 LCCN : sh85112944 SUDOC : 02724251X