Kelvins teoremer

Under Kelvin-sætningen i hydrodynamik betyder de normalt Kelvins hovedsætning , men to andre Thomson -sætninger (Kelvin) kendes også .

Kelvins sætning om irrotationsbevægelse

I 1849 beviste William Thomson minimum kinetisk energisætning for en væske:

hvis hvirvelbevægelsen på grænsen af et enkelt forbundet område falder sammen med den irroterende bevægelse , så er den kinetiske energi af den irrotationsbevægelse i det pågældende område mindre end den kinetiske energi af hvirvelbevægelsen.

Bevis for Kelvins første sætning

Kelvins sætning kan bevises ud fra det faktum, at hastigheden i irrotationsbevægelse er potentiel ( v = gradφ), og at divergensen af hastigheden af en inkompressibel væske er nul, både for irrotations- og hvirvelbevægelse. Ja, lad Δ Noget = Noget hvirvle. - Noget uden hvirvelvind. . Så, for forskellen i kinetiske energier, kan vi skrive:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

hvor ρ er densiteten af væsken og τ er væskevolumenet . Overvej yderligere kun det første integral til højre:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatørnavn {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

og da div(φ a ) = φ div a + gradφ a , kan integralet transformeres som følger:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau}\operatørnavn {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatørnavn {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatørnavn {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatørnavn {div} \mathbf {V} )d\tau ,

hvor σ er overfladen, der afgrænser volumenet τ, og indekset n angiver vektorens normale komponent. Af sætningens betingelser følger det, at på overfladen σ falder hvirvel- og irrotationsbevægelserne sammen, dvs. ΔV = 0, desuden af inkompressibilitetsbetingelsen div V = 0. I den sidste lighed er alle led således lig nul og for forskellen i kinetiske energier viser det sig:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

hvoraf Kelvin-sætningen følger.

Kinematisk sætning af Kelvin

Kelvins kinematiske teorem gør det muligt at forudsige et hvirvelrørs opførsel i tid ud fra et rent kinematisk synspunkt. Formuleringen af sætningen er som følger:

den deltidsafledte af hastighedscirkulationen langs et lukket væskekredsløb er lig med accelerationscirkulationen langs samme kredsløb .

Bevis for Kelvins anden sætning

Lad os beregne den deltidsafledte af hastighedscirkulationen langs en vilkårlig kontur C uden først at antage, at den er lukket.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ venstre({\frac {V^{2}}{2}}\right).\end{justeret}}

Det er klart, når kredsløbet er lukket, vil det sidste integral forsvinde. På denne måde:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot { V}} ).

Kelvins barotropiske væskesætning

Kelvins barotropiske væskesætning kaldes også Kelvins fundamentale sætning , som underbygger muligheden for eksistensen af irrotationsbevægelse:

når en barotrop ideel væske bevæger sig under påvirkning af potentielle kræfter, ændres hastighedscirkulationen i et lukket væskekredsløb ikke.

Bevis for Kelvins tredje sætning

Sætningen kan let bevises på grundlag af den foregående sætning ved at erstatte acceleration i højre side af udtrykket i tilfælde af potentielle kræfter : $\mathbf {\dot {V}}=-\operatørnavn {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatørnavn {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

derfor er en konstant. $\Gamma$

Sætningen blev formuleret og bevist af W. Thomson i 1869 . Differentialformen af Kelvins sætning er hvirvelligningen .

Litteratur

Loytsyansky L.G. Mekanik af væske og gas. - 7. udg., Rev. - M . : Bustard, 2003. - 840 s. - (Klassikere af russisk videnskab). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Forelæsninger om teoretisk hydrodynamik. - M. : MIPT, 2003. - 188 s. — ISBN 5-7417-0222-8 .