Polynomium

Et polynomium (eller et polynomium fra det græske πολυ- "mange" + latinsk nomen "navn") af variable er summen af monomer eller strengt taget en endelig formel sum af formen $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, hvor

$I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ - et sæt ikke-negative heltal , kaldet et multiindeks , $n$
$c_{I}$ - et tal kaldet polynomiets koefficient , kun afhængig af multiindekset . ${\mathit {I}}$

Især er et polynomium i én variabel en endelig formel sum af formen

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m))

, hvor

$c_{i}$ — faste koefficienter
$x$ - variabel .

Ved hjælp af et polynomium introduceres begreberne " algebraisk ligning ", " algebraisk funktion " og " algebraisk tal ".

Undersøgelse og anvendelse

Studiet af polynomieligninger og deres løsninger i lang tid var måske hovedobjektet for "klassisk algebra ".

En række transformationer i matematik er forbundet med studiet af polynomier : indførelsen af nul , negative og derefter komplekse tal , såvel som fremkomsten af gruppeteori som en gren af matematikken og adskillelsen af klasser af specielle funktioner i matematisk analyse .

På grund af det faktum, at beregninger, der involverer polynomier, er enkle sammenlignet med mere komplekse klasser af funktioner, og det faktum, at mængden af polynomier er tæt i rummet af kontinuerte funktioner på kompakte delmængder af det euklidiske rum (se Weierstrass' tilnærmelsessætning ), udvidelsesmetoder i serier og polynomiel interpolation i calculus .

Polynomier spiller også en nøglerolle i algebraisk geometri . Dets nøgleobjekt er sæt, defineret som løsninger til systemer af polynomialligninger .

De særlige egenskaber ved at transformere koefficienter i polynomial multiplikation bruges i algebraisk geometri , algebra , knudeteori og andre grene af matematikken til at indkode eller udtrykke egenskaber for forskellige objekter ved hjælp af polynomier.

Relaterede definitioner

Et visningspolynomium kaldes et monomial eller multiindeksmonomium . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})$
Et monomial svarende til et multiindeks kaldes et gratis medlem . $I=(0,\prikker ,\,0)$
Den fulde styrke af et monomial (ikke-nul) kaldes et heltal . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$
Sættet af multi-indekser , for hvilke koefficienterne er ikke-nul, kaldes bæreren af polynomiet , og dets konvekse skrog kaldes Newtons polyhedron . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Graden af et polynomium er maksimum af graderne af dets monomer. Graden af det identiske nul antages enten at være ubestemt, eller er yderligere defineret af værdieneller(se graden af nulpolynomiet ). [en] $-en$ $-\infty$
Et polynomium, der er summen af to monomialer, kaldes et binomial eller binomial ,
Et polynomium, der er summen af tre monomialer, kaldes et trinomium eller trinomium .
Koefficienterne for et polynomium er normalt taget fra en bestemt kommutativ ring (oftest et felt , såsom feltet af reelle eller komplekse tal ). I dette tilfælde, med hensyn til operationerne af addition og multiplikation, danner polynomierne en ring (i øvrigt en associativ-kommutativ algebra over en ring uden nul divisorer ), som er betegnet med . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\prikker,x_n]$
For et polynomium i en variabel kaldes løsningen til ligningen dens rod . $p(x)$ $p(x)=0$

Polynomiske funktioner

Lade være en algebra over en ring Et vilkårligt polynomium definerer en polynomiel funktion $EN$ $R.$ $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$

p_{R}\colon A\to A.

Den oftest overvejede sag $A=R.$

Hvis er et felt med reelle eller komplekse tal (eller ethvert andet felt med et uendeligt antal elementer ), bestemmer funktionen fuldstændigt polynomiet p . Dette er dog ikke sandt i det generelle tilfælde, for eksempel: polynomierne og fra definerer identisk lige funktioner . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\equiv x$ $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$

En polynomisk funktion af en reel variabel kaldes en hel rationel funktion .

Typer af polynomier

Et polynomium i én variabel kaldes unitært , normaliseret eller reduceret, hvis dets ledende koefficient er lig med én.
Et polynomium, hvis monomialer alle har samme fulde grad, kaldes homogent .
- For eksempel - et homogent polynomium af to variable, men er ikke homogent. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Et polynomium, der kan repræsenteres som et produkt af polynomier af lavere grader med koefficienter fra et givet felt, kaldes reducible (over det givne felt), ellers kaldes det irreducible .

Egenskaber

En polynomialring over et vilkårligt integritetsdomæne er i sig selv et integritetsdomæne.
En polynomialring i et hvilket som helst begrænset antal variable over en hvilken som helst faktoriel ring er i sig selv faktoriel.
Ringen af polynomier i én variabel over feltet er ringen af principielle idealer , det vil sige, at enhver af dens idealer kan genereres af ét element.
- Desuden er en polynomialring i en variabel over et felt en euklidisk ring .
Den rationelle rodsætning .

Delbarhed

Rollen af irreducerbare polynomier i polynomialringen svarer til primtallenes rolle i ringen af heltal . For eksempel er sætningen sand: hvis produktet af polynomier er deleligt med et irreducerbart polynomium , så er p eller q deleligt med . Hvert polynomium af grad større end nul nedbrydes i et givet felt til et produkt af irreducerbare faktorer på en unik måde (op til faktorer på nul grader). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

For eksempel kan et polynomium , der er irreducerbart inden for rationelle tal , indregnes i tre faktorer inden for reelle tal og i fire faktorer inden for komplekse tal. $x^{4}-2$

Generelt dekomponerer hvert polynomium i en variabel i feltet af reelle tal til faktorer af første og anden grad, inden for komplekse tal - i faktorer af første grad ( algebras grundlæggende sætning ). $x$

For to eller flere variable kan dette ikke længere hævdes. Over ethvert felt, for et hvilket som helst , er der polynomier i variabler, der er irreducerbare i enhver udvidelse af dette felt. Sådanne polynomier kaldes absolut irreducible. $n>2$ $n$

Variationer og generaliseringer

Hvis negative potenser også er tilladt i definitionen, kaldes det resulterende objekt Laurent-polynomiet .
kvasi-polynomium
Trigonometrisk polynomium
Power serie

Se også

Litteratur

Vinberg E. B. Algebra af polynomier. - M . : Uddannelse, 1980. - 176 s.
Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 9. udg. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Højere algebra, 2. udg. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Algebra-øvebog. - M . : Uddannelse, 1985. - 127 s.
Prasolov VV polynomier . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Samling af problemer i højere algebra. - M. , 1977.

Noter

↑ Eric W. Weisstein. Nul polynomium . mathworld.wolfram.com . Hentet 28. maj 2021. Arkiveret fra originalen 1. maj 2021.

Links

Polynomium / A. I. Markushevich // Store sovjetiske encyklopædi : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Stor russer Britannica (online) Universalis
I bibliografiske kataloger	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425