Trigonometrisk polynomium

Et trigonometrisk polynomium er en funktion af et reelt argument, der er en endelig trigonometrisk sum, det vil sige en funktion repræsenteret som:

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\ sin(kx))

hvor er argumentet og koefficienterne , og . $x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ $k=1,2,...,n$

I kompleks form, ifølge Euler-formlen, er et sådant polynomium skrevet som følger:

{\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx))

hvor . $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{ -k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2))$

Denne funktion er uendeligt differentierbar og -periodisk - kontinuerlig på enhedscirklen. $2\pi$

Trigonometriske polynomier er det vigtigste middel til at tilnærme funktioner, der bruges til interpolation og løsning af differentialligninger .

Ifølge Weierstrass-sætningen er der for enhver funktion, der er kontinuert på en cirkel, en sekvens af trigonometriske polynomier, der konvergerer ensartet til den.

Et trigonometrisk polynomium er en delsum af en Fourierrække . Ifølge Fejers sætning konvergerer rækkefølgen af aritmetiske middelværdier af delsummerne i Fourierrækken ensartet til en kontinuerlig funktion på skiven. Dette giver en simpel konstruktiv metode til at konstruere en ensartet konvergent sekvens af trigonometriske polynomier.

Litteratur

Matematisk encyklopædisk ordbog . - M . : "Ugler. encyklopædi" , 1988. - S. 847 .
Zhuk V.V., Natanson G.I. Trigonometriske Fourier-serier og elementer af tilnærmelsesteori. - L . : Forlag Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.