Weierstrass-Stone teorem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. april 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Weierstrass-Stone-sætningen er et udsagn om muligheden for at repræsentere enhver kontinuert funktion på en Hausdorff -kompakt, der er sat af grænsen for en ensartet konvergent sekvens af kontinuerte funktioner af en speciel klasse - stenalgebraen .

Oprindeligt formuleret og bevist af Karl Weierstrass i 1885 for funktioner kontinuert på et segment af den reelle linje, hvilket etablerede muligheden for ensartet tilnærmelse af dem ved en sekvens af polynomier . I 1937 generaliserede Marshall Stone i det væsentlige resultatet ved at udvide resultatet til funktioner, der er kontinuerte på et vilkårligt T 2 -adskilleligt kompakt rum, der danner en ring , og som ensartet konvergerende sekvenser af funktioner, i stedet for polynomier, til funktioner fra en specifik underklasse af kontinuerlige funktioner, der danner en underring.

Senere blev andre generaliseringer af resultatet fundet .

Weierstrass' sætning

Lade være en kontinuerlig funktion defineret på intervallet . Så for enhver eksisterer der et polynomium med reelle koefficienter, således at betingelse [1] er opfyldt samtidigt for dem alle . $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $s$ $x$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Hvis det er kontinuert på cirklen (periodisk), så gælder udsagnet også for trigonometriske polynomier . $f(x)$

Sætningen er også gyldig for funktioner med kompleks værdi, men så skal polynomiets koefficienter betragtes som komplekse tal, og deres komplekse konjugationer skal lægges til polynomierne. $s$

Oversigt over Weierstrass-beviset

Sætningen blev etableret af Karl Weierstrass i 1885 [2] som en konsekvens af en mere generel udtalelse: for reelle overalt definerede kontinuerlige funktioner og , hvis absolutte værdi ikke overstiger en vis grænse, ændrer ikke sit fortegn nogen steder og opfylder ligheden , og integralet konvergerer for det: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

udført:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

Det følger umiddelbart af det direkte bevis, at grænsen ikke kun eksisterer og er lig med , men også at konvergensen er ensartet i , ændres på ethvert endeligt interval. $f(x)$ $x$

Med som , hver funktion fra familien: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

er fuldstændigt defineret for alle komplekse og er hele . Derfor kan de tilnærmes ensartet i en cirkel med enhver radius ved polynomier ( Abels sætning ). Dette indebærer umiddelbart, at enhver kontinuert funktion kan tilnærmes ensartet af polynomier på ethvert endeligt interval. $x$ $f(x)$

Hvis derudover er en periodisk funktion med periode , så er funktionerne hele periodiske funktioner. Men derefter: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\right)

er en enkeltvurderet og holomorf funktion i domænet og udvides derfor til en Laurent-serie : $z\ikke=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\right)}

derfor , og kan derfor tilnærmes ved trigonometriske polynomier. $F_k(x)$ $f(x)$

Betydningen af Weierstrass-resultatet

I midten af 1800-tallet syntes ideen om en funktion som analytisk udtryk fuldstændig at have overlevet sig selv, og analysen dannet på basis af integral- og differentialregning var engageret i vilkårlige funktioner, f.eks. Hermann Hankel især bemærket: et eller andet interval svarer til en bestemt værdi ; samtidig er det lige meget, om det afhænger af i hele intervallet ifølge én lov, og om denne afhængighed kan udtrykkes ved hjælp af matematiske operationer ” [3] , der understreger, at ikke enhver funktion kan repræsenteres ved hjælp af et analytisk udtryk. Som svar på dette skrev Weierstrass værket "Om den analytiske repræsentation af de såkaldte arbitrære funktioner", hvori det blev vist, at en vilkårlig kontinuerlig funktion er grænsen for polynomier. Senere viste det sig, at selv de mest "patologiske" funktioner, for eksempel Dirichlet-funktionen , tillader sådanne repræsentationer, men kun med et stort antal passager til grænsen. $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$

Topologiske konsekvenser

Ifølge Weierstrass-sætningen er rummet af kontinuerlige reelle eller komplekst værdifulde funktioner på et segment med ensartet norm adskilleligt : rummet af polynomier med rationelle eller kompleks-rationelle koefficienter er det nødvendige tællelige overalt tætte underrum .

Stones generalisering

I 1935 beviste Stone, at enhver funktion fra ringen af reelt værdifulde funktioner kontinuerligt på en Hausdorff kompakt kan tilnærmes ensartet af funktioner af en særlig klasse, der udgør stenalgebraen, det vil sige, at enhver stenalgebra er tæt overalt i rummet af kontinuerlige funktioner på kompakten: . Som normen for ensartet konvergens tager vi , og Stenalgebraen er defineret som en subalgebra , hvis elementer adskiller punkterne . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Mere præcist er stenalgebraen det sæt af funktioner fra ringen , der opfylder følgende betingelser: $C_{0}$ $C(K)$

sammen med et hvilket som helst af dets elementer omfatter stenalgebraen følgende elementer: ( ), , ; $f, g \i C_0$ $jfr$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
Stenalgebraen indeholder en konstant funktion ; $en$
for hvert par adskilte punkter er der mindst én funktion, således at . $x_{1}, x_{2} \i K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Yderligere generaliseringer

Der er en række generaliseringer af Weierstrass-Stone-sætningen i forskellige retninger. For eksempel ved Mergelyans sætning kan enhver funktion, der er kontinuert på ethvert kompakt sæt med forbundet komplement på det komplekse plan og holomorfe i dets indre punkter, ensartet tilnærmes ved komplekse polynomier. Der blev også fundet generaliseringer, der tillader, i stedet for en Hausdorff-kompakt, at overveje funktioner, der er kontinuerlige på et vilkårligt Tikhonov-rum .

Se også

Bernstein polynomium

Noter

↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning. bind 3, side 734
↑ Weierstrass K. // Math. Werke. bd. 3. S. 1.
↑ Citeret. af Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Litteratur

Weierstrass-Stone teorem - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. I. Ponomarev
Dzyadyk VK Introduktion til teorien om ensartet tilnærmelse af funktioner ved polynomier. — M .: Nauka, 1977. — 512 s.