Periodisk gruppe

En periodisk gruppe er en gruppe , hvor hvert element har en endelig rækkefølge . Alle endelige grupper er periodiske. Begrebet en periodisk gruppe må ikke forveksles med begrebet en cyklisk gruppe .

Eksponenten (eller perioden ) for en periodisk gruppe er det mindste fælles multiplum af elementordener , hvis der er en. Enhver endelig gruppe har en eksponent - dette er en taldivisor . $G$ $G$ $|G|$

Et af gruppeteoriens nøgleproblemer - Burnside-problemet - er viet spørgsmålet om forholdet mellem periodiske grupper og endelige grupper i klassen af endeligt genererede grupper , hovedspørgsmålet er, om gruppens endelighed følger af eksistensen af eksponenten (i det generelle tilfælde er svaret negativt).

Eksempler på uendelige periodiske grupper inkluderer den additive gruppe af polynomialringen over et begrænset felt, og kvotientgruppen , ligesom Prufer-gruppen , er en undergruppe . Et andet eksempel er foreningen af alle dihedrale grupper . Ingen af disse grupper har et endeligt antal generatorer, og enhver periodisk lineær gruppe med et endeligt antal generatorer er endelig. Eksempler på uendelige periodiske grupper med et begrænset antal generatorer blev konstrueret af Golod på grundlag af fælles arbejde med Shafarevich ( Golod-Shafarevich-sætningen ), samt af Alyoshin og Grigorchuk ved hjælp af automatteori . $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Matematisk logik

En bemærkelsesværdig egenskab ved periodiske grupper er, at de ikke kan formaliseres ved hjælp af første-ordens logik . Ellers ville et aksiom af formen være påkrævet:

\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )

indeholdende en uendelig disjunktion og derfor uacceptabel. Det er umuligt at komme uden om denne uendelige disjunktion ved hjælp af et uendeligt antal aksiomer - det følger af kompakthedssætningen , at intet sæt af førsteordensformler kan beskrive klassen af periodiske grupper [1] .

Relaterede begreber

Torsionsundergruppen i en abelsk gruppe er undergruppen, der består af alle elementer af endelig rækkefølge. En abelsk torsionsgruppe er en abelsk gruppe, hvor hvert element har en endelig rækkefølge. En vridningsfri Abelsk gruppe er en Abelsk gruppe, hvor identitetselementet er det eneste element af endelig orden. $EN$

Se også

Torsion (algebra)
Jordan-Schur-sætning

Noter

↑ Ebbinghaus, Flume, Thomas 1994 , s. halvtreds.

Litteratur

Golod E. S. Om nul-algebraer og endeligt tilnærmelige p-grupper // Izv. USSR Academy of Sciences Ser. Mat.. - 1964. - V. 28 , no. 2 . - S. 273-276 .
Aleshin S. V. Finite automata og Burnside-problemet om periodiske grupper // Matematik. noter. - 1972. - T. 11 , no. 3 . — S. 319–328 .
Grigorchuk R. I. Om Burnside-problemet om periodiske grupper // Funct. analyse og dens anvendelser - 1980. - V. 14 , no. 1 . — S. 53–54 .

Grigorchuk R. I. Vækstgrader for endeligt genererede grupper og teorien om invariante midler // Izv. USSR Academy of Sciences Ser. Mat.. - 1984. - T. 48 , no. 5 . — S. 939–985 .

H.D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas. matematisk logik. - 2. udg., 4. pr.. - New York [ua]: Springer, 1994. - ISBN 978-0-387-94258-2 .