Symbolik af Herman - Mogen

Hermann-Mogen-symbolerne bruges til at repræsentere symmetrien af punktgrupper (sammen med Schoenflies-symboler ), plangrupper og rumgrupper. De blev foreslået af den tyske krystallograf Carl Hermann i 1928 og modificeret af den franske mineralog Charles Victor Mauguin i 1931. Også kaldet internationale symboler, da de er blevet brugt i International Tables for Crystallography [1] siden deres første udgave i 1935. Forud for dette, for at udpege punkt- og rumgrupper, blev Schoenflies-symboler som regel brugt .

Indhold

Notation for krystallografiske punktgrupper

Herman-Mogen symbolet angiver symmetrisk ikke-ækvivalente symmetrielementer. Roterende symmetriakser er angivet med arabiske tal - 1, 2, 3, 4 og 6. Inversionsakser er angivet med arabiske tal med en tankestreg øverst - 1 , 3 , 4 og 6 . I dette tilfælde er aksen 2 , som blot er et symmetriplan, betegnet med symbolet m (engelsk spejl - spejl). Planens retning er retningen vinkelret på den (det vil sige 2 -aksen ). Spejlakser bruges ikke i internationale symboler.

Elementets orientering i forhold til koordinatakserne er givet af elementets position i gruppesymbolet. Hvis retningen af symmetriaksen er vinkelret på retningen af planet, så skrives de i samme position som en brøk. Hvis inversionsaksen har en større symmetriværdi (gengivelsesevne) end rotationsaksen, der falder sammen med den, så er den angivet i symbolet (det vil sige, de skriver ikke , men 6 ; hvis der er et inversionscenter i gruppen, ikke 3, men 3 ). $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$

Den laveste kategori er punktgrupper, hvor den maksimale rækkefølge af enhver akse (rotation eller forkert rotation) er lig med to. Det omfatter gruppe 1, 1 , 2, m, , 222, mm2 og . Hvis der er tre positioner i gruppesymbolet, så $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

på 1. position - retning langs X-aksen

i 2. position - retning langs Y-aksen

i 3. position - retning langs Z-aksen

I en brugerdefineret opsætning kan mm2-gruppen skrives som m2m eller som 2mm. Tilsvarende kan grupper 2, m og skrives mere detaljeret - angiver langs hvilken koordinatakse retningen af andenordens akse og/eller plan går. For eksempel 11m, 1m1 eller m11. Dette træk ved symbolikken bruges til entydigt at beskrive rumgrupper med et andet valg af koordinatsystem, da symbolerne for rumgrupper er afledt af symbolerne for deres tilsvarende punktgrupper. $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Midterste kategori - punktgrupper, hvor der er én ordensakse over to (højeste ordensakse). Her skal det bemærkes, at krystallografi bruger et krystallografisk koordinatsystem forbundet med krystallens symmetri. I dette system vælger akserne specielle retninger i krystallen (de retninger, som symmetri- eller translationsakserne går langs). Derfor, i nærvær af en akse af 3. eller 6. orden, er vinklen mellem X- og Y-retningerne 120° og ikke 90° som i det sædvanlige kartesiske koordinatsystem .

i 1. position - retningen af hovedaksen, det vil sige Z-aksen

i 2. position - en sideretning. Det vil sige retningen langs X-aksen og den tilsvarende Y-akse

i 3. position - en diagonal retning mellem symmetrisk ækvivalente sideretninger

Denne kategori omfatter grupperne 3, 4, 6, 3 , 4 , 6 , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, 3 , 4 2m, 6 m2, , , og . $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {6}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$

Da 3-aksen og planet vinkelret på den er ækvivalent med 6 -aksen , så = 6 og m2 = 6 m2, men det anbefales at bruge notationen med den omvendte akse 6 , da dens symmetri er højere end den for 3 akse Grupperne 4 2m og 6 m2 kan skrives som 4 m2 og 6 2m. Ovenfor var betegnelserne vedtaget i den russisksprogede litteratur. Rækkefølgen af symboler 2 og m i disse grupper bliver vigtig, når man beskriver rumgrupper afledt af dem, da elementet i den anden position er rettet langs Bravais-cellens akse, og elementet i den tredje position er rettet langs diagonalen af ansigtet. For eksempel repræsenterer symbolerne P 4 2m og P 4 m2 to forskellige rumgrupper. Gruppe 32 kan også skrives mere detaljeret som 321 eller 312 for forskellige orienteringer af aksen 2. Ligeledes resulterer forskellige orienteringer i to forskellige rumgrupper P321 og P312. Det samme gælder for gruppe 3m (alternative poster 3m1 og 31m) og 3 (alternative poster 3 1 og 3 1 ). $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {3}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Den højeste kategori er punktgrupper, hvor der er flere akser af højere orden.

på 1. position - tilsvarende retninger X, Y, Z

i 2. position - tilstede altid der fire akser 3 eller 3

i 3. position - diagonalretningen mellem koordinatakserne

Denne kategori omfatter fem grupper - 23, 432, 3 , 4 3m og 3 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Internationale symboler forenkles normalt ved at erstatte med m , hvis n -aksen er genereret af andre symmetrielementer angivet i symbolet. Du kan ikke fjerne kun betegnelsen for hovedaksen i den midterste kategori. For eksempel skriver de som mmm, som mm og 3 som m 3 m. $\color {Sort}{\tfrac {n}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

Notation af punktgrupper

Grupper med en akse af højere orden er skrevet efter de samme principper som krystallografiske grupper i mellemkategorien. De kan anføres i følgende tabel.

Skonfluer	HM symbol	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	...	$\infty$
$C_{{n}}$	$n$	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	...	$\infty$
$C_{nv}$	$n$ m	3m		5m		7m		9m		11m		13m			$\infty$ m
$C_{nv}$	$n$ mm		4 mm		6 mm		8 mm		10 mm		12 mm		14 mm		$\infty$ m
$S_{2n}$	$\lade}$	3		5		7		9		elleve		13			$\tfrac{\infty}{m}$
$S_{n}$			fire				otte				12
$C_{\tfrac{n}{2}h}$					6				ti				fjorten
$C_{nh}$	${\tfrac {n}{m))$		$\tfrac{4}{m}$		$\tfrac{6}{m}$		$\tfrac{8}{m}$		$\tfrac{10}{m}$		$\tfrac{12}{m}$		$\tfrac{14}{m}$
$D_{n}$	$n$ 2	3 2		5 2		7 2		9 2		11 2		13 2			$\infty$ 2
$D_{n}$	$n$ 22		4 22		6 22		8 22		10 22		12 22		14 22		$\infty$ 2
$D_{nd}$	$\bar{n}\tfrac{2}{m}$	3 $\tfrac{2}{m}$		5 $\tfrac{2}{m}$		7 $\tfrac{2}{m}$		9 $\tfrac{2}{m}$		elleve $\tfrac{2}{m}$		13 $\tfrac{2}{m}$			$\tfrac{\infty}{m}m$
$D_{\tfrac{n}{2}d}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$		42m _				8 2m				12 2m
$D_{\tfrac{n}{2}h}$	$\bar{n}2m=$ $=\bar{n}m2$				6 m2				10 m2				14 m2
$D_{nh}$	$\tfrac{n}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{8}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{10}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{12}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$		$\tfrac{14}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$

Af de endelige ikke-krystallografiske grupper er der kun to grupper tilbage, der indeholder flere højere ordens akser. Dette er symmetrigruppen for icosahedron , og dens undergruppe er den aksiale symmetrigruppe af icosahedron (en kombination af seks akser af 5. orden, ti akser af 3. orden og 15 akser af 2. orden). Da Hermann-Moguins symbolik oprindeligt kun var beregnet til krystallografiske grupper, er disse gruppers symboler ret vilkårlige og er konstrueret som symbolerne for krystallografiske grupper af den højeste kategori. Også for disse grupper er der ingen standardindstilling af koordinatsystemet (og det internationale symbol afhænger af det). Nedenfor er flere tegnmuligheder.

[2] 3 5 (forkortet m 3 5 ) og 235. $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

[3] [4] 5 (forkortet m 5 ) og 25 - i analogi med symbolerne 3 (forkortet m 3 ) og 23. $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

[5] m 5 m og 532 - analogt med symbolerne m 3 m og 432.

[6] 5 3 (forkortet 5 3 m) og 532 - analogt med symbolerne 3 og 432. $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {4}{m}}$ $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$

[7] 5 3m og 53.

I praksis bruges Schoenflies-symbolerne I h og I som regel til at betegne disse grupper .

Fem grupper fra tabel c kaldes grænsegrupper [8] eller Curie- grupper . Disse omfatter yderligere to grupper, som ikke er vist i tabellen. Dette er gruppen af alle mulige rotationer omkring alle akser, der går gennem punktet - gruppen af rotationer, såvel som gruppen , der beskriver kuglens symmetri - den maksimalt mulige punktsymmetri i tredimensionelt rum; alle punktgrupper er undergrupper af gruppen . Igen, som med symmetrigrupperne i icosahedron, er der flere notationer for disse grupper ( og , og ). I matematik og teoretisk fysik betegnes de normalt som SO(3) og O(3) ( særlig ortogonal gruppe i tredimensionelt rum og ortogonal gruppe i tredimensionelt rum). $n=\infty$ $\infty \infty$ $\color{Sort}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $\color{Sort}\tfrac{\infty}{m}\infty$ $2\infty$ $m\bar{\infty}$ $\infty \infty$ $\infty \infty m$

Mellemrumsgruppenotation

Hermann-Mogen-symbolet for rumgruppen er konstrueret efter samme principper som det krystallografiske punktgruppesymbol, plus at typen af cellecentrering tilføjes i begyndelsen af symbolet. Følgende typer centrering er mulige

P - primitiv
I - kropscentreret (yderligere knude i midten af cellen).
F - ansigtscentreret (yderligere noder i midten af alle ansigter).
C, A eller B - basecentreret (en ekstra knude i midten af ansigtet C, A eller B). Cellerne A og B kaldes også sidecentrerede.
R - dobbelt kropscentreret (to yderligere noder på cellens store diagonal).

Spejlplaner er angivet på samme måde som i punktgrupper - med symbolet m . Glidende refleksionsplaner er udpeget afhængigt af glideretningen i forhold til krystalcellens akser. Hvis der sker glidning langs en af akserne, så er planet angivet med det tilsvarende latinske bogstav a , b eller c . I dette tilfælde er mængden af slip altid lig med halvdelen af oversættelsen. Hvis slip er rettet langs diagonalen af en flade eller den rumlige diagonal af en celle, så er planet angivet med bogstavet n i tilfælde af en slip lig med halvdelen af diagonalen, eller d i tilfælde af en slip lig med en fjerdedel af diagonalen (dette er kun muligt, hvis diagonalen er centreret). n- og d -planerne kaldes også kileplaner. d -planer omtales nogle gange som diamantplaner, fordi de er til stede i diamantstrukturen (engelsk diamant - diamant).

Nikolai Vasil'evich Belov foreslog også at introducere notationen r for fly med glidning langs rumdiagonalen i en romboedrisk celle. r- planer falder dog altid sammen med almindelige spejlplaner, og udtrykket har ikke fanget. Der er planer i fem rumgrupper, hvor glidning sker både langs den ene akse og langs den anden akse af cellen (det vil sige, at planet er både a og b eller a og c eller b og c ). Dette skyldes centreringen af fladen parallelt med glideplanet. I 1992 blev symbolet e introduceret for sådanne fly . [9]

Gruppenummer	39	41	64	67	68
gammelt symbol	Abm2	Aba2	cmca	cmma	ccca
Nyt symbol	Aem2	Aea2	cmce	cmme	Cce

Almindelige roterende akser af n . orden betegnes på samme måde som i punktgrupper - med det arabiske tal n . Skrueakser er angivet med nummeret på den tilsvarende roterende akse med et indeks, der karakteriserer mængden af overførsel langs aksen under samtidig rotation. Mulige spiralakser i 3D-tilfældet: 2 1 (drej 180° og skift 1/2 translation), 3 1 (rotér 120° og skift 1/3 translation), 3 2 (rotér 120° og skift 2/3 translation), 4 1 (drej 90° og skift 1/4 oversættelse), 4 2 (drej 90° og skift 1/2 oversættelse), 4 3 (drej 90° og skift 3/4 oversættelser), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (drej med 60° og skift med henholdsvis 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 og 5/6 oversættelser). Akserne 3 2 , 4 3 , 6 4 og 6 5 er enantiomorfe til henholdsvis akserne 3 1 , 4 1 , 6 2 og 6 1 . Det er på grund af disse akser, at der er 11 enantiomorfe par af rumgrupper - i hvert par er den ene gruppe et spejlbillede af den anden.

P4 1	P4 1 22	P4 1 2 1 2	P3 1	P3 1 12	P3 1 21	P6 1	P6 2	P6 1 22	P6 2 22	P4 1 32
P4 3	P4 3 22	P4 3 2 1 2	P3 2	P3 2 12	P3 2 21	P6 5	P64 _	P6 5 22	P6 4 22	P4 3 32

Indstilling af mellemrumsgruppen og valg af Bravais-cellen

Herman-Mogen-symbolet afhænger af rumgruppens indstilling, det vil sige af hvordan symmetrielementerne (akser, planer, translationer) er rettet i forhold til det valgte koordinatsystem. Dette er især vigtigt i tilfælde af rumgrupper, når koordinatsystemet, det vil sige valget af Bravais-cellen, påvirker betegnelsen af blikreflektionsplanet ( a, b, c, n, d ) og celletypen centrering. I grupper, hvor en retning adskiller sig fra de to andre (f.eks. punktgrupper 3, 4, 6, mm2, 3m 4mm, 6mm, 32, 422, 622 og rumgrupper afledt af dem), vælges denne specielle retning for Z -aksen (vektoren c af Bravais-cellen). En vigtig undtagelse er de monokliniske syngonigrupper (punktgrupper 2, m, 2/m og rumgrupper afledt af dem), hvor denne særlige retning er valgt som Y -aksen (vektor b af Bravais-cellen). Årsagen til dette er rent historisk og kommer fra mineralogien. Som Belov skriver , "en klassisk krystallograf og frem for alt en mineralog ved godt, at forlængelsen af en krystal, som han uden tøven forbinder den vertikale akse Z med, i de fleste tilfælde ikke falder sammen med den særlige retning af en monoklinisk krystal, som morfologen giver den anden akse Y. " [10] Således ville de udvidede internationale karakterer for disse grupper være som følger.

Gruppenummer	3	fire	5	6	7	otte	9	ti	elleve	12	13	fjorten	femten
Symbol	P2	P2 1	C2	Om eftermiddagen	PC	cm	CC	P2/m	P21 / m	C2/m	P2/c	P21 / c	C2/c
Udvidet symbol	P121	P12 1 1	C121	P1m1	P1c1	C1m1	C1c1	P1 1 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Sort}\tfrac{2_{1}}{m}$	C1 1 $\color {Sort}{\tfrac {2}{m}}$	P1 1 $\color{Sort}\tfrac{2}{c}$	P1 1 $\color{Sort}\tfrac{2_{1}}{c}$	C1 1 $\color{Sort}\tfrac{2}{c}$

I standardopsætningen kan glideplanet i det monokliniske system ikke være b , da glideretningen ikke kan være vinkelret på selve planet. Cellens centrering kan heller ikke være B, da man i dette tilfælde kunne gå til en primitiv celle med det halve volumen og samme symmetri.

Se også

Noter

↑ (Internationale tabeller) Hjemmeside . Hentet 20. november 2011. Arkiveret fra originalen 28. november 2011. (ubestemt)
↑ Wiley Online Library: IUCR ITL Adgang nægtet (link utilgængeligt) . Hentet 20. november 2011. Arkiveret fra originalen 4. juli 2013. (ubestemt)
↑ P. M. Zorkiy. Symmetri af molekyler og krystalstrukturer, Moscow State University, 1986, s. 42.
↑ Familier af punktgrupper . Hentet 20. november 2011. Arkiveret fra originalen 15. april 2012. (ubestemt)
↑ B. K. Weinstein, V. M. Fridkin, V. L. Indenbom. Moderne krystallografi. Bind 1. M.: Nauka, 1979, s. 97.
↑ Punktgrupper i tre dimensioner
↑ A. V. Shubnikov. Symmetri og antisymmetri af endelige figurer, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1951
↑ Begræns punktgrupper . Hentet 21. november 2011. Arkiveret fra originalen 23. februar 2008. (ubestemt)
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D.P. Shoemaker, H. Wondratschek, A.J.C. Wilson og S.C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ N. V. Belov, G. P. Litvinskaya, om installation af krystaller af lavere systemer. — I bogen: Krystallologiens problemer. M.: Forlag ved Moscow State University, 1976. s. 13-14

Litteratur

Punktgrupper

P. M. Zorkiy. Symmetri af molekyler og krystalstrukturer. M.: Publishing House of Moscow State University, 1986 (tilgængelig online http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. Teori om symmetri af krystaller. Moskva: Forlaget GEOS, 2000 (tilgængelig online http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya. Krystallografi. M.: Forlag ved Moscow State University, 1992
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometrisk krystallografi. M.: Forlag ved Moscow State University, 1973

Rumgrupper

Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya. Teori om symmetri af krystaller. Moskva: Forlaget GEOS, 2000 (tilgængelig online http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Yu. G. Zagalskaya, G. P. Litvinskaya. Geometrisk mikrokrystallografi. M.: Forlag ved Moscow State University, 1976
N. V. Belov. En cool metode til at udlede rumsymmetrigrupper. Proceedings fra Institute of Crystallography ved Academy of Sciences of the USSR. 1951. nr. 6. S. 25-62.
N. V. Belov. Essays om strukturel krystallografi og Fedorov symmetrigrupper. M.: Videnskab. 1986.