Udtrykkelighed i radikale

Udtrykbarhed i radikaler betyder evnen til at udtrykke et tal eller en funktion i form af de enkleste tal eller funktioner ved at udtrække roden af en heltalsgrad og aritmetiske operationer - addition , subtraktion , multiplikation , division .

For tal

Primære definitioner

Standard definition

Et feltelement siges at kunne udtrykkes radikalt over et feltunderfelt , hvis der eksisterer et algebraisk udtryk , der kun indeholder de elementer i feltet, hvis værdi er lig med . Hvis roden i feltet er en funktion med flere værdier , anses det for tilstrækkeligt, at tallet er lig med mindst én af de mulige værdier af det algebraiske udtryk . $-en$ $F$ $G$ $F$ $G$ $-en$ $F$ $-en$

Med andre ord består mængden af tal, der kan udtrykkes i radikaler , af værdisættet af alle rationelle udtryk , delsummer af radikaler fra værdierne af rationelle udtryk og delsummer af indlejrede radikaler fra værdierne af rationelle udtryk.

Definition uden reference til matematikkens formelle sprog

Lad være et underfelt af feltet . Overvej en endelig kæde af indlejrede felter sådan, at og [nb 1] for enhver fra til , hvor er et tal fra feltet sådan, at for nogle naturlige tal hører til . Et tal siges at kunne udtrykkes radikalt over et underfelt af feltet , hvis der for nogle er samlinger og for det sådan , at [1] . $G$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $jeg$ $en$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i))$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Andre definitioner

Et reelt tal siges at kunne udtrykkes i reelle radikaler , hvis det kan udtrykkes i radikaler over et underfelt af rationelle tal i feltet af reelle tal . I dette tilfælde må rødderne af en lige grad i det algebraiske udtryk , der antager en værdi , kun tages fra ikke-negative tal , dvs. værdien af ethvert underudtryk af det betragtede udtryk skal have en imaginær del på nul . $x$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $x$
Et komplekst tal (som også kan være reelt ) siges at kunne udtrykkes i komplekse radikaler , hvis det kan udtrykkes i radikaler over underfeltet af rationelle tal i feltet med komplekse tal . Et tal, der kan udtrykkes i rigtige radikaler, kan altid udtrykkes i komplekse radikaler. Den primære forekomst af komplekse tal i et algebraisk udtryk , der tager værdien , kan kun forekomme på grund af udtrækning af en lige graders rod fra negative tal . For at forenkle håndteringen af tvetydigheden af th rødder i komplekse tal, bruges forskellige metoder til at angive, hvilken af rødderne der er nødvendig for at opnå et givet tal: for eksempel er komplekse rødder af enhed , som er vigtige konstanter, nummereret eksplicit i rækkefølge mod uret. på standard komplekse plan , startende fra selve enheden. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
Et element i et felt siges at kunne udtrykkes i gradradikaler over et underfelt af feltet, hvis et algebraisk udtryk med tal fra , hvis værdi er lig med , af mulige rødder kun indeholder gradrødder . Især når et tal kaldes udtrykkeligt i kvadratiske radikaler , og når det udtrykkes i kubiske radikaler . Kombinationer er også mulige: for eksempel tallene og kan udtrykkes i kvadratiske og kubiske radikaler over feltet af rationelle tal . Definitionen, som ikke går ud over anvendelsesområdet for det formelle standardsprog , har følgende form: et feltelement siges at kunne udtrykkes i grad radikaler over et feltunderfelt , hvis det kan udtrykkes i radikaler over et felt og alle involveret i definition af radikal udtrykkelighed for givet ovenfor er ens [1] . $-en$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $-en$ $n$ $n=2$ $-en$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $-en$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $-en$ $n$
Et tal , der kan udtrykkes i reelle kvadratradikaler , kaldes reelle konstruerbare [2] .
Lad være et felt . Så kaldes feltet [nb 2] , hvor og , en radikal forlængelse af feltet [3] . I kæden af felter, der er konstrueret ovenfor, er hvert næste således en radikal forlængelse af det foregående. I tilfældet kaldes det angivne felt en kvadratisk forlængelse af feltet , det vil sige, at tallet udtrykt i kvadratiske radikaler hører til det næste felt i kæden af kvadratiske forlængelser af det oprindelige underfelt [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $i K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $n=2$ $K$
Et tal, der kan udtrykkes i radikaler, kaldes udtrykkeligt i radikaler $n$ , hvis det mindste antal rødder i dem blandt alle algebraiske udtryk, der er lig med det, er [5] . $n$

Eksempler

Tallet kan udtrykkes i rigtige kvadratradikaler , det vil sige, at det er reelt konstruerbart . Samtidig kan det udtrykkes i reelle radikaler af enhver grad af formen , hvor er et naturligt tal, da . ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
Tallet synes også ved første øjekast kun at kunne udtrykkes i radikaler af enhver grad af formen , men faktisk kan det udtrykkes i radikaler af enhver grad og af enhver art , da for enhver . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $n$
Det er ikke altid muligt umiddelbart at fastlægge et sådant minimum , at det tal, der er tale om, kan udtrykkes med radikaler , da det tal , der kan udtrykkes i to kvadratradikaler , faktisk er ens og kan udtrykkes som en kvadratradikal . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288))))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
For flere lignende eksempler, se artiklen indlejrede radikaler .
Tallet kan udtrykkes i radikaler over feltets underfelt , da den eneste rod af en lige grad i dette algebraiske udtryk udvindes fra et ikke-negativt tal , men kan ikke udtrykkes i reelle radikaler , da . I modsætning til de foregående afsnit kan vi i dette tilfælde tale om den negative egenskab for det tal, der er under overvejelse på grundlag af dets specifikke notation, da vi, hvis vi antager, at det kan udtrykkes i reelle radikaler , let ville få et algebraisk udtryk for , hvilket gør eksisterer ikke på grund af overskridelsen af disse tal (se afsnittet Generelle egenskaber ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Forklaringer

Udtrykkelighed i radikaler med hensyn til et reelt tal, uden andre kvalifikationer i litteraturen, betyder normalt udtrykbarhed i komplekse radikaler .

For funktioner , polynomier og ligninger

Primære definitioner

Standard definition

En funktion , der tager værdier i et felt og afhænger af et bestemt antal parametre , siges at kunne udtrykkes i radikaler over et underfelt af feltet, hvis der eksisterer et algebraisk udtryk , der kun indeholder feltets elementer og de angivne parametre som tal, hvis værdi falder sammen med værdien for eventuelle tilladte værdier af disse parametre [6] . $f$ $F$ $G$ $F$ $G$ $f$

Definition uden reference til matematikkens formelle sprog

Lad være et underfelt af feltet . Betragt sådan en endelig kæde af indlejrede felter , hvis elementer er funktioner fra (eventuelt uden flere punkter for at undgå division med nul) til , som består af alle rationelle funktioner over , og [nb 3] for enhver fra til , hvor er sådan en kontinuerlig funktion på , at for nogle naturlige hører funktionen til . En funktion siges at kunne udtrykkes i radikaler over et underfelt af feltet , hvis der for nogle er sådanne samlinger for det og , at . $G$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $jeg$ $en$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ ${\displaystyle f\in K_{s))$

Andre definitioner

En funktion med flere værdier kaldes radikal- udtrykkelig over et underfelt , hvis alle enkeltværdi-funktioner, der udvindes fra den, også kan udtrykkes i radikaler over et underfelt . $f$ $G$ $G$
Et polynomium i en variabel, afhængigt af et bestemt antal parametre (der bestemmer nogle af dets koefficienter), kaldes løseligt i radikaler , hvis en kontinuerlig og muligvis flerværdifunktion kan udtrykkes i radikaler , der matcher sættet af parameterværdier u200b\u200b med det tilsvarende sæt polynomiumrødder .
En algebraisk ligning kaldes løselig i radikaler, hvis vi i radikaler kan løse et polynomium, der svarer til nul i denne ligning [4] [7] .
Funktioner og polynomier er underlagt alle begrænsninger for definitionen af udtrykkelighed og opløselighed i henholdsvis radikaler, angivet ovenfor . For eksempel kan en funktion defineret som på hele den reelle linje udtrykkes i kvadratiske komplekse radikaler . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Eksempler

En funktion med flere værdier , kan udtrykkes i radikaler , da alle seks enkeltværdifunktioner, der udvindes fra den, opfylder betingelsen , hvor er et algebraisk udtryk , der kun bruger en variabel, der fungerer som et argument for funktionen, og komplekse tal. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
Polynomiet er opløseligt i komplekse kvadratradikaler , da dets rødder for enhver er givet af funktionen . Dette polynomium kan dog kun løses i reelle radikaler under den begrænsning, at tallet tilhører mængden af ikke-positive tal. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $-en$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $-en$

Forklaringer

I tilfælde af en kompleks funktion uden angivelse af underfeltet , antages den normalt at være lig med det samme sæt komplekse tal . $G$ $\mathbb {C}$
Det er vigtigt at bemærke, at udtrykkeligheden i en funktions radikaler og udtrykkeligheden i radikalerne af billedet af hvert element, når det bruges, ikke er ækvivalente: for eksempel kan en funktion, der opfylder den anden betingelse , ikke være kontinuerlig , mens dette krav er obligatorisk for det, der opfylder den første betingelse. $\mathbb {R}$

Generelle egenskaber

De sæt af tal, der kan udtrykkes i radikaler, og funktioner, der kan udtrykkes i radikaler, er felter, der indeholder de felter, over hvilke de kan udtrykkes i radikaler som underfelter.
Ethvert komplekst tal , der kan udtrykkes i radikaler , er algebraisk , men ikke alle algebraiske tal kan udtrykkes i radikaler. Den første påstand følger af de rationelle tals algebraiske karakter og af det faktum, at mængden af algebraiske tal er et felt (ved hvert trin i overgangen fra til i definitionen af et tal, der kan udtrykkes i radikaler, genererer algebraiske tal kun algebraiske tal ). Den anden påstand følger af følgende sætning om eksistensen af en gradsligning med heltalskoefficienter, hvor mindst én af rødderne er uudsigelige i radikaler. På samme måde er enhver funktion, der kan udtrykkes i radikaler, algebraisk , mens ikke alle algebraiske funktioner kan udtrykkes i radikaler. Med andre ord, feltet med algebraiske tal indeholder feltet med tal, der kan udtrykkes i radikaler, og feltet med algebraiske funktioner indeholder feltet af funktioner, der kan udtrykkes i radikaler, men det omvendte er ikke sandt. $G_{i-1}$ $G_{i}$ $5$
Enhver funktion, der kan udtrykkes i radikaler, tager sæt af tal, der kan udtrykkes i radikaler, algebraiske tal og transcendentale tal over det samme felt, ind i sig selv. Hvis argumentet for en funktion med flere værdier, der kan udtrykkes i radikaler, udelukkende består af tallene for et af disse sæt, falder billedet også ind i det. Men kun de sidste to sæt er altid helt billeder af sig selv. Du kan få et tal, der kan udtrykkes i radikaler, opnået ved at anvende en funktion, der kun kan udtrykkes i radikaler på tal, der ikke kan udtrykkes i radikaler, som følger: tag et polynomium af grad med heltalskoefficienter, hvis rødder ikke kan udtrykkes i radikaler, og hvis frie led ikke er lig med nul (ved sætningen Kronecker , beskrevet nedenfor, da et sådant polynomium kan være egnet, f.eks. [2] ). Så får en funktion givet af et sådant polynomium uden et frit led kun samme værdi i rødderne af dette polynomium, som ikke kan udtrykkes i radikaler, mens det frie led i sig selv er et heltal og naturligvis kan udtrykkes i alle radikaler. $5$ $x^{5}-4x+2$

Geometriske og trigonometriske sætninger

Hovedsætningen i teorien om geometriske konstruktioner : hvis der er et længdesegment på planet , konstruerer vi et længdesegment med et kompas og en lineal, hvis og kun hvis tallet er reelt konstruerbart (det vil sige, det kan udtrykkes i kvadratiske reelle radikaler) [2] [1] [8] [9] . Dette indebærer, at det er umuligt at kvadrere cirklen og fordoble terningen med et kompas og en lineal, da der som følge heraf opnås ikke-konstruerbare reelle tal og henholdsvis [1] . $en$ $x$ $x$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
I en mere generel form lyder ovenstående sætning sådan: for givne længdesegmenter kan et længdesegment konstrueres med et kompas og en lineal, hvis og kun hvis [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\dots ,a_{n))$ $-en$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\dots,a_{n})$
Gauss' sætning : Et tal er reelt konstruerbart, hvis og kun hvis , hvor alle er parvis forskellige Fermat-primtal . Især af denne sætning følger det, at tallet ikke er reelt konstruerbart, det vil sige, at det er umuligt at tegne en tredeling af vinklen med et kompas og en lineal , og dermed en vilkårlig vinkel [2] [1] . På samme måde er umuligheden af at opdele en vilkårlig vinkel i et hvilket som helst antal lige dele, der ikke er en potens af to, bevist - hvis en sådan opdeling var mulig, ville det være muligt at konstruere vinkler af formen , hvilket kun er muligt for . ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )))$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2))))$ ${\displaystyle a=2^{k))$

En liste over algebraiske udtryk for trigonometriske funktioner af nogle vinkler er givet i artiklen Trigonometriske konstanter . Et sideresultat af den betragtede sætning er, at værdierne af trigonometriske funktioner i en vinkel, der er et helt antal grader, udtrykkes i radikaler, hvis og kun hvis dette tal er deleligt med .

3

Gauss-Wanzel-sætningen følger også umiddelbart af Gauss-sætningen ovenfor og siger, at en regulær -gon kan konstrueres med et kompas og en retlinje , hvis og kun hvis, hvor alleer parvis forskellige Fermat-primtal , dvs. hvis og kun hvis cosinus dens centrale vinkel ligmed , vi konstruerer reelle [2] [9] [4] . $n$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{k))$ $p_{i}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
På trods af ovenstående fakta, cosinus af enhver vinkel, der er et multiplum af , kan vi udtrykke i komplekse radikaler, da , hvor er den anden rod af enhed i standardnummereringen efter selve enheden, og tallet er udtrykt gennem eller ved hjælp af Chebyshev polynomier . Men selv i tilfælde, hvor cosinus af en given vinkel kun kan udtrykkes i komplekse radikaler af en vilkårlig grad, men ikke i kvadratiske reelle, er minimumsgraden af radikaler i det tilsvarende udtryk ikke nødvendigvis lig med : f.eks . er, dette tal kan udtrykkes i kvadratiske og kubiske radikaler (i dette tilfælde for at opnå den korrekte værdi blandt de mulige ni, skal man tage værdierne af terningrødderne med den største reelle del). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\ frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ ${\displaystyle u_{2))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\ret)$

Funktionssætninger redigér

Galois-gruppen af en funktion udtrykt i komplekse radikaler er opløselig [6] . (I dette tilfælde betyder "Galois-gruppen af en funktion" gruppen af permutationer af ark af Riemann-overfladen af en funktion genereret af ringpermutationer omkring forgreningspunkterne på denne overflade.)
Afledten af en funktion udtrykt i radikaler er også udtrykt i radikaler, da afledte af alle aritmetiske operationer tilladt i algebraiske udtryk anvendt på funktioner er algebraiske udtryk , der kun bruger værdierne af disse funktioner og, i tilfælde af roden , dens grad, som variable:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}}

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Det modsatte er dog ikke sandt: for eksempel kan afledte af inverse trigonometriske funktioner udtrykkes i radikaler over , mens de inverse trigonometriske funktioner i sig selv er transcendentale funktioner , det vil sige, at de ikke er algebraiske (og enhver funktion, der kan udtrykkes i radikaler, som nævnt ovenfor , er algebraisk): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2))))

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Polynomiske sætninger

Et polynomium er opløseligt i radikaler, hvis og kun hvis dets Galois-gruppe er generelt opløseligt [10] .
Kroneckers sætning : mindst en af rødderne til en ligning af primegrad , der er irreducerbar i rationelle tal med heltalskoefficienter, kan kun udtrykkes i radikaler som et tal, hvis blandt dem nøjagtigt en eller nøjagtig reel [2] [3] . Ud fra dette, ved at konstruere et irreducerbart gradspolynomium med heltalskoefficienter og tre reelle rødder (et eksempel på et sådant polynomium kan tjene ), udledes et særligt tilfælde af følgende sætning for feltet af rationelle tal øjeblikkeligt : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Abel-Ruffini-sætningen , der siger, at ligninger af enhver grad ikke mindre end, med heltalskoefficienter, ikke kan løses i radikaler i generel form (det vil sige, nåralle deres koefficienter er parametriseret ). $5$
Ligninger med heltalskoefficienter for grad til og med er dog løselige (se Lineær ligning , andengradsligning , kubikligning , fjerde grads ligning ). Samtidig kan lineære ligninger løses uden brug af radikaler, kvadratiske - kun ved brug af kvadratiske radikaler (og med rigtige rødder også rigtige), kubiske og fjerde grad - kun ved brug af reelle kvadratiske og komplekse kubiske radikaler [2] [5] . Desuden, som det kan ses af formlerne til løsning af alle disse ligninger (for og potenser, se Cardanos formel og Ferraris formel ), er de løselige selv over feltet af rationelle tal . $fire$ $3$ $fire$

Formler til løsning af ligninger af grader , ,

en

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
En af løsningerne til ligningen er , hvor og (du bør tage sådanne værdier af terningrødder, så tallet er lig med deres produkt). Ved at udtage en faktor med denne rod omdannes den kubiske ligning til produktet af en lineær og en andengradsligning, hvis løsninger er givet ovenfor. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

Fuld formel for en af løsningerne i gradligningen

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Formler for graden i fuld form er for besværlige. $fire$

En smallere klasse af ligninger, kaldet gensidige ligninger , kan løses i radikaler op til og med graden. Tilbagevendende polynomier af ulige grad har formen og er repræsenteret som produktet af en parentes og en eller anden tilbagevendende ligning af lige grad, og det ser til gengæld sådan ud: grad . Ifølge ovenstående Abel-Ruffini-sætning er en sådan ligning opløselig i radikaler op til , derfor er den gensidige ligning opløselig i radikaler op til graden [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
Det er også let at verificere ved induktion på , at polynomier af formen , hvor højst er polynomier af grad , er opløselige i radikaler i den generelle form . Et særligt tilfælde af formen , hvor er et polynomium af grad, kaldes en biquadratisk ligning og bliver skrevet på formen , har fire rødder lig med . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\dots ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\dots P_{n))$ $fire$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Lade være et irreducerbart polynomium over feltet , og være dets nedbrydningsfelt . Et polynomium er opløseligt i kvadratradikaler, hvis og kun hvis (det vil sige dimensionen som et lineært rum over et felt er lig med for nogle naturlige ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

Oprindelse af udtrykket

Med " radikaler " i alle de betragtede sætninger, mener vi de matematiske rødder af en heltalsgrad - dette ord kommer fra det latinske ord "radix" , som blandt andet har samme betydning. Da operationerne med addition og multiplikation , sammen med deres invers, også tilladt i algebraiske udtryk , er formelt defineret før eksponentiering, og dermed roden, er det roden, som den "yderste" tilladte operation, der vises i navnet på ejendom.

Fodnoter

↑ Her angiver indgangen den minimale feltudvidelse , der indeholder elementet , det vil sige skæringspunktet mellem alle udvidelser, der indeholder det . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Her angiver indgangen den minimale feltudvidelse , der indeholder elementet , det vil sige skæringspunktet mellem alle udvidelser, der indeholder det . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Her angiver indgangen den minimale feltudvidelse , der indeholder elementet , det vil sige skæringspunktet mellem alle udvidelser, der indeholder det . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f_{i}$ ${\displaystyle K_{i-1))$

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Adskillelige polynomier. Galois-gruppe. Udtrykbarhed i radikaler. Uløselige konstruktionsproblemer." . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 22. september 2018. (ubestemt)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Et par flere beviser fra bogen: løselighed og uløselighed af ligninger i radikaler" . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 20. januar 2021. (ubestemt)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Abel og hans store teorem" (Kvant magazine, 2003, januar) . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 20. januar 2022. (ubestemt)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra og talteori. Lærebog for pædagogiske institutter"
↑ 1 2 "Løsning af ligninger ved hjælp af en radikal" (Sommerkonference for byturneringen) . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 20. januar 2022. (ubestemt)
↑ 1 2 Alekseev V.B. "Abels sætning i problemer og løsninger" . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 6. august 2020. (ubestemt)
↑ Løsning af ligninger i radikaler (interaktiv information og rådgivningsmiljø) . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 10. august 2016. (ubestemt)
↑ A. Adler "Teori om geometriske konstruktioner" (utilgængeligt link) . Hentet 5. maj 2020. Arkiveret fra originalen 27. maj 2020. (ubestemt)
↑ 1 2 M. Balandin "Introduktion til konstruktioner med et kompas og en lineal"
↑ Forelæsning på Handelshøjskolen . Hentet 17. maj 2020. Arkiveret fra originalen 29. marts 2017. (ubestemt)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra og begyndelsen af analyse. Ligninger og uligheder"

Udtrykkelighed i radikale

For tal

Primære definitioner

Andre definitioner

Eksempler

Forklaringer

For funktioner , polynomier og ligninger

Primære definitioner

Andre definitioner

Eksempler

Forklaringer

Generelle egenskaber

Geometriske og trigonometriske sætninger

Funktionssætninger redigér

Polynomiske sætninger

Oprindelse af udtrykket

Fodnoter

Noter

Litteratur