Hypersfære

Hypersfære (fra andet græsk ὑπερ- " super- " + σφαῖρα "bold") er et hypersfære i - dimensionelt euklidisk rum , dannet af punkter lige langt fra et givet punkt, kaldet sfærens centrum . $n$

at , hypersfæren degenererer til to punkter lige langt fra centrum ; $n=1$
når det er en cirkel ; $n=2$
når en hypersfære er en kugle . $n=3$
når hypersfæren er en 3-sfære . $n=4$
når hypersfæren er en 4-sfære . $n=5$

…

når hypersfæren er en 7-sfære . 7-sfæren er bemærkelsesværdig ved, at denne dimension er den første, hvor der er eksotiske sfærer , det vil sige manifolder, der er homøomorfe til standard 7-sfæren, men ikke diffeomorfe. $n=8$

Afstanden fra hypersfærens centrum til dens overflade kaldes hypersfærens radius . En hypersfære er et -dimensionelt undermanifold i -dimensionelt rum , alle normalerne , som skærer hinanden i dets centrum. $(n-1)$ $n$

Ligninger

En hypersfære med radius centreret i et punkt er defineret som stedet for punkter, der opfylder betingelsen: $R$ $a=\venstre\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$

(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2} =R^{2}

Hypersfæriske koordinater

Som du ved, er polære koordinater beskrevet som følger:

x=\rho \cdot \cos \alpha

y=\rho \cdot \sin \alpha

og sfæriske koordinater som dette:

x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta

y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta

z=\rho \cdot \sin \beta

En n-dimensional kugle kan parametriseres af følgende sæt hypersfæriske koordinater :

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1))

\ldots

{\displaystyle x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1))

hvor og . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\i \venstre[-{\frac {\pi }{2)),{\frac { \pi }{2}}\right]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianeren af denne transformation er

J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

I en anden variant,

{\displaystyle x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

{\displaystyle x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1))

\ldots

x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{{n-1}}

hvor og . $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\i [0,\pi ]$ $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$

Jacobianeren i denne form er

J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n -2}\,\alpha _{n-1}

Areal og volumen

In - dimensionelt euklidisk rum for en hypersfære af dens dimension, overfladearealet og volumenet afgrænset af det ( volumenet af en n-dimensional kugle ) kan beregnes ved hjælp af formlerne [1] [2] : $n$ $n$ $S_{{n-1}}$ $V_{n}$

S_{n-1}=nC_{n}R^{n-1}

V_{n}=C_{n}R^{n}

hvor

C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)))

a er gammafunktionen . Dette udtryk kan gives en anden form: $\gamma (x)$

C_{{2k}}={\frac {\pi ^{k}}{k!)}}

C_{{2k+1}}={\frac {2^{{k+1}}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}

Her er den dobbelte faktor . $n!!$

Fordi

V_{n}/S_{n-1}=R/n

S_{n+1}/V_{n}=2\pi R

så opfylder kuglernes rumfang den tilbagevendende relation

V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{{n-2}}

og deres overfladearealer er relateret som

S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}

Følgende tabel viser, at enhedskuglen og kuglen får et ekstremt volumen for hhv . $S_{{6}}$ $V_{{5}}$

Arealer og volumener af hypersfærer og hyperbolde med en enhedsradius

Dimension	1 (længde)	2 (område)	3 (volumen)	fire	5	6	7	otte
enkelt kugle ( ) $S_{n}$	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Decimal optage	6,2832	12,5664	19,7392	26,3189	31.0063	33,0734	32,4697	29,6866
Enhed bold ( ) $V_{n}$	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Decimal optage	2.0000	3,1416	4,1888	4,9348	5,2638	5,1677	4,7248	4,0587

Rækken "dimension" i tabellen indeholder dimensionen af overfladen af den geometriske figur, og ikke dimensionen af det rum, hvori den er placeret. For en dimensionel kugle er dimensionen af dens "volumen" også , og dimensionen af dens "areal" er . $n$ $n$ $n-1$

Det skal bemærkes, at forholdet mellem volumen af den dimensionelle kugle og rumfanget af -terningen omgivet omkring den hurtigt falder med stigende , hurtigere end . $n$ $V_{n}=C_{n}R^{n}$ $n$ $2^{n}R^{n}$ $n$ ${\displaystyle 2^{-n))$

Topologi af hypersfæren

I dette afsnit mener vi med en kugle en n-dimensionel hypersfære, med en kugle mener vi en n-dimensionel hypersfære, det vil sige , , . $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{{n+1}}$ $B_{n}\hookrightarrow \mathbb{R} ^{n}$

Kuglen er homøomorf til faktoriseringen af bolden ved dens grænse . $S_{n}$ $B_{{n}}$
Bolden er homøomorf til faktoriseringen . $B_{n}$ $B_{n}\simeq (S_{{n-1}}\ gange [0,1])/(S_{{n-1}}\ gange \{1\})$
Kuglen er et cellulært rum . Den enkleste celledbrydning består af to celler, homeomorfe og . Det opnås direkte fra konstruktionen af en kugle som et faktorrum i en lukket bold. En cellepartition kan også konstrueres ved induktion, spaltning langs ækvator i to n-dimensionelle celler, homeomorphic , og en kugle , som er deres fælles grænse. $B_{0}={\mathrm {pt}}$ $B_{n}$ $S_{n}$ $B_{n}$ $S_{{n-1}}$

Noter

↑ Vinogradov I. M. Mathematical Encyclopedia. — M .: Nauka, 1977, — v. 5, s. 287, artiklen "Sfære" - formlen for volumen af en n-dimensionel kugle
↑ L. A. Maksimov, A. V. Mikheenkov, I. Ya. Polishchuk. Forelæsninger om statistisk fysik. Dolgoprudny, 2011. - s. 35, afledning af formlen for rumfanget af en n-dimensional kugle gennem Euler-Poisson-Gauss-integralet

Se også

Links

Hypersphere (projekt d'amatør). 4D Hypersphere og Meridian Approximation Modeling Programmer Arkiveret 19. januar 2008 på Wayback Machine
Hypersphere Imagination Trainer: Rubik's Cube in 4 or More Dimensions Arkiveret 25. januar 2018 på Wayback Machine

Dimension af rummet
Rum efter dimension	Nuldimensional endimensionel 2D 3D fire dimensionelle femdimensional Seksdimensional Syvdimensional oktal Ni-dimensional n-dimensionelle Negativ dimension
Polytoper og figurer	Simplex hyperkube tesseract Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkube Cross-polytope hypersfære
Typer af rum	et endeligt dimensionelt rum Euklidisk rum affint rum projektivt rum Gratis modul Manifold Dimension af en algebraisk variabel rumtid
Andre dimensionelle begreber	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Fraktionel dimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader af frihed
Matematik