To kropsproblem

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 11. december 2021; checks kræver 6 redigeringer .

I klassisk mekanik er to-kropsproblemet at bestemme bevægelsen af to materielle punkter , der kun interagerer med hinanden. Almindelige eksempler omfatter en satellit , der kredser om en planet , en planet, der kredser om en stjerne , to stjerner, der kredser om hinanden ( en dobbeltstjerne ), og en klassisk elektron , der kredser om en atomkerne .

To-legeme- problemet kan repræsenteres som to uafhængige et -legeme-problemer , der involverer en løsning for bevægelsen af en partikel i et eksternt potentiale . Da mange enkeltkropsproblemer kan løses nøjagtigt, kan det tilsvarende tokropsproblem også løses. Derimod kan tre-legeme- problemet (og mere generelt n-legeme-problemet ) ikke løses generelt undtagen i særlige tilfælde.

Begrænsninger

Tyngdekraften og andre eksempler på den omvendte kvadratlov

To-legeme-problemet i astronomi er bemærkelsesværdigt ved, at par af astronomiske objekter ofte bevæger sig hurtigt i vilkårlige retninger og er adskilt af store afstande fra hinanden og endnu længere væk fra andre objekter, og ydre påvirkninger på to-legeme-systemet er små nok at kunne negligere. Under påvirkning af tyngdekraften vil hver genstand i et par rotere rundt om et fælles massecenter i en elliptisk bane (endelig bevægelse), medmindre de bevæger sig hurtigt nok til at bevæge sig væk fra hinanden i det uendelige (uendelig bevægelse). baner med uendelig bevægelse er ikke-lukkede grænser af et fladt keglesnit med excentricitet - parabler ( ) eller hyperbler ( ). I dette tilfælde er den mekaniske energi af et par kroppe i referencerammen forbundet med deres massecenter ikke-negativ. Endelig bevægelse svarer til en lukket grænse for et fladt keglesnit - en ellipse med excentricitet . Endelig bevægelse (bevægelse i et begrænset område af rummet) af et system af to interagerende kroppe sker ved en negativ værdi af den mekaniske energi af et par kroppe i referencerammen forbundet med deres massecenter. $e\geqslant 1$ $e=1$ $e>1$ $0\leqslant e<1$

Hvis det ene objekt er meget tungere end det andet, så vil det bevæge sig meget langsommere end det andet i forhold til et fælles massecenter , som endda kan være inde i det større objekt. Matematiske løsninger på dette tilfælde er beskrevet i Kepler-problemet .

To-kropsproblemet er også anvendeligt til makroskopiske problemer om objekter, der interagerer ikke kun gennem tyngdekraften, men også gennem ethvert andet attraktivt skalarkraftfelt, der adlyder den omvendte kvadratlov, såsom elektrostatisk tiltrækning . I praksis opstår sådanne ikke-gravitationsproblemer sjældent. I det almindelige liv støder vi sjældent (eller aldrig) på elektrostatisk interagerende objekter, der bevæger sig hurtigt nok, undgår kollision og/eller er isoleret nok fra deres omgivelser til ikke at miste deres elektriske ladning.

Det dynamiske ligningssystem for to legemers bevægelse under påvirkning af et drejningsmoment viser sig at være Sturm-Liouville-ligningen [1] .

Ikke relevant for atomer og subatomære partikler

To-kropsmodellen betragter objekter forenklet som punktpartikler, mens den er et element i klassisk mekanik, er den kun anvendelig til makroskopiske skalasystemer, når modelfejlen kan negligeres. Mikroskopiske objekters (atomer og subatomære partikler) opførsel kan ikke forudsiges i den klassiske problemformulering på grund af en alt for stor fejl.

For eksempel omtales elektronerne i et atom nogle gange som "cirkler" omkring atomkernen, en forestilling overført fra Niels Bohrs tidlige hypotese, som er oprindelsen til begreberne "elektronbanebevægelse" og "elektronbane". I virkeligheden kredser elektroner ikke om kerner i nogen meningsfuld forstand, vi kan kun tale om sandsynligheden for at finde en elektron i en given position nær kernen af et atom. For en meningsfuld forståelse af en elektrons virkelige adfærd skal man bruge kvantemekanik. Løsningen af det klassiske tolegemeproblem for en elektron, der kredser om en atomkerne, er misvisende og har ingen forudsigelseskraft.

Udtalelse af problemet

Lad og være radiusvektorerne for to legemer, og lad være deres masser. Vores mål er at bestemme banerne og til enhver tid , for givne indledende koordinater ${\displaystyle \mathbf {r} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2))$ $m_{{1}}$ $m_{{2}}$ $\mathbf {r} _{1}(t)$ $\mathbf {r} _{2}(t)$ $t$

\mathbf {r} _{1}(0)

\mathbf {r} _{2}(0)

og hastigheder

{\dot {\mathbf {r} }}_{1}(0)

, .

{\dot {\mathbf {r} }}_{2}(0)

Newtons anden lov, som anvendt på et givet system, siger det

\mathbf {F} _{12}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_ {1}\quad \quad \quad(1)

\mathbf {F} _{21}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_ {2}\quad \quad \quad(2)

hvor

{\mathbf {F}}_{{12}}

er den kraft, der virker på det første legeme på grund af samspillet med det andet legeme, og

{\mathbf {F}}_{{21}}

er kraften, der virker på det andet legeme fra det første.

Ved at addere og trække disse to ligninger fra, kan et problem opdeles i to problemer med samme krop, som kan løses uafhængigt af hinanden. "Tilføjelse af" ligning (1) og (2) fører til en ligning, der beskriver bevægelsen af massecentret . I modsætning hertil resulterer "at trække" ligning (2) fra ligning (1) i en ligning, der beskriver, hvordan vektoren mellem masserne ændrer sig over tid. Løsningen af disse uafhængige problemer kan hjælpe med at finde banerne og . ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r} _{1}(t)$ $\mathbf {r} _{2}(t)$

Bevægelse af massecentret (første opgave)

Tilføjelse af ligning (1) og (2) fører til lighed

m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=(m_{1}+m_ {2}){\ddot {\mathbf {r} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0

hvor vi brugte Newtons tredje lov og hvor ${\mathbf {F}}_{{12}}=-{\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {r} _{cm}\equiv {\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1 }+m_{2}}}

positionen af systemets massecenter. Ligningen vil til sidst blive skrevet i formen

{\ddot {\mathbf {r} }}_{cm}=0

Det viser, at massecentrets hastighed er konstant. Det følger heraf, at det samlede vinkelmomentum også bevares ( bevarelse af momentum ). Positionen og hastigheden af massecentret kan opnås til enhver tid. ${\dot {\mathbf {r} }}_{cm}$ $m_{1}{\dot {\mathbf {r} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{2}$

Bevægelse af forskydningsvektoren (andet problem)

Trækker vi ligning (2) fra ligning (1) og transformerer, når vi frem til ligningen

{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12 }}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}} }+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}

hvor vi igen brugte Newtons tredje lov og hvor (defineret ovenfor) er forskydningsvektoren rettet fra det andet legeme til det første. ${\mathbf {F}}_{{12}}=-{\mathbf {F}}_{{21}}$ $\mathbf {r}$

Kraften mellem to legemer skal kun være en funktion og ikke af de absolutte positioner og ; ellers har problemet ikke translationel symmetri , hvilket betyder, at fysikkens love vil ændre sig fra punkt til punkt. Det er således muligt at skrive: $\mathbf {r}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2))$

m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})=\mathbf { F} (\mathbf {r} )

hvor er den reducerede masse . $m$

m={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1))}+{\frac {1}{m_{2))))}={\frac {m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}

Når vi har fundet en løsning på og , kan de indledende baner skrives som $\mathbf {r} _{cm}(t)$ ${\mathbf {r}}(t)$

\mathbf {r} _{1}(t)=\mathbf {r} _{cm}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}} \mathbf {r} (t)

\mathbf {r} _{2}(t)=\mathbf {r} _{cm}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}} \mathbf {r} (t)

som det kan vises ved at erstatte i ligningerne for og . $\mathbf {r} _{cm}(t)$ ${\mathbf {r}}(t)$

Løsning af to-legeme-problemet for gravitationskræfter

Lad gravitationel tiltrækning virke mellem kroppe . Kraften, der virker mellem dem er:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-Gm_{1}m_{2}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3))}.

Bevægelsesligningen vil blive skrevet som

m{\ddot {\mathbf {r} }}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}},

eller

{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} }{r^{3}}},

hvor

\mu =G({m_{1}+m_{2))).\;\;\;(3)

Vektorielt gange den sidste ligning med r og integrere, får vi

\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0;

\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} .

Konstanten h , som er integrationskonstanten, kaldes systemets impulsmomentum. Gensidig bevægelse af legemer sker i et plan vinkelret på denne vektor. Lad os introducere et system af cylindriske koordinater r , φ, z . Enhedsvektorer langs de radiale, tværgående og vertikale akser vil blive betegnet som i , j og k . Hastighedsprojektionerne på den radiale og tværgående akse vil være

{\dot {\mathbf {r} }}_{r}=\mathbf {i} {\dot {r}};~~~{\dot {\mathbf {r} }}_{\phi }=\mathbf {j} r{\dot {\phi )),~~~{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi )).

Derefter

\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} ;

\mathbf {i} r\times (\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }})=\mathbf {k} h;

\mathbf {i} r\times \mathbf {j} r{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

\mathbf {k} r^{2}{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;

r^{2}{\dot {\phi }}=h.

På venstre side af det sidste udtryk er to gange arealet af trekanten beskrevet af radiusvektoren r pr. tidsenhed. Dette forhold er således den matematiske notation af Keplers anden lov.

Vi multiplicerer ligning (3) skalært med hastigheden og integrerer. Få

verbose output

{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac ({\dot {\mathbf {r}}}\cdot \mathbf {r} }{r^{3}}};

Lad os skrive det sidste udtryk i koordinater:

{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{ 2}y}{dt^{2))}=-{\frac {\mu }{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3))))\ venstre(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}\right);

{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy }{dt))\right)=-{\frac {\mu \left(xdx+ydy\right)}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 }}}}.

Læg mærke til det

d\left(r^{2}\right)=d\left(x^{2}+y^{2}\right)=2xdx+2ydy.

Derefter

{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy }{dt}}\right)=-{\frac {\mu }{2}}\left(r^{2}\right)^{-3/2}d\left(r^{2}\right ).

At integrere begge dele, får vi

{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {\left(r^{2}\right)^{-1/2}} {-1/2}}+C;

{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\mu }{r}}+C;

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=C.

Den sidste relation er et udtryk for loven om bevarelse af mekanisk energi i systemet.

Bevægelse af to kroppe i et plan

Det er bemærkelsesværdigt, at bevægelsen af to legemer altid sker i et plan. Definer lineært momentum og vinkelmomentum ${\mathbf {p}}=\mu {\dot {{\mathbf {r}}}}$

{\mathbf {L}}={\mathbf {r}}\ gange {\mathbf {p}}

Ændringshastigheden af vinkelmomentum er lig med kraftmomentet ${\mathbf {N}}$

{\frac {d{\mathbf {L}}}{dt}}={\dot ({\mathbf {r}}}}\times \mu {\dot {{\mathbf {r}}}}+{ \mathbf {r}}\times \mu {\ddot {{\mathbf {r}}}}={\mathbf {r}}\times {\mathbf {F}}={\mathbf {N}}

Newtons bevægelseslove er dog gyldige for alle fysiske kræfter, og de siger, at kraften, der virker mellem to materielle punkter, er rettet langs linjen, der forbinder deres positioner, dvs. Derfor er vinkelmomentet bevaret . Så ligger forskydningsvektoren og dens hastighed i et plan vinkelret på den konstante vektor . ${\mathbf {F}}||{\mathbf {r}}$ ${\mathbf {r}}\ gange {\mathbf {F}}=0$ $\mathbf {r}$ ${\dot {{\mathbf {r}}}}$ $\mathbf{L}$

Generel løsning for afstandsafhængig kraft

Det er ofte nyttigt at skifte til polære koordinater , da bevægelsen er i et plan, og for mange fysiske problemer er kraften en funktion af radius ( centralkræfter ). Da r- komponenten af accelerationen er lig , kan ligningen for r- komponenten af forskydningsvektoren omskrives som ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ $r$ ${\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{{2}}$ $\mu {\ddot {{\mathbf {r}}}}={\mathbf {F}}(r)\equiv F(r)$

\mu {\frac {d^{{2}}r}{dt^{{2}}}}-\mu r\omega ^{{2}}=\mu {\frac {d^{{2} }r}{dt^{{2))))-{\frac {L^{{2))}{\mu r^{{3))))=F(r)

hvor og vinkelmomentet er bevaret. Bevarelse af vinkelmomentum vil gøre det muligt at finde en løsning for banen ved hjælp af en ændring af variable. Går fra til $\omega \equiv {\dot \theta }$ $L=\mu r^{{2}}\omega$ $r(\theta)$ $t$ $\theta$

{\frac {d}{dt}}={\frac {L}{\mu r^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}

får vi bevægelsesligningen

{\frac {L}{r^{{2}}}}{\frac {d}{d\theta }}\venstre({\frac {L}{\mu r^{{2}}}}{ \frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{{2}}}{\mu r^{{3}}}}=F(r)

Denne ligning bliver kvasi -lineær ved ændring af variable og multiplicering af begge sider af ligningen med $u\equiv {\frac {1}{r))$ ${\frac {\mu r^{{2}}}{L^{{2}}}}={\frac {\mu}{L^{{2}}u^{{2}}}}$

{\frac {d^{{2}}u}{d\theta ^{{2}}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{{2}}u^{{2} }}}F(1/u)

Ansøgning

For kræfter omvendt proportional med kvadratet af afstanden, såsom tyngdekraft eller elektrostatisk tiltrækning i klassisk fysik , får vi $F$

F={\frac {\alpha }{r^{{2))))=\alpha u^{{2}}

for nogle konstanter bliver ligningen for baner lineær $\alfa$

{\frac {d^{{2}}u}{d\theta ^{{2}}}}+u={\frac {\alpha \mu}{L^{{2}}}}

Løsning på denne ligning

u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}={\frac {\alpha \mu }{L^{{2))))+A\cos(\theta -\ theta _{{0}})

hvor og er konstanter. Denne løsning viser, at kredsløbet er grænsen for et keglesnit , det vil sige en ellipse , hyperbel eller parabel , afhængig af om udtrykket er mindre end , større end eller lig med. $A>0$ $\theta _{{0}}$ $EN$ ${\frac {\alpha \mu }{L^{{2))))$

To-kropsproblemet i generel relativitetsteori

Den normale bane for ethvert legeme, der fanges af en anden krops tiltrækning, er en ellipse eller en cirkel - det er de kredsløb, vi observerer i solsystemet. Den almene relativitetsteori siger dog, at i nærheden af ekstremt massive legemer - hvor rummet er stærkt buet på grund af tilstedeværelsen af et kolossalt gravitationsfelt - udvides spektret af mulige stabile baner kraftigt. Tværtimod viser baner, der er stabile i det klassiske to-legeme-problem, at være ustabile i det relativistiske to-legeme-problem. I små afstande fra tiltrækningscentret forsvinder "centrifugalbarrieren", der eksisterer i det klassiske Kepler-problem, hvilket ikke tillader testpartiklen at falde ned på tiltrækningscentret.

Faktisk, selv i et relativt svagt gravitationsfelt i solsystemet, observeres relativistiske afvigelser fra klassiske elliptiske baner. En sådan afvigelse for Merkur (rotation af perihelion af kredsløbet med en hastighed på omkring 43 buesekunder pr. århundrede), ikke forudsagt af newtonsk mekanik, var kendt længe før skabelsen af den generelle relativitetsteori, som var i stand til at forklare denne tidligere mystiske effekt .

Eksempel

Ethvert klassisk system, der består af to partikler, er per definition et to-legeme problem. I mange tilfælde er det ene legeme dog meget tungere end det andet, som for eksempel i Jord - sol -systemet . I sådanne tilfælde spiller en tungere partikel rollen som et massecenter, og problemet reduceres til problemet med et legemes bevægelse i et andet legemes potentielle felt [2] .

Faktisk betragter Newtons universelle gravitationslov netop en sådan situation, så langt på planeten er dens nøjagtighed nok med et enormt overskud. Man skal dog ikke glemme, at der er risiko for at miste nøjagtigheden af de beregninger, der kræves til reelle handlinger - hvis forenklingen misbruges. Især uden at tage hensyn til vekselvirkningen mellem masser eller med andre ord begge legemers gravitations-inertiale potentialer [3] [4] , er moderne rumberegninger umulige. At finde stedet for rotationscentret i et mere massivt legeme er vagt, og i virkeligheden skal andre kroppe og felter stadig tages i betragtning. En foreløbig analyse er nødvendig, især ved beregning af stabile og stationære baner: Multipel rotation vil uundgåeligt akkumulere unøjagtigheder op til en uacceptabel fejlværdi.

Se også

Noter

↑ Luo, Siwei (22. juni 2020). "Sturm-Liouville-problemet med to-kropssystemet". Journal of Physics Communications . 4 . DOI : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
↑ David Shiga. 'Periodisk tabel' organiserer zoo af sorte hullers baner . NewScientist.com (13. februar 2008). Arkiveret fra originalen den 3. juni 2012. (ubestemt)
↑ Mazhenov, Nurbek. Forfinet Newtons lov om universel gravitation . © NiT. Fortryk, 1997. . nt.ru (23. maj 2000). — "... Newtons lov om universel gravitation er et specialtilfælde af formlerne (4) og (5)." Parametrene for begge organer tages i betragtning. Tiltrækningskraften F er generel, accelerationer er omvendt proportional med kroppens masser. Adgangsdato: 15. april 2019. Arkiveret 14. august 2017. (ubestemt)
↑ VU Huy Toan. Inertiens natur (juni 2013). Hentet 15. april 2019. Arkiveret fra originalen 6. august 2017. (ubestemt)

Litteratur

Teoretisk fysikkursus af Landau og Lifshitz
H. Goldstein, (1980) Klassisk mekanik , 2. red., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk norsk Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	BNF : 122621959 GND : 4191237-8 J9U : 987007558418005171 LCCN : sh85139054

Himmelsk mekanik

Love og opgaver	Newtons love Tyngdeloven Keplers love To kropsproblem Tre kropsproblem Gravitationelt N-legeme problem Bertrands problem Keplers ligning
Himmelsfære	Himmelsk koordinatsystem galaktisk vandret ækvatorial ekliptik Internationalt himmelsk koordinatsystem Sfærisk koordinatsystem verdens akse Himmelsk ækvator højre opstigning deklination Ekliptik Equinox Solhverv grundplan
Baneparametre _	Kepleriske elementer i kredsløbet excentricitet semi-hovedakse betyder anomali stigende node længdegrad periapsis argument Apocenter og periapsis Orbital hastighed Orbit node Epoke
Bevægelse af himmellegemer	Solens og planeternes bevægelse i himmelsfæren Ephemeris Planet konfigurationer konfrontation sammensatte kvadratur forlængelse parade af planeter Formørkelse solformørkelse måneformørkelse saros Metonisk cyklus Belægning Går igennem klimaks siderisk periode synodisk periode Rotationsperiode orbital resonans Equinox præludium Tilnærmelse librering Tyngdekraftens omfang Kozai effekt Yarkovsky effekt Dzhanibekov effekt

Astrodynamik

Rumfart	rumhastighed første (cirkulær) anden (parabolsk) tredje fjerde Tsiolkovskys formel Tyngdekraftsmanøvre Hohmanns bane Metode til at oskulere elementer Tidevandsacceleration Orbital hældningsændring Interplanetarisk transportnetværk Docking Lagrange punkter Pioneer effekt
SC -kredsløb	geostationær bane Heliocentrisk bane geosynkron bane geocentrisk bane geotransfer kredsløb Lav kredsløb om jorden polar bane Orbit "Tundra" Solsynkron bane Orbit "Lyn" Oskulerende kredsløb