Irrationelt tal

Irrationelle tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π og π

Et irrationelt tal er et reelt tal , der ikke er rationelt , det vil sige, at det ikke kan repræsenteres som en almindelig brøk , hvor er heltal , [1] . Et irrationelt tal kan repræsenteres som en uendelig ikke-gentagende decimal . ${\frac {m}{n}}$ $m,n$ $n\neq 0$

Med andre ord er mængden af irrationelle tal forskellen mellem mængderne af reelle og rationelle tal. $\mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$

Eksistensen af irrationelle tal (mere præcist segmenter , der ikke kan sammenlignes med et segment af enhedslængde) var allerede kendt af gamle matematikere: de kendte for eksempel inkommensurabiliteten af diagonalen og siden af kvadratet, hvilket svarer til irrationalitet af tallet [2] . ${\sqrt {2}}$

Irrationelle er blandt andet forholdet mellem omkredsen og diameteren af en cirkel (tallet π ), bunden af den naturlige logaritme e , det gyldne snit φ , kvadratroden af to [3] [4] [5] . Alle kvadratrødder af naturlige tal, undtagen perfekte kvadrater , er irrationelle.

Irrationelle tal kan også ses i form af uendelige fortsatte brøker . En konsekvens af Cantors bevis er, at reelle tal ikke kan tælles , men rationelle tal kan tælles, hvorfor det følger, at næsten alle reelle tal er irrationelle [6] .

Egenskaber

Summen af to positive irrationelle tal kan være et rationelt tal.
Irrationelle tal definerer Dedekind-sektioner i sættet af rationelle tal, der ikke har det største tal i den lavere klasse og ikke det mindste tal i den øverste.
Sættet af irrationelle tal er overalt tæt på den reelle linje: mellem to forskellige tal er der et irrationelt tal.

Algebraiske og transcendentale tal

Hvert irrationelt tal er enten algebraisk eller transcendentalt . Sættet af algebraiske tal er et tælleligt sæt . Da mængden af reelle tal er utællelig, er mængden af irrationelle tal også utællelig.

Ethvert reelt transcendentalt tal er irrationelt; Et algebraisk tal kan enten være rationelt eller irrationelt.

Sættet af irrationelle tal er et sæt af den anden kategori [7] .

Irrationelle tal og fortsatte brøker

Et irrationelt tal er repræsenteret ved en uendelig fortsat brøk . Eksempel nummer e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].

Kvadratiske irrationaliteter svarer til periodiske fortsatte brøker.

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].

Eksempler

Irrationelle er:

${\sqrt {n}}$ for enhver natur , der ikke er en perfekt firkant $n$
Antal $e$ og også for enhver rationel $e^{x}$ $x\neq 0$
$\ln x$ for enhver positiv fornuft $x\neq 1$
Antal $\pi$ og også for enhver rationel $\pi ^{x}$ $x \ne 0$

Eksempler på beviser for irrationalitet

Rod af 2

Antag det modsatte: det er rationelt , det vil sige, det er repræsenteret som en brøk , hvor er et heltal , og er et naturligt tal . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Lad os kvadrere den formodede lighed:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

I den kanoniske udvidelse af venstre side af ligheden kommer tallet ind i lige grad, og i udvidelsen - i en ulige. Derfor er ligestilling umulig. Derfor var den oprindelige antagelse forkert og er et irrationelt tal. $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Den binære logaritme af tallet 3

Antag det modsatte: det er rationelt , det vil sige, det er repræsenteret som en brøk , hvor og er heltal . Siden , og kan tages positivt. Derefter $\log _{2}3$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\log _{2}3>0$ $m$ $n$

\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2 }3}\Højrepil 2^{m}=3^{n}

Men lige, og den rigtige side af den resulterende lighed er mærkelig. Vi får en modsigelse. $2^{m}$

e

Se afsnittet "Bevis for irrationalitet" i artikel "e" .

Historie

Antikken

Begrebet irrationelle tal blev implicit adopteret af indiske matematikere i det 7. århundrede f.Kr., da Manawa (ca. 750-690 f.Kr.) fandt ud af, at kvadratrødderne af nogle naturlige tal, såsom 2 og 61, ikke kunne udtrykkes eksplicit. .

Det første bevis på eksistensen af irrationelle tal, eller rettere eksistensen af inkommensurable segmenter, tilskrives sædvanligvis Pythagoras Hippasus af Metapontus (ca. 470 f.Kr.) [8] . Der er ingen nøjagtige data om irrationaliteten af hvilket nummer der blev bevist af Hippasus. Ifølge legenden fandt han det, mens han studerede længderne af siderne af pentagrammet [9] [10] . Derfor er det rimeligt at antage, at dette var det gyldne snit , da dette er forholdet mellem diagonalen og siden i en regulær femkant.

Græske matematikere kaldte dette forhold mellem usammenlignelige mængder alogos (uudsigelige), men ifølge legenderne viste de ikke behørig respekt for Hippasus. Der er en legende om, at Hippasus gjorde opdagelsen, mens han var på en sørejse og blev kastet over bord af andre pythagoræere "for at skabe et element i universet, som benægter doktrinen om, at alle enheder i universet kan reduceres til hele tal og deres forhold. " Opdagelsen af Hippasus udgjorde et alvorligt problem for Pythagoras matematik og ødelagde den underliggende antagelse om, at tal og geometriske objekter er ét og uadskillelige.

Feodor Kirensky beviste [11] irrationaliteten af rødderne af naturlige tal op til 17 (undtagen naturligvis nøjagtige kvadrater - 1, 4, 9 og 16), men stoppede der, da algebraen i hans værktøjssæt ikke tillod bevis irrationaliteten af kvadratroden af 17. Med hensyn til, hvad dette bevis kunne have været, er flere forskellige formodninger blevet fremsat af matematikhistorikere. Ifølge det mest plausible [12] forslag fra Jean Itard , var det baseret på sætningen, at et ulige kvadrattal er deleligt med otte med en rest af en [13] .

Senere udviklede Eudoxus af Cnidus (410 eller 408 f.Kr. - 355 eller 347 f.Kr.) en teori om proportioner, der tog hensyn til både rationelle og irrationelle forhold. Dette tjente som grundlag for at forstå den grundlæggende essens af irrationelle tal. Værdien begyndte ikke at blive betragtet som et tal, men som en betegnelse af entiteter, såsom linjestykker, vinkler, arealer, volumener, tidsintervaller - enheder, der kan ændre sig kontinuerligt (i den moderne betydning af ordet). Værdier var i modsætning til tal, der kun kan ændres ved at "springe" fra et tal til det næste, for eksempel fra 4 til 5 [14] . Tal er opbygget af den mindste udelelige mængde, mens mængder kan reduceres i det uendelige.

Da ingen kvantitativ værdi blev sammenlignet med en mængde, var Eudoxus i stand til at dække både sammenlignelige og inkommensurable mængder ved at definere en brøk som forholdet mellem to mængder og proportion som ligheden mellem to brøker. Ved at fjerne kvantitative værdier (tal) fra ligninger undgik han fælden med at skulle kalde en irrationel størrelse for et tal. Teorien om Eudoxus tillod de græske matematikere at gøre utrolige fremskridt inden for geometri, hvilket gav dem det nødvendige rationale for at arbejde med uforlignelige mængder [15] . Den tiende bog af " Begyndelser " af Euklid er viet til klassificeringen af irrationelle størrelser.

Middelalder

Middelalderen var præget af vedtagelsen af sådanne begreber som nul, negative tal, heltal og brøktal, først af indiske, derefter af kinesiske matematikere. Senere sluttede arabiske matematikere sig til, som var de første til at betragte negative tal som algebraiske objekter (sammen med lige rettigheder med positive tal), hvilket tillod udviklingen af den disciplin, der nu kaldes algebra.

Arabiske matematikere kombinerede de antikke græske begreber "tal" og "værdi" til en enkelt, mere generel idé om reelle tal. De var kritiske over for Euklids ideer om relationer, i modsætning til den udviklede de teorien om relationer af vilkårlige størrelser og udvidede talbegrebet til relationer af kontinuerlige størrelser. I sine kommentarer til bog 10 af Euklids elementer udforskede og klassificerede den persiske matematiker al-Mahani (ca. 800 e.Kr.) kvadratiske irrationelle tal og de mere generelle kubiske irrationelle tal. Han gav en definition af rationelle og irrationelle størrelser, som han kaldte irrationelle tal. Han opererede let på disse objekter, men han ræsonnerede som separate objekter, for eksempel [16] :

En rationel [værdi] er for eksempel 10, 12, 3%, 6% og så videre, da disse værdier udtales og udtrykkes kvantitativt. Hvad der ikke er rationelt er irrationelt, og det er umuligt at udtale eller kvantificere den tilsvarende værdi. For eksempel er kvadratrødderne af tal som 10, 15, 20 ikke kvadrater.

I modsætning til Euklids koncept om, at mængder primært er linjestykker, anså Al Mahani heltal og brøker for at være rationelle størrelser, og kvadrat- og terningrødder for at være irrationelle. Han introducerede også en aritmetisk tilgang til sættet af irrationelle tal, da det var ham, der viste irrationaliteten af følgende størrelser [16] :

resultatet af at addere en irrationel størrelse og en rationel, resultatet af at trække en rationel mængde fra en irrationel, resultatet af at trække en irrationel mængde fra en rationel.

Den egyptiske matematiker Abu Kamil (ca. 850 e.Kr. - ca. 930 CE) var den første, der fandt det acceptabelt at genkende irrationelle tal som løsninger til andengradsligninger eller som koefficienter i ligninger - for det meste i form af kvadrat- eller kubikrødder. som rødder af fjerde grad [17] . I det 10. århundrede leverede den irakiske matematiker Al-Hashimi generelle beviser (i stedet for visuelle geometriske demonstrationer) af produktets irrationalitet, kvotienten og resultaterne af andre matematiske transformationer af irrationelle og rationelle tal [18] . Al-Khazin (900 CE - 971 CE) giver følgende definition af rationel og irrationel mængde [19] :

Lad en enkelt værdi være indeholdt i en given værdi en eller flere gange, så svarer denne [givne] værdi til et heltal ... Hver værdi, der er en halv, eller en tredjedel, eller en fjerdedel af en enkelt værdi, eller sammenlignet med en enkelt værdi, er tre femtedele af den, denne rationelle værdi. Og generelt er enhver mængde, der er relateret til enheden som et tal er til en anden, rationel. Hvis værdien ikke kan repræsenteres som flere eller en del (l / n), eller flere dele (m / n) af enhedslængde, er den irrationel, det vil sige uudsigelig undtagen ved hjælp af rødder.

Mange af disse ideer blev senere adopteret af europæiske matematikere efter oversættelsen af arabiske tekster til latin i det 12. århundrede. Al Hassar, en arabisk matematiker fra Maghreb, der specialiserede sig i islamiske arvelove, introducerede moderne symbolsk matematisk notation for brøker i det 12. århundrede, og adskilte tæller og nævner med en vandret streg [20] . Den samme notation optrådte derefter i Fibonaccis værker i det trettende århundrede [21] . I løbet af XIV-XVI århundreder. Madhava fra Sangamagrama og repræsentanter for Kerala School of Astronomy and Mathematics undersøgte uendelige serier, der konvergerer til nogle irrationelle tal, for eksempel til , og viste også irrationaliteten af nogle værdier af trigonometriske funktioner. Jestadeva rapporterede disse resultater i bogen Yuktibhaza. $\pi$

Ny tid

I det 17.-18. århundrede blev komplekse tal fast etableret i matematikken , hvis bidrag til undersøgelsen blev givet af Abraham de Moivre (1667-1754) og Leonard Euler (1707-1783). Da teorien om komplekse tal i det 19. århundrede blev lukket og klar, blev det muligt at klassificere irrationelle tal i algebraiske og transcendentale (samtidigt med at bevise eksistensen af transcendentale tal), og derved genoverveje Euklids arbejde med klassificeringen af irrationelle tal. Værker af Weierstrass , Heine , Cantor og Dedekind blev udgivet om dette emne i 1872 . Selvom Meret allerede i 1869 begyndte overvejelser, der ligner Heines værker, er det 1872, der anses for at være teoriens fødselsår. Weierstrass-metoden blev fuldt ud forklaret af Salvatore Pinkerle i 1880 [22] , og Dedekind modtog yderligere berømmelse fra forfatterens senere arbejde (1888) og godkendelsen af Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor og Heine begrundede deres teorier med uendelige rækker, mens Dedekind arbejdede med (nu såkaldte) Dedekind-sektioner af mængden af reelle tal, idet de opdelte alle rationelle tal i to mængder med visse karakteristiske egenskaber.

Fortsatte brøker , tæt beslægtet med irrationelle tal (den fortsatte brøk, der repræsenterer et givet tal er uendelig, hvis og kun hvis tallet er irrationelt), blev først undersøgt af Cataldi i 1613, og tiltrak sig derefter igen opmærksomhed i Eulers værker og i de tidlige XIX århundrede - i Lagranges værker . Dirichlet ydede også et væsentligt bidrag til udviklingen af teorien om fortsatte fraktioner. I 1761, ved hjælp af fortsatte brøker, viste Lambert, at det ikke er et rationelt tal, og også at og er irrationelle for enhver ikke-nul-rational [23] . Selvom Lamberts bevis kan kaldes ufuldstændigt, anses det generelt for at være ret strengt, især i betragtning af den tid, det blev skrevet. Legendre i 1794, efter at have introduceret Bessel-Clifford-funktionen , viste, at irrationel, hvorfra irrationalitet følger trivielt (et rationelt tal kvadreret ville give et rationelt tal). $\pi$ $e^{x}$ $\operatørnavn {tg}x$ $x$ $\pi ^{2}$ $\pi$

Eksistensen af transcendentale tal blev bevist af Liouville i 1844-1851. Senere viste Georg Cantor (1873) deres eksistens ved hjælp af en anden metode og beviste, at ethvert interval i den reelle række indeholder uendeligt mange transcendentale tal. Charles Hermite beviste i 1873, at e er transcendent, og Ferdinand Lindemann viste i 1882, baseret på dette resultat, transcendens . Lindemanns bevis blev derefter forenklet af Weierstrass i 1885, yderligere forenklet af David Hilbert i 1893 og endelig bragt til et næsten elementært niveau af Adolf Hurwitz og Paul Gordan [24] . $\pi$

Se også

Noter

↑ Rationelt tal // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ History, 1970 , bind 1, s. 73.
↑ De 15 mest berømte transcendentale tal arkiveret 24. oktober 2007 på Wayback Machine . af Clifford A. Pickover . URL hentet 24. oktober 2007.
↑ Irrationelle tal arkiveret 29. august 2010 på Wayback Machine // mathsisfun.com; URL hentet 24. oktober 2007.
↑ Weisstein, Eric W. Irrational Number på Wolfram MathWorld- webstedet . URL hentet 26. oktober 2007.
↑ Kantor, Georg. Bidrag til grundlæggelsen af teorien om transfinite tal / Philip Jourdain. - New York: Dover, 1955. - ISBN 978-0-486-60045-1 .
↑ Ilyin, Sadovnichy, Sendov, 2006 , s. 64.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 .
↑ James R. Choike. Pentagrammet og opdagelsen af et irrationelt tal // The Two-Year College Mathematics Journal :magasin. - 1980.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 , s. 242-264.
↑ History, 1970 , T 1. Fra oldtiden til begyndelsen af den nye tidsalder, s. 74.
↑ A. I. Shchetnikov. Hvordan gamle græske matematikere beviste irrationalitet. Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine
↑ Jean Itard. Les livres arithmétiques d'Euclide . — Paris: Hermann, 1961. Arkiveret 22. november 2015 på Wayback Machine
↑ Kline 1990, s.48.
↑ Kline 1990, s.49.
↑ 1 2 Matvievskaya, 1987 , s. 253-277 [259].
↑ Jacques Sesiano, "Islamisk matematik", s. 148, i Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Matematik på tværs af kulturer: historien om ikke-vestlig matematik (engelsk) . - Springer , 2000. - ISBN 1-4020-0260-2 . .
↑ Matvievskaya, 1987 , s. 253-277 [260].
↑ Matvievskaya, 1987 , s. 253-277 [261].
↑ Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations (Vol. 1) , La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company s. 269.
↑ ( Cajori 1928 , s. 89)
↑ Salvatore Pincherle. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass (italiensk) // Giornale di Matematiche: diario. - 1880. - S. 178-254,317-320 .
↑ JH Lambert. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logaritmiques (fransk) // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin: magasin. - 1761. - S. 265-322 . Arkiveret fra originalen den 28. april 2016.
↑ Gordon, Paul. Transcendenz von e und π // Mathematische Annalen . - Teubner, 1893. - T. 43 . - S. 222-224 . - doi : 10.1007/bf01443647 .

Litteratur

V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reelle tal//Matematisk analyse/Red. A.N. Tikhonova . -3. udg. , revideret og yderligere -M.: Prospekt, 2006. - T. 1. - 672 s. —ISBN 5-482-00445-7.
Matematikkens historie fra oldtiden til begyndelsen af det 19. århundrede. I tre bind / udg. Jusjkevitj. — M .: Nauka, 1970.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Originalværk udgivet 1972).
Matvievskaya, Galina. Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics // Annals of the New York Academy of Sciences : journal. - 1987. - Bd. 500 . - doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x .
Kurt von Fritz. The Discovery of Incommensurability af Hippasus of Metapontum (engelsk) // The Annals of Mathematics : journal. - 1945.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk catalansk Fantastisk norsk Stor russer Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4162426-9 J9U : 987007538749205171 LCCN : sh85093213 NKC : ph812800

Numeriske systemer
Tællelige sæt	Naturlige tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationel ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beregnbar Aritmetik
Reelle tal og deres forlængelser	Ægte ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Kompleks ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonioner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Skifter Dobbelt Hyperkompleks Superrealistisk Hypermateriale surrealistisk
Numeriske udvidelsesværktøjer	Cayley-Dixon procedure Frobenius sætning Hurwitz-sætning
Andre nummersystemer	kardinalnumre Ordinaltal (transfinite, ordinaler) p-adic Overnaturlige tal intervaltal
se også	dobbelte tal Irrationelle tal transcendentale tal nummerstråle Biquaternion

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk