Functor Hom

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. december 2019; verifikation kræver 1 redigering .

I kategoriteori tillader Hom-sæt (det vil sige sæt af morfismer mellem to objekter) at definere vigtige funktorer i kategorien af mængder . Disse funktorer kaldes Hom-funktioner og har adskillige anvendelser inden for kategoriteori og andre matematikområder.

Definition

Lad C være en lokalt lille kategori af . Derefter defineres følgende to funktioner for et hvilket som helst af dets objekter A , B :

Hom( A ,-) : C → Indstil	Hom(-, B ): C → Indstil
Dette er en kovariant funktion defineret som følger: Hom( A ,-) kortlægger hvert objekt X i kategori C til mængden af morfismer Hom( A , X ) Hom( A ,-) kortlægger hver morfi f : X → Y til en funktion Hom( A , f ) : Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) givet som $g\mapsto f\circ g$ for hvert g i Hom( A , X ).	Dette er en kontravariant funktion defineret som følger: Hom(-, B ) kortlægger hvert objekt X i kategori C til mængden af morfismer Hom( X , B ) Hom(-, B ) kortlægger hver morfismer h : X → Y til en funktion Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) givet af $g\mapsto g\circ h$ for hvert g i Hom( Y , B ).

Funktoren Hom(-, B ) kaldes også punktfunktoren for objektet B .

Det er også muligt at definere en bifunktør Hom(-,-) fra C × C til Sæt , der er kontravariant i det første argument og kovariant i det andet. Eller tilsvarende en funktionær

Hom(-,-) : C op × C → Indstil

hvor C op er den dobbelte kategori af C .

Indre functor Hom

I nogle kategorier er det muligt at definere en funktion, der ligner funktoren Hom, men hvis værdier ligger i selve kategorien. En sådan funktor kaldes den indre funktor Hom og betegnes

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\gange C\til C

Kategorier, der tillader en indre Hom-funktion, kaldes lukkede kategorier . Da i en lukket kategori (her er jeg enheden for den lukkede kategori), kan denne omskrives som $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

I tilfælde af en lukket monoidal kategori kan dette udvides til den såkaldte currying , dvs. en isomorfisme

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\nogle gange Y,Z)

hvor er . $Y\Højrepil Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Relaterede definitioner

En funktor af formen Hom(-, C) : C op → Sæt er en presheaf ; derfor kan Hom(C, -) kaldes en copresheaf.
En funktion F : C → Sæt naturligt isomorf til Hom(X, -) for et objekt C kaldes en repræsentabel funktion .
Hom(-, -) : C op × C → Sæt er en profunctor , nemlig identitetsprofunctoren . ${\text{id}}_{C}\colon C\nhøjrepil C$
Den indre funktor Hom bevarer grænserne ; det kræver nemlig grænser til grænser og grænser for colimits. I en vis forstand kan dette opfattes som definitionen af en grænse eller kogrænse. ${\text{hom}}(X,-):C\til C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\til C$
Functor Hom er et eksempel på en venstre eksakt funktionor.

Se også

Noter

S. McLane. Kategorier for en arbejdende matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Kategorisk analyse af logik, - M. : Mir, 1983. - 487 s.
Nathan Jacobson . Grundlæggende algebra (ubestemt) . — 2. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .