Elliptisk ligning

Elliptiske ligninger er en klasse af partielle differentialligninger, der beskriver stationære processer.

Definition

Overvej den generelle form for en skalar partiel differentialligning af anden orden med hensyn til funktionen : $u:R^{n}\højrepil R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

I dette tilfælde er ligningen skrevet i en symmetrisk form, det vil sige: . Derefter den ækvivalente ligning i form af en andengradsform : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

hvor . Matrixen kaldes matrixen af hovedkoefficienter . Hvis alle matricens egenværdier har samme fortegn, så er ligningen af den elliptiske type [1] . En anden, ækvivalent definition: en ligning kaldes elliptisk, hvis den kan repræsenteres som: $A=A^{T}$
$EN$
$EN$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

hvor er en elliptisk operator . $L$

Elliptiske ligninger er i modsætning til parabolske og hyperbolske , selvom denne klassifikation ikke er udtømmende.

Løsning af elliptiske ligninger

Til den analytiske løsning af elliptiske ligninger under givne randbetingelser anvendes Fourier variabel separationsmetoden , Greens funktionsmetoden og potentialmetoden .

Eksempler på elliptiske ligninger

I matematisk fysik opstår elliptiske ligninger i problemer, der kun reduceres til rumlige koordinater: enten afhænger intet af tiden (stationære processer), eller det er på en eller anden måde udelukket.

Laplaces ligning og Poissons ligning beskriver forskellige stationære fysiske felter.
Stationær analog af Schrödinger-ligningen , når en harmonisk tidsafhængighed antages.
Ligninger afledt af Maxwells ligninger . Sådanne opnås ud fra den antagelse, at det elektromagnetiske felt enten ikke ændrer sig over tid, eller ændres i henhold til en harmonisk lov. En af ligningerne opnået under sådanne antagelser er Helmholtz-ligningen .
Stokes-ligningen er en stationær analog af Navier-Stokes-ligningssystemet , for et stabilt flow.

Samt mange andre stationære analoger af hyperbolske og parabolske ligninger.

Se også

Noter

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Matematisk fysiks ligninger. - 5. udg. — Moskva: Nauka, 1977.

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner