Helmholtz ligning

Helmholtz-ligningen er en elliptisk partiel differentialligning :

(\Delta +k^{2})U=f,

hvor er Laplace-operatoren , og den ukendte funktion er defineret i (i praksis bruges Helmholtz-ligningen til ). $\Delta =\nabla ^{2}$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n=1,2,3$

Afledning af ligningen

Det er let at se, at Helmholtz- ligningen ikke inkluderer tidsdifferentieringsoperatorer, og derfor kan en reduktion af det oprindelige problem i partielle afledte til Helmholtz-ligningen forenkle løsningen. Overvej bølgeligningen :

\triangle u({\bar {x)),t)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x} },t)}{\partial t^{2))}=f({\bar {x)),t).

Lad funktionerne og tillade adskillelse af variabler: , og lad . Bemærk, at i Fourier-transformationernes rum svarer differentiering med hensyn til tid til multiplikation med faktoren iω . Således er vores ligning reduceret til formen: $u$ $f$ $u({\bar {x)),t)=U({\bar {x)))T(t),\ f({\bar {x)),t)=F({\bar {x} })T(t)$ $T(t)=e^{{i\omega t}}$

\trekant U({\bar {x)))+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x }}),

hvor er kvadratet af modulet af bølgevektoren. ${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}$

Løsning af Helmholtz-ligningen

Tilfældet med en homogen ligning

Løsningen af Helmholtz-ligningen afhænger af typen af randbetingelser. I det todimensionelle tilfælde bruges Helmholtz-ligningen til at løse problemet med en oscillerende membran, så er der naturligt fastsat homogene randbetingelser , som fysisk svarer til fastgørelsen af membranen på grænsen. I dette tilfælde vil løsningen afhænge af membranens form. Så for en rund membran med radius i polære koordinater ( ), har ligningen formen: $-en$ $r,\,\varphi$

U_{{rr))+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{{\varphi \varphi }}+k^{2 }U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.

Ved hjælp af metoden til adskillelse af variable kommer vi frem til et egenværdiproblem for den del af løsningen, der kun afhænger af : $\varphi$

U(r,\varphi)=R(r)\Phi (\varphi),

{\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},

og en funktion, der kun afhænger af radius, vil opfylde ligningen:

\displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.

De fundamentale løsninger af disse ligninger er henholdsvis funktionerne og hvor er th rod af th ordens Bessel funktion . $\scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )$ $\scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{{(\lambda )}}}{a}}r\right),$ $\mu _{i}^{{(\lambda )}}$ $jeg$ $\lambda$

Tilfældet med en inhomogen ligning

Overvej Helmholtz-ligningen i rummet af generaliserede funktioner :

\trekant U+k^{2}U=\delta (x).

Lad os vise, at i det tredimensionelle tilfælde er de grundlæggende løsninger af denne ligning funktionerne: $(x=(x_{1},x_{2},x_{3}))$

U_{1}^{{(3)}}(x)=-{\frac {e^{{ik|x|}}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{ {(3)}}=-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{4\pi |x|}}.

Faktisk bruger vi lighederne:

{\frac {\partial }{\partial x_{j))}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}

{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{{ik|x|}}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{{ik|x| }}

\triangle e^{{ik|x|}}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{{ik|x|}}

og formlen bevist i løbet af matematisk fysik:

\trekant {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{{3/2}}}{\Gamma (3/2)))\delta (x).

Vi får:

(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{{ik|x|}}=e^{{ik|x|}}\trekant {\frac {1 }{|x|}}+2\venstre(\operatørnavn {grad}\,\,e^{{ik|x|}},\operatørnavn {grad}{\frac {1}{|x|}}\ højre)+{\frac {1}{|x|}}\trekant e^{{ik|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{{ik| x|}}=

$=-4\pi e^{{ik|x|}}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2))}+{\frac {2ik}{| x|^{2))}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{{ik |x|}}=-4\pi \delta (x).$

Det er også verificeret ved direkte beregninger, at i det todimensionelle tilfælde vil Hankel-funktionerne af den første og anden slags være den grundlæggende løsning :

U_{1}^{{(2)}}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{{(1)}}(k|x|),\qquad U_{2}^ {{(2)}}={\frac {i}{4}}H_{0}^{{(2)}}(k|x|),

og i endimensional :

U_{1}^{{(1)}}(x)={\frac {e^{{ik|x|}}}{2ik}},\qquad U_{2}^{{(1))) =-{\frac {e^{{-ik|x|}}}{2ik}}.

Litteratur

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner