Hankel funktioner

Hankel (Hankel) funktioner (Bessel funktioner af den tredje slags) er lineære kombinationer af Bessel funktioner af den første og anden slags, og derfor løsninger af Bessel ligningen . Opkaldt efter den tyske matematiker Hermann Hankel .

H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)=J_{{\nu }}(z)+iN_{{\nu }}(z)

er Hankel-funktionen af den første slags;

H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)=J_{{\nu }}(z)-iN_{{\nu }}(z)

er Hankel-funktionen af den anden slags.

Hankel-funktioner med indeks 0 er grundlæggende løsninger til Helmholtz-ligningen .

Egenskaber

$H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{-\nu \pi i}}J_{{ \nu }}(z)}{i\sin(\nu \pi )}}$

$H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{\nu \pi i}}J_{{\ nu }}(z)}{-i\sin(\nu\pi )}}$

$W\venstre[H_{{\nu }}^{{(1)}}(z),H_{{\nu }}^{{(2)))(z)\right]=-{\frac { 4i}{\pi z}}$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)=e^{{\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)=e^{{-\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(2)))(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{{\frac {i}{ 4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ , hvis ; $|z|\til \infty ,-\pi <\arg z<2\pi$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{-{\frac {i} {4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ hvis . $|z|\til \infty ,-2\pi <\arg z<\pi$

Watson G. Teori om Bessel-funktioner. I 2 bind - M .: IL , 1949.
Bateman G. , Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner. Bessel-funktioner, parabolske cylinderfunktioner, ortogonale polynomier. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 s. — (Matematisk referencebibliotek).