Knude (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 4. august 2021; checks kræver 4 redigeringer .

En knude i matematik er en indlejring af en cirkel (en-dimensionel kugle) i et tredimensionelt euklidisk rum , betragtet som op til en isotopi . Hovedfaget for undersøgelse af knudeteori . To noder er topologisk ækvivalente , hvis den ene af dem kan deformeres til den anden, og i deformationsprocessen bør der ikke være nogen selvskæringer.

Et særligt tilfælde er spørgsmålet om at erkende trivialiteten af ​​en bestemt knude, det vil sige om en given knude er isotopisk til en triviel knude (kan den løses).

Forskellige knude-invarianter kan bruges til at bestemme, om en bestemt knude er triviel, såsom Alexander-polynomiet eller komplement -fundamentalgruppen . Normalt kan de beregnes ud fra knudediagrammet .

I topologi betragtes noder kun på lukkede linjer, fordi ikke lukkede kan afbindes [1] .

Definition

En knude er en glat undermanifold af en tredimensionel kugle , homeomorphic . En knude forstås som en orienteret tredimensionel kugle, og cirklens orientering er normalt ligegyldig.

En knude siges at være afkortet , hvis der findes en todimensionel skive , der (se Boundary (topologi) og Circle bundle ).

Knuder er kobordante , hvis der findes en glat indlejret ring, der skærer hinanden ved ( ) (se familie (matematik) ). Knudekobordisme gruppe -kobordant orienterede knob med forbundet summeringsoperation . Overvej sfærer i en sfære Hvis endda, så

Bundle

Begreberne en fletning og en knude er generaliseret af konceptet om et bundt. En forbindelse med indgange og udgange (det vil sige en -forbindelse) er et system af ikke-skærende buer og cirkler, der er jævnt indlejret i en strimmel , således at enderne af buerne er punkter og cirklerne ligger i. Disse buer og cirkler i kaldes komponenterne i forbindelsen [2] .

Klassifikation

Shamrock - knudener den første ikke-trivielle knude og den eneste knude medtre skæringspunkter . Det er prime og er opført med nummer 3 1 i Alexander-Briggs notation . Dowkers notation for shamrock er 4 6 2, og Conways notation for shamrock er [3].

Shamrocken er ikke-triviel, hvilket betyder, at det ikke er muligt at "løse" shamrocken i 3D uden at skære den over. Matematisk betyder det, at trefoilen ikke er isotopisk for den trivielle knude . Især er der ingen sekvens af Reidemeister-bevægelser , hvorved knuden løses.

Otte , firdobbelt knude eller Listing knude, knudeer en af ​​de enkleste ikke-trivielle knob. De otte er repræsenteret af symbolet. Først overvejet af Listing , en elev af Gauss, i 1847 .

Shamrocken er chiral i den forstand, at shamrocken er forskellig fra sit eget spejlbillede. De to varianter af shamrocken er kendt som venstrehåndet og højrehåndet. Det er umuligt at omdanne den venstre-sidede variant til den højre-sidede på en kontinuerlig måde eller omvendt ved hjælp af deformation. (Det vil sige, at disse to shamrocks ikke er isotopiske.)

Det kan også vises, at trefoilen (både højre og venstre) ikke er isotopisk i forhold til ottetallet .

Den cinquefoil , også kendt som knudeni Alexander og Briggs-notationen, Potentilla-knuden og Salomons segl , er en knude, for hvilken antallet af skæringspunkter (det mindst mulige antal selvskæringer i et diagram - en flad figur - en knude) er fem.

For multi-komponent knob er antallet af komponenter angivet i superscriptet: For eksempel har sammenkædningen af ​​to ringe den symbolske notation .

Disse var eksempler på polynomiske [3] knob. Den ikke-polynomielle knude er den vilde knude [4]

En vild knude  er en knude i det euklidiske rum, således at der ikke er nogen homeomorfisme på sig selv, hvorunder den passerer ind i en lukket stiplet linje bestående af et begrænset antal segmenter.

Knob og links

Indlejring (oftere dets billede) af en afbrudt sum af forekomster af en cirkel i eller kaldes et multiplicitetslink .

Multiplicitationsleddet kaldes en knude .

De knudepunkter, der udgør et givet link, kaldes dets komponenter .

Knudeinvarianter

I knudeteori er skæringsnummeret for en knude det mindste antal skæringspunkter i et knudediagram. Antallet af kryds er knudeinvarianten .

For eksempel har en triviel knude nul krydsninger, en trefoil har tre krydsninger, og en ottetal har fire krydsninger.

Node tilføjelse

Gordon-Lyckes sætning siger, at komplementet af en knude (som et topologisk rum ) er en "fuldstændig invariant" af en knude, i den forstand, at den adskiller en given knude fra alle andre op til omgivende isotopi og spejlrefleksion . Blandt de invarianter, der er forbundet med knudens komplement, er knudegruppen , som simpelthen er den grundlæggende gruppe af dens komplement.

Noter

  1. ↑ Boltyansky V.G., Efremovich V.A. Visuel topologi. - M .: Nauka, 1983. Seriebibliotek "Quantum", udgave 21. - S.87
  2. ↑ Kassel K., Rosso M., Turaev V. - Kvantegrupper og knudeinvarianter. - Moskva: Institut for Computerforskning, 2002, 140 sider.
  3. ↑ Armstrong (1983 ), s. 215.
  4. ↑ Livingstone (1996 ), Afsnit 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.

Litteratur