Bretschneider forhold

Bretschneider-relationen er en relation i en firkant , en analog til cosinussætningen .

Ordlyd

Mellem siderne a, b, c, d , vinklerne modsat hinanden og diagonalerne e, f i en simpel (ikke-selv-skærende) firkant, gælder følgende forhold: $\alpha ,\gamma ,$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma ).

Bemærk

Tilsvarende formuleringer: $e^{2}f^{2}=(ac+bd)^{2}-4abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)),$ $e^{2}f^{2}=(ac-bd)^{2}+4abcd\sin ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2)).$

Bevis

Uden for firkanten konstruerer vi lignende og lignende på en ekstern måde så $\trekant ABF$ $\trekant CAD$ $\trekant ADE$ $\triangle CAB$

\angle CAD=\angle FBA

\angle ACD=\angle FAB

\angle BAC=\angle ADE

\angle BCA=\angle DAE

Fra egenskaben af lignende trekanter har vi: ; ; ; . Herfra ; ; . Summen af vinklerne og i firkanten er lig med summen af vinklerne , det vil sige, at den er lig . Herfra . Også , det vil sige et parallelogram. Herfra . I hjørnet af bygningen. Ifølge cosinusloven :. Ganges med får vi det nødvendige: , h.t.d. ${\frac {AF}{a}}={\frac {c}{e}}$ ${\frac {BF}{a}}={\frac {d}{e}}$ ${\frac {AE}{d}}={\frac {b}{e}}$ ${\frac {DE}{d}}={\frac {a}{e}}$ $AF={\frac {ac}{e}}$ $AE={\frac {bd}{e))$ $BF=DE={\frac {ad}{e))$ $\angle B$ $\angle D$ $FBDE$ $\triangle DÅRLIG$ $180^{\cirkel }$ $FB\parallel DE$ $FB=DE$ $FBDE$ $f=BD=FE$ $\triangle AEF$ $\angle EAF=\angle A+\angle C$ $f^{2}=\left({\frac {ac}{e}}\right)^{2}+\left({\frac {bd}{e}}\right)^{2} -{\frac {2abcd}{e^{2}}}\cos(\angle A+\angle C)$ $e^{2}$ $(ef)^{2}=(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\angle A+\angle C)$

Konsekvenser

Hvis firkanten degenererer til en trekant (et toppunkt falder på en side), så fås Stewarts sætning .
Hvis firkanten degenererer til en trekant, og et toppunkt falder på midten af siden, får vi også Apollonius-sætningen under hensyntagen til ligheden mellem hovedvinklen og den yderligere .
Hvis en firkant er indskrevet i en cirkel, så . Så følger Ptolemæus' første sætning af næstsidste formel ovenfor : . ${\frac {\alpha +\gamma }{2}}={\frac {\pi }{2}}$ $ef=ac+bd$
Hvis D er midten af den omskrevne cirkel af trekanten ABC , så er DA = DB = DC . Ved at bruge sætningen om vinkler indskrevet i en cirkel får vi cosinussætningen for trekanten ABC .

Se også

Litteratur

Ponarin Ya. P. Elementær geometri. I 2 bind - M . : MTsNMO , 2004. - S. 85-86. — ISBN 5-94057-170-0 .

Polygoner

Efter antal sider

Monogon
Bigon
Trekant
Firkantet
Pentagon
Sekskant
Heptagon
Oktagon
femkant
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretten
tetradekagon
Pentagon
Sekskant
Sytten
ottekant
Nittenagon
Dodecagon
Enogtyve-sidet
22-vinkel
Twentytrigon
Tyve-firkantet
tyve femkant
Oktagon tyve
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrre kvadratisk
Forty bicagon
pinseven
pinseven
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ da
Millagon
Ten-thousand-gon
Hundrede tusindedel
Milliogon
uendelighed

korrekt

konveks	Trekant Firkant Pentagon Sekskant Heptagon Oktagon femkant tetradekagon Sytten 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stjerneklar	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trekanter

Firkanter

se også