Homogen mosaik

En ensartet flisebelægning er en vertex-transitiv flisebelægning på et plan med regelmæssige polygonale flader.

En ensartet flisebelægning kan eksistere både på det euklidiske plan og på det hyperbolske plan . Ensartede flisebelægninger er relateret til endelige ensartede polyedre , som kan opfattes som ensartede tesseller af kuglen .

De fleste ensartede flisebelægninger kan opnås med Wythoffs symmetrikonstruktion , startende fra et enkelt genereringspunkt inde i det fundamentale område . Plansymmetrigruppen har en polygonal fundamental region og kan repræsenteres ved rækkefølgen af ​​spejle i en sekvens af hjørner.

Et trekantet fundamentalt domæne har spejlrækkefølger ( p q r ), og et rektangulært trekantet domæne har spejlrækkefølger ( p q 2 ), hvor p , q , r er heltal større end et. En trekant kan være en sfærisk trekant , en euklidisk trekant eller en trekant i det hyperbolske plan, hvilket afhænger af værdierne af p , q og r .

Der er flere symbolske skemaer til at navngive de resulterende figurer, startende med det modificerede Schläfli-symbol for det grundlæggende område i form af en retvinklet trekant ( p q 2) → { p , q }. Coxeter-Dynkin-diagrammet er en graf med mærkede p , q , r- kanter. Hvis r = 2, er grafen lineær, da noder af orden 2 ikke danner nogen refleksioner. Wythoff-karakteren bruger 3 heltal med en adskillende lodret streg (|) imellem dem. Hvis genereringspunktet ikke er på et spejl, placeres symbolet for toppunktet modsat spejlet før den lodrette streg.

Endelig kan flisebelægninger beskrives ud fra deres toppunktskonfiguration , dvs. sekvenser af polygoner omkring hvert toppunkt.

Alle ensartede fliser kan bygges ved hjælp af forskellige operationer på almindelig flisebelægning . Navnene på disse operationer blev givet af den amerikanske matematiker Norman Johnson , disse er trunkering ( afskæring , afskæring af hjørner), rektifikation ( fuldstændig trunkering , afskæring af hjørner, indtil de oprindelige kanter forsvinder helt) og kantellering ( affasning , afskæring). Omnitruncation ( trunkation ) er en operation, der kombinerer trunkering og affasning. Snubbing (afskæring af næser) er en operation med skiftevis trunkering af helt trunkerede former. (Se Wythoff byggeoperatører for en detaljeret forklaring af operationerne.)

Coxeter-grupper

Coxeter-grupper i planet definerer Wythoff-konstruktionen og kan repræsenteres af Coxeter-Dynkin-diagrammer :

For grupper med heltalsrækkefølge:

Orbifold symmetri	Coxeter gruppe			Coxeter diagram	Noter
Kompakt
*333	(3 3 3)		[3 [3] ]		3 spejlformer, 1 snub
*442	(4 4 2)		[4,4]		5 spejlformer, 1 snub
*632	(6 3 2)		[6,3]		7 spejlformer, 1 snub
*2222	(∞2∞2)	×	[∞,2,∞]		3 spejlformer, 1 snub
Ikke-kompakt ( kantsten )
*∞∞	(∞)		[∞]
*22∞	(2 2∞)	×	[∞,2]		2 spejlformer, 1 snub

Orbifold symmetri	Coxeter gruppe		Coxeter diagram	Noter
Kompakt
*pq2	(pq 2)	[p,q]		2(p+q) < pq
*pqr	(pqr)	[(p,q,r)]		pq+pr+qr < pqr
Paracompact
*∞p2	(s ∞ 2)	[p,∞]		p>=3
*∞pq	(pq∞)	[(p,q,∞)]		p,q>=3, p+q>6
*∞∞s	(p∞∞)	[(p,∞,∞)]		p>=3
*∞∞∞	(∞∞∞)	[(∞,∞,∞)]

Ensartede flisebelægninger i det euklidiske plan

Der er symmetrigrupper på det euklidiske plan, som er opnået fra de fundamentale trekanter (4 4 2), (6 3 2) og (3 3 3). Hver af dem er repræsenteret af et sæt lige linjer (spejle), der deler planet i grundlæggende trekanter.

Disse symmetrigrupper skaber 3 almindelige fliser og 7 semi-regulære fliser. Antallet af semi-regulære flisebelægninger gentages for forskellige symmetrikonstruktioner.

Den prismatiske symmetrigruppe, repræsenteret ved symbolet (2 2 2 2), er givet af to sæt parallelle spejle, som generelt kan have et rektangulært grundområde. Gruppen danner ikke nye fliser.

Ydermere har den prismatiske symmetrigruppe repræsenteret ved symbolet (∞ 2 2) et uendeligt fundamentalt domæne. Gruppen giver to ensartede fliser, et uendeligt vinklet prisme og et uendeligt vinklet antiprisme .

Ved at kombinere endefladerne af disse to prismatiske flisebelægninger opnår vi en ikke-Withoff homogen flisebelægning i planet. Det kaldes isokurnosny trekantet parket og består af på hinanden følgende lag af firkanter og trekanter.

Retvinklet fundamental trekant ( p q 2)

( s . q 2)	Fond. trekanter	Forælder	Afkortet	Fuldstændig afkortet	Bicut	Fuldt bicut (dobbelt)	skrå	Afkortet	fladnæset
Wythoff symbol		q | p2 _	2 q | s	2 | p q	2p | _ q	p | q2 _	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Schläfli symbol		t { p , q }	t { p , q }	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter diagram
Vertex figur		p q	q.2p.2p	(pq) 2	s.2q.2q	qp _	s.4.q.4	4,2p.2q	3.3.s.3.q
Firkantet mosaik (4 4 2)		{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Sekskantet mosaik (6 3 2)		{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Generelle fundamentale trekanter (pqr)

Wythoff symbol (pqr)	Fond. trekanter	q | pr	rq | s	r | pq	rp | q	p | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Coxeter diagram
Vertex konfiguration		(pq) r	r.2p.q.2p	(pr) q	q.2r.p.2r	(qr) s	q.2r.p.2r	r.2q.p.2q	3.r.3.q.3.p
Trekantet (3 3 3)		(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Ikke-simple fundamentale domæner

Det eneste mulige fundamentale domæne i det euklidiske rum, der ikke er et simpleks , er rektanglet (∞ 2 ∞ 2) med Coxeter-diagrammet . Der produceres kun kvadratiske parketgulve fra dette område .

Homogene flisebelægninger på det hyperbolske plan

Der er uendeligt mange ensartede fliser af konvekse regulære polygoner i det hyperbolske plan , hver baseret på en anden spejlsymmetrigruppe (pqr).

Eksemplerne vist her er givet i Poincare diskprojektionen .

Coxeter-Dynkin-diagrammer er givet i lineær form, selvom de faktisk er trekanter, hvor endesegmentet r er forbundet med den første knude.

Derudover er der på det hyperbolske plan firkantede fundamentale områder startende fra (2 2 2 3), der kan danne nye former. Der er også fundamentale områder med toppunkter ved uendelighed, såsom (∞ 2 3).

Retvinklede fundamentale trekanter ( p q 2)

(pq 2)	Fond. trekanter	Forælder	afkortet	Fuldstændig afkortet	Bicut	Fuldt bicut (dobbelt)	skrå	Afkortet	fladnæset
Wythoff symbol		q | s2	2 q | s	2 | pq	2p | q	p | q2	pq | 2	pq 2 |	| pq 2
Schläfli symbol		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dynkin diagram
Vertex figur		p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(s. 2q.2q)	qp _	(s. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.s. 3.q)
(Hyperbolsk plan) (5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(Hyperbolsk plan) (5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(Hyperbolsk plan) (7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(Hyperbolsk plan) (8 3 2)	V4.6.16	{8,3} ]	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Grundlæggende trekanter (pqr) af generel form

Wythoff symbol (pqr)	Fundam. trekanter	q | pr	rq | s	r | pq	rp | q	p | qr	pq | r	pqr |	| pqr
Coxeter-Dynkin diagram
Vertex figur		(pr) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) s	(r.2q.p. 2q)	(2p.2q.2r)	(3.r.3.q.3.p)
Hyperbolsk (4 3 3)	V6.6.8	(3.4) 3	3.8.3.8	(3.4) 3	3.6.4.6	(3.3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
Hyperbolsk (4 4 3)	V6.8.8	(3.4) 4	3.8.4.8	(4.4) 3	3.6.4.6	(3.4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
Hyperbolsk (4 4 4)	V8.8.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	(4.4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Udvidet liste over ensartede fliser

Der er flere måder at udvide listen over homogene mosaikker på:

1. Vertex-former kan have degenererede ansigter og vikle sig om et toppunkt mere end én gang.
2. Du kan aktivere fliselægning med stjernepolygoner .
3. Apeirogoner , {∞}, kan bruges som fliseflader.
4. Begrænsningen, at overfladerne på en flisebelægning rører kant-til-kant kan slippes, hvilket resulterer i yderligere flisebelægninger, såsom den pythagorske flisebelægning .

Symmetrigruppetrekanter med degenererede ansigter omfatter:

Symmetrigruppetrekanter med uendeligheder omfatter:

Branko Grünbaum i 1987-bogen Tilings and patterns (Mosaics and patterns) i afsnit 12.3 opregner 25 ensartede fliser, heraf 11 konvekse og 14 mere, som han kalder hule fliser . Blandt sidstnævnte er de to første forlængede flisebelægninger nævnt ovenfor, flisebelægninger med stjerneformede polygonale flader og topfigurer.

Harold Coxeter et al. i papiret 'Uniform polyhedra' fra 1954 i Tabel 8 Ensartede flisebelægninger opregner de første tre udvidelser og lister 38 ensartede fliser.

Endelig, hvis vi tæller fliser med 2 uendeligheder, kan vi tælle i alt 39 ensartede fliser.

7 nye fliser med {∞} flader med topformer og Wythoff -symboler :

1. ∞.∞ (to halvplansflader, uendelig dihedron )
2. 4.4.∞ — ∞ 2 | 2 ( prisme med uendelig vinkel )
3. 3.3.3.∞ - | 2 2 ∞ ( antiprisme med uendelig vinkel )
4. 4.∞.4/3.∞ - 4/3 4 | ∞ (vekslende firkantet parket)
5. 3.∞.3.∞.3.∞ - 3/2 | 3 ∞ (alternativ trekantet parket)
6. 6.∞.6/5.∞ - 6/5 6 | ∞ (vekslende tresekskantet flisebelægning, kun med sekskanter)
7. ∞.3.∞.3/2 - 3/2 3 | ∞ (vekslende tresekskantet flisebelægning, kun med trekanter)

Den resterende liste indeholder 21 fliser med 7 {∞} flader (uendelige goner). Hvis flisedelingerne tegnes som grafer, er der kun 14 unikke fliser tilbage, og den første er identisk med flisedeling 3.4.6.4 .

21 mosaikker grupperet efter almindelige grafer med angivelse af toppunktet og Wythoff-symbolet:

Selv-dobbelt flisebelægning

Mosaikker kan være selvstændige . En firkantet parket med Schläfli-symbolet {4,4} er selv-dual. Figuren viser to kvadratiske parketgulve (rød og sort) dobbelt i forhold til hinanden.

Se også

• Wythoff symbol
• Liste over ensartede fliser
• Ensartede fliser på det hyperbolske plan
• Ensartet polyeder

Noter

Litteratur

• Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
  • NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Grünbaum, Branko , G. C. Shephard. Flisebelægninger og mønstre  (ubestemt) . — W. H. Freeman og Kompagni, 1987. - ISBN 0-7167-1193-1 . (Stjernefliser afsnit 12.3)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins, JCP Miller, Uniform polyhedra , Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR : [1] (Tabel 8)

Links

• Weisstein, Eric W. Uniform tessellation  (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .
• Uniform Tessellations på Euclid-flyet Arkiveret 4. juni 2016 på Wayback Machine
• Tessellations of the Plane Arkiveret 24. februar 2020 på Wayback Machine
• David Baileys World of Tessellations Arkiveret 2. april 2016 på Wayback Machine
• k-uniform flisebelægning
• n-uniform fliselægning Arkiveret 21. maj 2016 på Wayback Machine
• Richard Klitzing, 4D, euklidiske flisebelægninger Arkiveret 4. marts 2016 på Wayback Machine

Grundlæggende konvekse regelmæssige og ensartede honningkager i rum med dimensionerne 2-10

Familie / / Homogen mosaik {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Sekskantet Homogene konvekse honningkager {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 ensartet femdimensionel honningkage {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Honeycomb med 24 celler ensartet seksdimensionel honningkage {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 ensartet syvdimensionel honeycomb {3 [7] } δ7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ ensartet ottedimensionel honningkage {3 [8] } δ8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 ensartet ni-dimensionel honeycomb {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Ensartede n -dimensionelle honningkager {3 [n] } δn _ hδn _ qδn _ 1 k2 • 2 k1 • k 21